数学曲线与方程教学设计

这是一份数学曲线与方程教学设计，共11页。教案主要包含了本节内容分析，学情整体分析，教学活动准备，教学活动设计等内容，欢迎下载使用。
一、本节内容分析
“曲线与方程”这节,揭示了几何中的“形”与代数中的“数”的统一,为“依形判数”和“就数论形”的相互转化奠定了扎实的基础,由于曲线和方程的概念是解析几何中最基本的内容,因而学生用解析法研究几何图形的性质时,只有透彻理解曲线和方程的意义,才能算是寻得了解析几何学习的入门之径.求曲线与方程的问题,也贯穿了这一章的始终,所以应该认识到,本节内容是解析几何的重点内容之一.本节中提出的曲线与方程的概念,既是对以前学过的函数及其图像、直线的方程、圆的方程等数学知识的深化,又是学习圆锥曲线的理论基础,它贯穿于研究圆锥曲线的全过程,根据曲线与方程的对应关系,通过研究方程来研究曲线的几何性质,使几何的研究实现了代数化.数与形的有机结合,在本节中得到了充分体现.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
二、学情整体分析
学生已经学习了直线和圆的知识,对于用方程表示直线和圆已经有了感性认识,现在要进一步研究平面内曲线和二元方程之间的关系,是由直观表象上升到抽象概念的过程,对学生有一定的难度.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.曲线的方程与方程的曲线.
2.求曲线方程与根据方程研究曲线的性质.
【教学目标设计】
1.结合已经学过的曲线与方程的实例,了解曲线与方程的对应关系.
2.理解曲线的方程与方程的曲线的概念.
3.了解两条曲线交点的求法.
4.了解用坐标法研究解析几何问题的基本思想.
5.掌握求曲线方程和由方程研究曲线性质的方法.
【教学策略设计】
根据高二学生乐于合作探究,勤于思考与发现的认知特点,本节课采用自主发现与合作探究的教学方法.教学中,通过教师不断提问,让学生经历“独立思考—师生交流—归纳提升”的学习过程,教师在学生独立完成的基础上对基础知识和基本技能进行归纳、联系、提升,对易错、易混知识通过解决问题过程中发现的方式进行辨析梳理,让学生牢固理解掌握本章主要内容,形成系统的知识体系,并在教师的引导下理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念,通过具体实例体会根据方程研究曲线性质的方法.为了突破难点,本课设置了“独立思考—小组讨论—交流总结”的学习过程,通过该环节,让学生体会代数问题几何化和几何问题代数化带来的美感,感受数形结合思想和化归的数学思想.
【教学方法建议】
演示教学法,还有__________________________________________
【教学重点难点】
重点
曲线的方程、方程的曲线的概念,初步掌握求曲线方程的方法.
难点
曲线与方程的对应关系、求曲线方程.
【教学材料准备】
1.常规教材:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:大家回忆一下我们前面学习的直线与圆的方程,想一想在平面直角坐标系中的一个点在直线或圆上的充要条件是什么？
生:点的坐标满足直线或圆的方程.
师:我们还借助直线与圆的方程讨论了直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系.不难想到,借助方程,应该还可以讨论平面内的其他几何对象及其几何性质.
【设计意图】
通过具体的情境,帮助学生回顾已经学习过的直线与圆的方程,为下一步归纳抽象出曲线与方程的关系打下基础.
教学精讲
师:阅读教材第117页的“尝试与发现”栏目,回答其中提出的两个问题,并说明原因.
【情境设置】
探究曲线的方程与方程的曲线
(1)如图所示,设l1,l2是平面内两条互相垂直的直线,且M是所有到l1,l2的距离相等的点组成的集合,在图中找出M中的所有元素.如果以l1,l2分别为坐标轴建立平面直角坐标系,那么M中的点的坐标有什么特点？
(2)将|y|=|x|看成x与y的方程,如果x=a且y=b(a,b为实数)能使方程|y|=|x|成立,则称(a,b)是方程|y|=|x|的一组实数解,你能找出满足这个方程的3组实数解吗？这个方程有多少组实数解？如果将每一组实数解都看成平面直角坐标系中的一点,那么所有实数解表示的点组成的集合与(1)中的集合M有什么关系？
【先学后教】
从对平面内到两条互相垂直的直线距离相等的点的集合的探究开始,以学生熟悉的简单的实例阐明曲线的点集与方程的解集之间的对应关系,有利于学生对概念的理解.
师:从几何角度来看,如果P(x,y)在集合M中,则它在第一、三象限和第二、四象限的角平分线上;如果x,y是方程|y|=|x|的解,则点P(x,y)一定在第一、三象限和第二、四象限的角平分线上;从方程|y|=|x|与这四个象限的平分线角度来看,可以怎么解释？
生:一方面,如果P(x,y)在集合M中,则它的坐标x,y必须满足方程|y|=|x|;另一方面,如果x,y是方程|y|=|x|的解,则点P(x,y)都在集合M中.
师:通过分析问题(1)说明:平面内的曲线可以理解为平面内符合某种条件的点的集合(或轨迹),因此点集M中的每个点P都要符合该条件,平面内的点与作为它的坐标的有序实数对(x,y)之间建立了一一对应关系,那么点P的横坐标x与纵坐标y之间受到某种条件的约束,在这里即为|y|=|x|.通过问题(2)的分析得出:如果x,y是方程|y|=|x|的一组实数解,则以x为横坐标且以y为纵坐标的点P满足约束条件,即点P在集合M中.方程|y|=|x|的所有解表示的点的集合就是集合M.
【要点知识】
曲线的方程与方程的曲线的定义
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线C与方程F(x,y)=0之间具有如下关系:
(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解;
(2)以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.
则称曲线C为方程F(x,y)=0的曲线,方程F(x,y)=0为曲线C的方程.
这就是说,如果曲线C的方程是F(x,y)=0,且P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,则P(x,y)∈C⇔F(x,y)=0,因此,方程F(x,y)可用来描述曲线C的特征性质.
曲线C用集合的特征性质描述法,可以描述为C={P(x,y)|F(x,y)=0}.
【概括理解能力】
以教师提问,学生回答共同探讨的手段得出曲线的方程与方程的曲线的概念,经历概念的形成过程,培养学生的理解、归纳概括的能力.
师:为了进一步理解曲线与方程的关系,我们看下面的例题.
【典型例题】
求曲线的方程
例1 已知平面直角坐标系中,C是端点为原点且其他所有点都在x轴正半轴上的射线,判断y=0以及y=0(x>0)是否是C的方程,如果都不是,写出C的方程.
【推测解释能力】
根据例题,学生思考、分析,在对曲线与方程概念理解的基础之上解决问题,提升学生对问题的推测解释能力.
师:结合平面直角坐标系,可以看出,C上的点的坐标有什么特点？
生:纵坐标必为0.也就是说,如果P(x,y)为C上的点,则必有y=0.
师:纵坐标为0的点都在曲线C上吗？
生:不是的,当横坐标小于0时,在x轴的负半轴上,不在C上.因此y=0不是C的方程.
师:那么y=0(x>0)是C的方程吗？
生:因为C上的点的横坐标大于等于0,所以C上的点(0,0)不满足方程y=0(x>0),因此这也不是C的方程.
师:由上分析可知,C的方程是y=0(x≥0).
师:请各小组讨论,归纳总结上述学习过程中所得结论.
【归纳总结】
曲线与方程的关系
1.曲线与方程的定义表明:曲线C的方程是F(x,y)=0的充分必要条件是曲线C上所有点的坐标都是方程F(x,y)=0的解,并且以方程F(x,y)=0的实数解为坐标的点都在曲线C上,这是识别曲线和方程关系的基本依据.
2.从集合的角度来看,设A是曲线C上的所有点组成的点集,B是所有以方程F(x,y)=0的实数解为坐标的点组成的点集,则由定义中的(1)可知A⊆B,由定义中的(2)可知B⊆A;同时具有关系(1)和(2),就有A=B.
【自主学习】
通过小组讨论,给学生充分思考的空间,发挥学生自主学习的主观能动性,进一步理解曲线与方程的关系问题,提升学生思维的发展.
师:接下来我们对曲线的方程与方程的曲线概念进行辨析.
【巩固练习】
辨析曲线的方程与方程的曲线
思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”):
(1)若以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上,则方程f(x,y)=0即为曲线C的方程.( )
(2)方程x+y-2=0是以A(2,0),B(0,2)为端点的线段的方程.( )
(3)在求曲线方程时,对于同一条曲线,坐标系的建立不同,所得的曲线方程也可能不一样.( )
(4)求轨迹方程就是求轨迹.( )
【整体设计 分步落实】
通过巩固练习,检验学生对曲线的方程与方程的曲线定义的理解及应用,提升学生逻辑推理核心素养.
【师生共同分析,得到答案】
生1:(1)是错误的,因为需要加上另一个条件,即曲线C上点的坐标都满足方程f(x,y)=0.
师:也就是要注意曲线的方程必须满足两个条件.
生2:(2)是错误的,因为以方程的解为坐标的点不一定在线段AB上.
师:你可以举例说明吗？
生2:如M(-4,6)就不在线段AB上.
生3:(3)是正确的.
师:说说你的原因.
生3:对于曲线上同一点,由于坐标系不同,该点的坐标就不一样,因此曲线方程也不一样.
生4:(4)是错误的,
师:为什么？
生4:因为求轨迹方程得出方程即可,求轨迹还要指出方程的曲线是什么图形.
师:同学们回答得都非常好！(1)×(2)×(3)√(4)×
师:下面再看一道例题.
【典型例题】
求曲线的交点坐标
例2 已知曲线C1的方程是x2-y=0,曲线C2的方程是|y|=|x|,判断C1与C2是否有交点,如果有,求出交点坐标;如果没有,说明理由.
【概括理解能力】
用提问的方式引导学生思考一个点是两曲线交点的充要条件,加深对概念的理解,培养学生逻辑推理的核心素养.
师:要解决这个问题,我们首先要知道一个点是两条曲线的交点的充要条件是什么？
生:由曲线的方程的定义可知,一个点是两条曲线的交点的充要条件是该点的坐标是这两条曲线方程的公共实数解.
师:因此我们可以通过解方程组来判断两条曲线是否有交点等.
生解:联立两个方程得方程组,
解方程组可得,或,或,
因此C1与C2有三个交点,且交点坐标为(0,0),(1,1),(-1,1).
师:例2说明,曲线C1:F(x,y)=0和曲线C2:G(x,y)=0是否有交点的问题,可以转化为方程组,是否有实数解的问题,下面我们进行巩固练习.
【意义学习】
通过例题引导学生归纳求两曲线交点的一般方法,理解求曲线交点是建立在形与数的对应关系基础上的,初步感受把形的问题转化为数来研究,是通过方程研究曲线的应用,为下面由方程研究曲线的性质做铺垫.
【巩固练习】
曲线的方程与方程的曲线的应用
已知方程x2+(y-1)2=10.
(1)判断点P(1,-2),Q(,3)是否在此方程表示的曲线上;
(2)若点M(,-m)在此方程表示的曲线上,求m的值.
师:如何判断一个点是否在曲线上？
生:把点的坐标代入曲线方程看是否满足即可.
生解:(1)∵12+(-2-1)2=10,()2+(3-1)2=6≠10,
∴点P(1,-2)在方程x2+(y-1)2=10表示的曲线上,
点Q(,3)不在方程x2+(y-1)2=10表示的曲线上.
(2)∵点M(,-m)在方程x2+(y-1)2=10表示的曲线上,
∴x=,y=-m适合上述方程,即()2+(-m-1)2=10,解得m=2或m=-,
∴m的值为2或-.
师:由上面的练习,我们总结一下.
【简单问题解决能力】
通过有梯度的课堂跟踪训练加深学生对曲线的方程和方程的曲线定义的理解,提高课堂效率,提升简单问题的解决能力,培养数学运算核心素养.
【归纳总结】
曲线的方程与方程的曲线的注意点
1.判断点是否在某个方程表示的曲线上,就是检验该点的坐标是否是方程的解,是否适合方程,若适合方程,就说明点在曲线上;若不适合,就说明点不在曲线上.
2.已知点在某曲线上,可将点的坐标代入曲线的方程,从而可研究有关参数的值或取值范围问题.
师:通过这节课你学到了哪些知识？
【课堂小结】
曲线的方程与方程的曲线
1.曲线C和方程F(x,y)=0的关系
2.曲线的方程与方程的曲线的应用.
【设计意图】
通过曲线的方程与方程的曲线的教学,加强对学生学习方法的指导,让学生初步巩固所学知识,提升问题解决能力,培养数学抽象、逻辑推理等核心素养.
教学评价
1.我们对概念的理解要注意以下两点:
(1)“曲线C上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解”,阐述曲线上没有坐标不满足方程的点,也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外(纯粹性).
(2)“以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上”,阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏(完备性).
2.对于求曲线的方程,我们要注意如下几个方面:
(1)在求方程之前,必须首先建立坐标系,否则,曲线不能转化为方程.
(2)设所求点的坐标M(x,y),根据曲线上的点所要适合的几何条件列出等式,是求方程的重要环节.
(3)在化简过程中,注意运算的合理性与准确性.
3.根据曲线的方程研究曲线的几何性质可以从以下几个方面进行:
(1)研究曲线与坐标轴是否相交,如果相交,求出交点的坐标.曲线与坐标轴的交点是确定曲线位置的关键点.
(2)研究曲线的对称性.
(3)研究曲线的变化趋势.
【设计意图】
本节的重点是了解曲线的方程、方程的曲线的概念,初步掌握求曲线方程的方法和由方程研究曲线的性质,以及领悟坐标法和解析几何的思想,难点是了解曲线方程与方程的对应关系,求曲线方程的方法.通过具体知识点的演练,让学生在运用课堂教学过程中所学到的概括理解、分析计算等能力解决问题,从而达到培养学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养目标.
根据本节课所学内容,完成下面各题:
1.方程(x2+y2-2x)=0表示的曲线是( )
A.一个圆和一条直线
B.一个圆和一条射线
C.一个圆
D.一条直线
解析:本题考查曲线的方程、方程的曲线的概念,解决这类问题,要紧扣概念进行分析作答.依题意,题中的方程等价于①x+y-3=0或②.注意到圆x2+y2-2x=0上的点均位于直线x+y-3=0的左下方区域,即圆x2+y2-2x=0上的点均不满足x+y-3≥0,②不表示任何图形,因此题中的方程表示的曲线是直线x+y-3=0.答案D
2.(多选题)在平面直角坐标系中,曲线C上任意点P与两个定点A(-2,0),B(2,0)连线的斜率之和等于2,则下列关于曲线C的结论正确的有( )
A.曲线C是轴对称图形
B.曲线C上所有的点都在圆x2+y2=2外
C.曲线C是中心对称图形
D.曲线C上所有点的横坐标x满足|x|>2
解析:本题考查求曲线的方程和由方程研究曲线的性质,需要先求方程再根据方程研究相关性质.设点P(x,y),x≠±2,kPA+kPB=+=2,得xy=x2-4,x=0不满足方程,y=x-(x≠±2)的图像如图所示,曲线对应的函数是奇函数,图像关于原点对称,无对称轴,C项正确,A项不正确:x2+y2=2x2+-8≥8-8>2,B项正确;当x=1时,y=-3,则D项不正确,故选B,C.答案BC.
3.已知长为1+的线段AB的两个端点A,B分别在x轴、y轴上滑动,P是AB上一点,且=,求点P的轨迹方程.
解析:本题考查用相关点法(代入法)求曲线的方程.要根据条件准确列出等式,再进行合理与准确的运算.
解:设A(x0,0),B(0,y0),P(x,y),则=(x-x0,y),=(-x,y0-y),因为=,所以x-x0=-x,y=(y0-y),
解得x0=(1+)x,y0=(1+)y.
因为|AB|=1+,即,
所以,化简得,
所以点P的轨迹方程为.
【综合问题解决能力】
通过本节的学习,学生理解曲线的方程与方程的曲线的概念,掌握求曲线方程的一般步骤和常用方法,并能运用所学的知识和技能解决问题,在解决曲线与方程的问题中提升综合问题解决能力.
教学反思
本节在学生学习了集合和直线的方程、圆的方程知识的基础上,使学生理解数学概念、结论产生的背景和逐步形成的过程,体会数形结合的思想以及解析几何的核心思想.为突破曲线的方程与方程的曲线定义的难点,选择学生认知结构中与新知最邻近的“直线的方程”“圆的方程”入手,从集合的观点,辅助理解“曲线的方程”与“方程的曲线”,进一步强化了对概念的理解.无论是判断、证明,还是求解曲线的方程,都要紧扣曲线方程的概念,即始终以是否满足概念中的两个条件为准则.在教学过程中要时刻关注学生的理解程度,给学生留够思考的时间,并根据学情及时调整教学策略.
【以学论教】
根据学生实际学习情况和课堂效果总结出,教学过程要时刻关注学生的理解程度,对知识点和方法的掌握情况,给学生充足的时间去思考,并根据学情及时调节教学方法和策略.必备知识
学科能力
学科素养
高考考向
曲线的方程与方程的曲线的定义
学习理解能力
观察记忆
概括理解
说明论证
应用实践能力
分析计算
推测解释
简单问题解决
迁移创新能力
综合问题解决
发现创新
数学抽象
直观想象
【考查内容】
求曲线的方程,根据方程研究曲线的性质
【考查题型】
填空题、选择题、解答题
求曲线的(轨迹)方程
数学运算
直观想象
根据方程研究曲线的性质
逻辑推理
直观想象
用坐标法研究解析几何图形
数学建模
直观想象
核心知识
1.曲线的方程与方程的曲线的定义
2.求曲线的(轨迹)方程
3.根据方程研究曲线的性质
4.用坐标法研究解析几何图形
数学抽象
直观想象
数学运算
逻辑推理
数学建模
核心素养