高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册双曲线的几何性质教案

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册双曲线的几何性质教案，共10页。
板书设计
教学研讨
通过本节课的学习，重点是要让学生能依据双曲线的标准方程掌握双曲线的几何性质，前提是要将双曲线的方程化成标准方程.双曲线与椭圆有相似的地方，但也有不同之处，比如双曲线特有的性质——渐近线.教学中给出了一个研究方向：通过标准方程得到确定的渐近线方程，那么逆向思考，已知渐近线得到的标准方程是否也是确定的呢？答案显然是否定的，本教学设计中在这一点上处理得显然不够深，可以通过设置习题的方式进行补充，以此提升学生的数学运算及逻辑推理等数学学科核心素养.
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引人
1.双曲线的定义是什么？
2.双曲线的标准方程是什么？
师提出问题1、问题2，学生回答.
复习巩固，以旧带新.
探索新知
(一)双曲线
的几何性质
尝试与发现1(教材第142页):
已知双曲线的方程为,
根据这个方程完成下列任务：
（1）观察方程中与是否有取值范围,
由此指出双曲线在平面直角坐标系中的位置特征;
（2）指出双曲线是否关于轴、轴、原点对称;
（3）指出双曲线与坐标轴是否有交点,如果有,求出交点坐标;
（4）如果满足双曲线的方程,
说出当增大时,将怎样变化,并指出这反映了双曲线的形状具有什么特点.
结论:一般地,如果双曲线的标准方程是
.
根据此方程可以得到双曲线的一些几何性
质如下:
1.范围.
双曲线位于直线与所夹平面
区域的外侧.
2.对称性.
轴、y轴是双曲线的对称轴,坐标原点是
对称中心.双曲线的对称中心也称为双曲线的中心.
3.顶点.
（1）顶点:;
（2）实轴:线段为双曲线的实轴,长为;
虚轴:线段为双曲线的虚轴,长为,
其中;
分别是双曲线的半实轴长和半虚轴长.
（3）等轴双曲线;
实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线.
4.渐近线.
对于双曲线的无限延展性,考虑到双曲线关于
坐标轴和原点对称,因此我们只要了解双曲线在第一
象限内的情况即可.在第一象限内,双曲线的方程可
以改写为
，
因为时,
，
这就说明在第一象限内,双曲线一定在直线
的下方;又因为此时如果越来越大,则
，
直观上,这说明随着的增大,双曲线会越来越接近直线.事实上,如果是双曲线在第一象限的点,
则到直线(即的距离
，
因为当且无限增大时,将无限增大,从而将无限减小并接近于0(但不等于0,即在第一象限内,随着的增大,双曲线会越来越接近直线但不与这条直线相交.
根据双曲线的对称性可知,双曲线,)向外无限延伸时,总是在由直线与直线相交而分平面所成的、含双曲线焦点的两个区域内,并无限接近于这两条直线,但永远不会与它们相交,如图所示.
直线与都称为双曲线的渐近线.
5.离心率.
同椭圆一样,双曲线的半焦距与半实轴长之比称为双曲线的离心率.
尝试与发现2(教材第144页):
（1）根据双曲线离心率的定义,判断双曲线离心率的取值范围;
（2）猜想双曲线离心率的大小与双曲线的形状有代么联系,并尝试证明.
因为,所以可以看出.
另外,注意到
，
这说明越趋近于1,则的值越小,因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄.
（二)双曲线的几何性质拓展
尝试与发现3(教材第145页):
如果双曲线的标准方程是,那么该双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率中,哪些与焦点在轴上的双曲线是有区别的?
提升总结如下：
教师出示4个探究任务，让学生独立完成，并交流、展示成果，教师巡视，适时指导有困难的学生.
问题1:讨论“范围”
教师引导学生议一议:在双曲线中,是否成立?
学生独立思考,得出结论:双曲线位于直线与所夹平面区域的外侧.
教师强调与椭圆的不同点:椭圆是封闭的,而双曲线是无限延展的;(2)对双曲线,它在与之间没有图像.
问题2:讨论“对称性”
教师通过对比,引导学生
思考:双曲线的对称性是否与
椭圆完全相同?怎样研究双曲线的对称性?
学生通过以代,以代,发现标准方程没有变化,得出结论:双曲线的对称性与椭圆完全相同.
问题3：讨论“顶点教师提出以下问题
（1）什么是双曲线的顶点？
（2）双曲线的对称轴与双曲线有几个交点？它有几个顶点？这与椭圆有何异同？
学生思考，得出结论教师提出实轴、虚轴的概念，与椭圆长轴、短轴对比，强调双曲线的虚轴不同于椭圆的短轴
问题4：讨论“渐近线”
教师先用多媒体课件演示，当双曲线拖向无穷远处时其图像与两渐近线无限接近却永远不相交，让学生回忆这种状况以前在哪里见过，提出渐近线的概念.
结合图像，师生共同从极限或变化趋势得出渐近线的方程，并分析渐近线的作用.
然后教师引导学生一起分析，理论证明渐近线.
教师指出：
作双曲线时，如果先作出它的渐近线，将有利于确定双曲线的大致形状.另外，值得注意的是，如果过双曲线实轴与虚轴的端点分别作x轴与y轴的垂线，则可以得到一个矩形而且矩形的对角线所在的直线正好就是渐近线，如图所示.
问题5：讨论“离心率”
教师先给出双曲线离心率的概念，然后引导学生根据a，b，c的关系得出双曲线离心率的范围，并引导学生思考：椭圆的离心率可以刻画椭圆的圆扁程度，双曲线的离心率可以刻画双曲线的什么几何特征？怎样用a，b表示离心率e？学生类比椭圆离心率的学习经验，得出结论，并进行交流
教师引导学生独立完成尝试与发现3，并让学生展示成果，教师点评.
通过
系列的问题串引导学生类比椭圆几何性质的学习过程，独立进行探究，并最终得到关于双曲线的几何性质，进步帮助学生认识双曲线，进一步体会如何通过曲线的方程去研究曲线的性质，提升直观想象与逻辑推理核心素养
应用举例
例1求下列方程表示的双曲线的实轴长、
焦点坐标、离心率以及渐近线方程:
（1）; （2）.
解 （1）由标准方程可知双曲线的焦点
在轴上,且,因此实轴长.
又因为,
即.因此,双曲线的焦点坐标为
.
离心率
渐近线方程为
.
（2）已知双曲线的方程可化为
.
由此可知这个双曲线的焦点在轴上,且,
因此实轴长.
又因为,即.
因此,双曲线的焦点坐标为
.
离心率
.
渐近线方程为
.
例2已知双曲线的顶点为,虚轴的一个端点
为,且是一个等边三角形,求双曲线的离心率.
解 设为坐标原点,则的中点为,
且.由是等边三角形可知
,因此
又因为
，
所以,从而
.
例3 已知双曲线的左焦点
为,且是双曲线上的一点,求的最小值.
解记双曲线的焦距为,则,而且
设,则
.
又因为是双曲线上一点,所以,
即,因此
.
注意到或,而且,所以,当时,最小,且最小值为
.
教师出示例1，让学生独立完成，并引导学生思考：根据双曲线的方程，求其实轴长、焦点坐标、离心率以及渐近线方程要注意哪些问题？
学生根据例1，得出关键点：先化成标准方程，然后确定焦点位置，最后得出a，b，c的值.
教师请1~2名中等生进行板演例2，教师巡视，对学习困难生给予指导与帮助.
教师请4名学生（中等生、优等生各2位）进行板演例3.并让其他学生针对板演答案进行点评，指出其中存在的问题，让学生之间通过交流、讨论，完成例3，最后教师再对学生的表现进行点评与表扬.
师生共同总结出解题过程中需要注意的问题后，继续得出例3的启示：双曲线上的所有点中，到给定焦点距离最小的点，是离该焦点最近的实轴的端点.
通过学生总结例1这类问题的关键点，帮助学生深刻体会得到双曲线几何性质的前提是先化成标准方程.
例2、例3通过学生的板演与交流，能较好地暴露出学生在解题过程中存在的问题，方便教师进行有针对性的指导，同时能让学生清晰地认识到自己的不足.
通过例题的解决，培养学生解决问题的能力，锻炼学生的应用能力，提升学生的数学学科核心素养.
归纳总结
1.内容：
双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、渐近线、离心率.
2.思想方法：数形结合.
学生相互交流收获与体会，谈感想.
回顾、反思、归纳知识，提高自我整合知识的能力.
布置作业
1.教材第148页练习A第1~3题.
2.教材第148页练习B第1，3题.
学生独立完成.
固化知识，提升能力.
2.6.2双曲线的几何性质
(一)双曲线的几何性质
1.范围
双曲线位于直线与及它们所夹平面区域的外侧
2.对称性
轴、y轴是双曲线的对称轴,坐标原点是对称中心,双曲线的对称中心也称为双曲线的中心
3.顶点
（1）顶点:
（2）实轴:线段为双曲线的实轴,长为虚轴:线段为双曲线的虚轴,长为,其中分别是双曲线的半实轴长和半虚轴长
（3）等轴双曲线
4.渐近线
直线与都称为双曲线的渐近线
5.离心率
同椭圆一样,双曲线的半焦距与半实轴长之比称为双曲线的离心率
（二）双曲线的几何性质的
拓展
范围、对称性、顶点、渐近
线、离心率
例1
例2
例3