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人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.4 曲线与方程课后作业题
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这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.4 曲线与方程课后作业题，共10页。试卷主要包含了列方程，化简，证明等内容，欢迎下载使用。
知识点01 曲线的方程与方程的曲线的定义
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y）=0之间具有如下关系：
1.曲线C上的点的坐标都是方程F（x，y）=0的解;
2.以方程F（x，y）=0的解为坐标的点都在曲线C上.
则称曲线C为方程F（x，y）=0的曲线，方程F（x，y）=0为曲线C的方程.
【即学即练1】（21-22高二·全国·课后作业）已知坐标满足方程Fx,y=0的点都在曲线C上，下列命题正确的是（ ）
A．曲线C上的点的坐标都满足方程Fx,y=0
B．不在曲线C上的点的坐标都不满足方程Fx,y=0
C．坐标不满足方程Fx,y=0的点都不在曲线C上
D．曲线C是坐标满足方程Fx,y=0的点的轨迹
【即学即练2】（24-25高二上·全国·课堂例题）分析下列曲线上的点与相应方程的关系：
(1)与两坐标轴的距离之积等于5的点与方程xy=5之间的关系；
(2)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x+y=0之间的关系．
知识点02两曲线的交点
己知两条曲线C1和C2的方程分别为F（x，y）=0，G（x，y）=0，求两条曲线C1和C2的交点坐标，只要联立两个方程得方程组F(x,y)=0G(x,y)=0，求方程组的实数解就可以得到.
【即学即练3】（20-21高二·全国·课后作业）曲线x2+y2+2x=0与曲线y+x=0的交点个数是 ．
【即学即练4】（23-24高三上·青海西宁·期中）已知A-1,0，B1,0，C为平面内的一个动点，且满足|AC|:|BC|=2，则点C的轨迹方程为 .
知识点03 点的轨迹方程
曲线一般都可以看成动点依某种条件运动的轨迹,曲线的方程也常称为满足某种条件的点的轨迹方程.
【即学即练5】（24-25高二上·全国·课后作业）等腰三角形ABC底边两端点分别为A(-3,0),B3,0，顶点C的轨迹是（ ）
A．一条直线B．一条直线去掉一点C．一个点D．两个点
【即学即练6】（21-22高二·全国·课后作业）判断直线2x+5y-15=0与曲线y=-10x是否相交，如果相交，求出交点的坐标．
难点：数形结合的运用
示例1：（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，曲线E:x2+y23=8x2y2的图象是四叶草曲线，设Px0,y0为E上任意一点，且满足P∈{x0,y0|x0∈Z或y0∈Z}，则任取一点P，该点为格点（横、纵坐标均为整数）的概率为 ．
【题型1：曲线方程的概念】
例1．（23-24高二上·上海·期末）已知坐标满足方程Fx,y=0的点都在曲线C上，则下列命题中正确的是（ ）
A．曲线C上的点的坐标都适合方程Fx,y=0
B．不在曲线C上的点的坐标必不适合方程Fx,y=0
C．凡坐标不适合方程Fx,y=0的点都不在曲线C上
D．不在曲线C上的点的坐标有些适合方程Fx,y=0
变式1．（21-22高二上·贵州遵义·期末）设方程x+2y-1x2+y2-2x+2=0表示的曲线是（ ）
A．一个圆和一条直线B．一个圆和一条射线
C．一个圆D．一条直线
变式2．（18-19高二上·安徽芜湖·期末）下列各组方程中，表示相同曲线的一组方程是（ ）
A．y=x与y2=xB．y=x与xy=1
C．y2-x2=0与y=xD．y=lgx2与y=2lgx
变式3．（2014高三·全国·专题练习）方程x-1=1-(y-1)2表示的曲线是（ ）
A．—个圆B．两个圆
C．一个半圆D．两个半圆
变式4．(多选)（22-23高三上·江苏·阶段练习）已知曲线C:x2-y2-xy=1，则（ ）
A．曲线C关于坐标原点对称B．曲线C关于y轴对称
C．x≤-255或x≥255D．x2-2xy+y2≥45
变式5．（20-21高二上·上海徐汇·期末）已知曲线Γ：Fx，y=0对坐标平面上任意一点Px，y，定义FP＝Fx，y．若两点P，Q满足FP⋅FQ＜0，称点P，Q在曲线Γ两侧．记到点0，1与到x轴距离和为5的点的轨迹为曲线C，曲线Γ：Fx，y=x2+y2-y-a=0，若曲线C上总存在两点M，N在曲线Γ两侧，则实数a的取值范围是
变式6．（22-23高三·全国·课后作业）方程xx2+y2-1=0表示的曲线是 .
变式7．（24-25高二上·全国·课前预习）判断下列命题是否正确．
(1)以坐标原点为圆心，r为半径的圆的方程是y=r2-x2；
(2)过点A2,0平行于y轴的直线l的方程为x=2．
【方法技巧与总结】
从集合的意义上来理解曲线和方程的概念
如果把直角坐标平面内曲线上的点所组成的集合记作A，方程F（x，y）=0的解所对应的集合记作B，那么曲线和方程之间的两个关系：①曲线上的点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，反映在集合A和B之间的关系上，就是A⊆B且B⊆A，即A=B.
从集合相等的意义上来理解上述两条规定的必要性，有助于掌握曲线和方程的概念.
【题型2：由方程研究曲线的性质】
例2．已知曲线C的方程为x2+y2+xy=2022，则曲线C关于（ ）对称
A．x轴B．y轴C．原点D．直线y=x
变式1．已知曲线C方程为x2+y2+xy=2023，则曲线C关于（ ）
A．x轴对称B．y轴对称C．原点对称D．y=x对称
变式2．关于方程x2+xy+2y2=4所表示的曲线，下列说法正确的是（ ）
A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于y=x对称D．关于原点中心对称
变式3．两个曲线方程C1：x+y=1，C2：x4+y4=1，我们可以推断出它们的性质，其中错误的是（ ）
A．曲线C1关于y＝x对称
B．曲线C2关于原点对称
C．曲线C2与坐标轴在第一象限围成的图形面积S1<12
D．曲线C2与坐标轴在第一象限围成的图形面积S2<π4
变式4．（多选）某曲线C的方程为x2-xy+y2=4，下列说法正确的是（ ）
A．曲线C关于y=x对称
B．曲线C上的点的纵坐标的最大值是2
C．曲线C与直线x+y-1=0交于A、B两点，则AB=10
D．点x,y在曲线C上，则x2+xy+y2的取值范围为43,12
变式5．（多选）下列四个方程所表示的曲线中既关于x轴对称，又关于y轴对称的是（ ）
A．x29-y24=0B．2y-x2=0
C．4x2+9y=1D．2x2-4x+y4=2
变式6．（多选）已知曲线C：|x-a|a+|y-b|b=1(a>b>0)，则下列结论正确的是（ ）.
A．曲线C关于(a,b)对称
B．x2+y2的最小值为a2b2a2+b2
C．曲线C的周长为2(a+b)
D．曲线C围成的图形面积为2ab
变式7．设曲线C的方程为：F(x,y)=0，一般有如下规律：
①如果以-y代替y，方程保持不变，那么曲线关于 对称；
②如果以-x代替x，方程保持不变，那么曲线关于 对称；
③如果同时以-x代替x，以-y代替y，方程保持不变，那么曲线关于 对称．
例：曲线C的方程为：|x||y|=1，则曲线C关于 对称.
【方法技巧与总结】
求曲线方程的步骤
1.建系：建立适当的坐标系.用有序实数对（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标
2.写集合：写出适合条件p的点M的集合：P={M|p(M)}
3.列方程:用坐标表示条件p（M），列出方程f（x，y）=0
4.化简:化方程f（x，y）=0为最简形式
5.证明:说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上
【题型3：曲线交点问题】
例3.作为平面直角坐标系的发明者，法国数学家笛卡尔也研究了不少优美的曲线，如笛卡尔叶形线，其在平面直角坐标系xOy下的一般方程为x3 + y3－3axy = 0.某同学对a = 1情形下的笛卡尔叶形线的性质进行了探究，得到了下列结论，其中错误的是（ ）
A．曲线不经过第三象限B．曲线关于直线y = x对称
C．曲线与直线x + y =－1有公共点D．曲线与直线x + y =－1没有公共点
变式1．曲线y=1-x2和y=-x+2公共点的个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
变式2．(多选)作为平面直角坐标系的发明者，法国数学家笛卡尔也研究了不少优美的曲线，如笛卡尔叶形线，其在平面直角坐标系xOy下的一般方程为x3+y3-3axy=0.某同学对a=1情形下的笛卡尔叶形线的性质进行了探究，得到了下列结论，其中正确的是( )
A．曲线不经过第三象限
B．曲线关于直线y=x对称
C．曲线与直线x+y=-1有公共点
D．曲线与直线x+y=-1没有公共点
变式3．（多选）给定下列四条曲线中，与直线x+y-5=0仅有一个公共点的曲线是（ ）
A．y2=-45xB．x22-y22=1C．x2+y2=52D．x29+y24=1
变式4．曲线x24+ay2=1上存在四个点A, B, C, D满足四边形ABCD是正方形，则实数a的取值范围是 ．
变式5．关于曲线C：1x2+1y2=1，有如下结论：
①曲线C关于原点对称； ②曲线C关于直线x±y=0对称；
③曲线C是封闭图形，且封闭图形的面积大于2π；
④曲线C不是封闭图形，且它与圆x2+y2=2无公共点；
其中所有正确结论的序号为 .
变式6．直线2x+5y-15=0与曲线y=-10x交点的坐标为 ．
变式7．已知曲线C1的方程是x2-y=0，曲线C2的方程是y=x，判断C1与C2是否有交点，如果有，求出交点坐标；如果没有，说明理由．
【题型4：轨迹方程问题】
例4．（24-25高三上·河北张家口·开学考试）已知M､N两点坐标分别-2,0,2,0.直线MK､NK相交于点K，且它们的斜率之和是3，则点K的轨迹方程为（ ）
A．3x2-2xy-12=0x≠±2B．3y2-2yx-12=0x≠±2
C．x24+y23=1x≠±2D．x23-y24=1x≠±2
变式1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l1:5x-2y+3m3m+1=0和直线l2：2x+6y-3m9m+20=0，则两直线l1,l2交点的轨迹方程是 ．
变式2．（23-24高二下·全国·随堂练习）当点P在圆x2+y2=1上运动时，连接点P与定点Q4,0，求线段PQ的中点M的轨迹方程．
变式3．（24-25高二上·全国·课堂例题）动点M在曲线x2+y2=1上移动，点M和定点B3,0连线的中点为P，求点P的轨迹方程.
变式4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0．
(1)求直线l与圆相交时，它的斜率k的取值范围；
(2)当l与圆相交于不同的两点A,B时，求线段AB的中点M的轨迹方程．
变式5．（24-25高二上·全国·课堂例题）在等腰△ABC中，若一腰的两个端点分别为A4,2，B-2,0，A为顶点，求另一腰的一个端点C的轨迹方程．
变式6．（24-25高二上·全国·课后作业）设椭圆方程为x2+y24=1，过点M0,1的直线l交椭圆于点A,B,O为坐标原点，点P为线段AB的中点，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程．
变式7．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）①过点C2,0，②圆G恒被直线mx-y-m=0m∈R平分，③与y轴相切；在以上三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知圆G经过点A0,0，B1,1，且_____.
(1)求圆G的一般方程：
(2)设D6,5，P是圆G上的动点，求线段DP的中点M的轨迹方程，并说明表示何曲线?注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
【方法技巧与总结】
1.直接法
当动点直接与已知条件发生联系时，在设出曲线上动点的坐标为（x，y）后，可根据题设条件将普通语言运用基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、面积公式等）变换成表示动点坐标（x，y）间的关系式（等式）的数学语言，从而得到轨迹方程．这种求轨迹方程的方法称为直接法.直接法求轨迹方程经常要联系平面图形的性质.
2.定义法
若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解，这种求轨迹方程的方法称为定义法.利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线的定义特征.
3.代入法
若所求轨迹上的动点P（x，y）与另一个已知曲线C：F（x，y）=0上的动点Q （x1， y1）存在着某种联系，可把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程F（x，y）=0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称为代入法（又称相关点法）.
4.参数法
如果所求轨迹的动点P（x，y）的坐标之间的关系不易找到，也没有相关信息可用时，可先考虑将x，y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法.参数法中常选变角、变斜率等为参数.
注意：①参数的取值范围影响着方程中x和y的取值范围. ②化简方程前后要注意等价性.
一、单选题
1．（24-25高二上·全国·随堂练习）方程x2+xy=x的曲线是（ ）
A．一个点B．一个点和一条直线
C．一条直线D．两条直线
2．（22-23高二·全国·课后作业）到x轴距离与到y轴距离之比等于2的点的轨迹方程为（ ）
A．y=2xx≠0B．y=±2xx≠0C．x=2yx≠0D．x=±2yx≠0
3．（21-22高二·全国·课后作业）若曲线C的方程是Fx,y=0，则曲线C关于x轴对称的曲线方程是（ ）
A．F-x,y=0B．Fx,-y=0
C．F-x,-y=0D．Fy,x=0
4．（21-22高二下·河南郑州·期中）将曲线Fx,y=0上的点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标伸长为原来的3倍，得到的曲线方程为（ ）
A．Fx2,3y=0B．F2x,y3=0
C．Fx2,y3=0D．F2x,3y=0
5．（21-22高二·全国·课后作业）若曲线C的方程为x2-xy+y-5=0，则下列各点中，在曲线C上的点是（ ）
A．(-1,2)；B．(1,-2)；C．(2,-3)；D．(3,6)．
6．（2022高三·全国·专题练习）已知点A(1，0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若RA=AP，则点P的轨迹方程为( )
A．y＝－2xB．y＝2xC．y＝2x－8D．y＝2x＋4
7．（21-22高二上·贵州·阶段练习）已知点A-4,0，B-1,0，动点M(x,y)满足|MA|=2|MB|，则动点M轨迹方程为（ ）
A．x2+y2=4B．x24+y2=1C．x2-y23=1D．y2=4x
8．（20-21高二·全国·课后作业）平面直角坐标平面内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是（ ）
A．x-y=1B．x-y=1
C．x-y=1D．x±y=1
二、多选题
9．（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）若曲线E是由方程x-1=1-y2和y-1=1-x2共同构成，则下列结论不正确的是（ ）
A．曲线E围成的图形面积为π+4
B．若点x0,y0在曲线E上，则x0的取值区间是-2,2
C．若E与直线y=x+m有公共点，则-4≤m≤4
D．若圆x2+y2=r2(r>0)能覆盖曲线E，则r的最小值为2
10．（22-23高二下·湖北·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知定点A0，1，B3，1，动点P满足PA=2PB，记动点P的轨迹为曲线C，直线l:kx-y+2-3k=0(k∈R)，则下列结论中正确的是（ ）
A．曲线C的方程为(x-4)2+(y-1)2=4B．直线l与曲线C的位置关系无法确定
C．若直线l与曲线C相交，其弦长为4，则k=-2D．BP的最大值为3
11．（22-23高二上·湖南长沙·期末）法国数学家笛卡尔开创了解析几何思想方法的先河.他研究了许多优美的曲线，在平面直角坐标系中，方程x3+y3=3axy所表示的曲线称为笛卡尔叶形线.当a=1时，笛卡尔叶形线具有的性质是（ ）
A．经过第三象限B．关于直线y=x对称
C．与直线x+y+1=0有公共点D．与直线x+y+1=0没有公共点
三、填空题
12．（24-25高二上·全国·课后作业）方程1-x=1-y表示的曲线的形状是 ．
13．（24-25高二·上海·随堂练习）过点-3,0，且与圆x-32+y2=4外切的动圆圆心P的轨迹方程为 ．
14．（2024·湖南益阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点F1-1,0,F21,0，若P为平面上的一个动点且PF1=2PF2，则点P运动所形成的曲线的方程为 ．
四、解答题
15．（2023高二上·全国·专题练习）已知点P是曲线y=x2+1上任意一点，A2,0，连接PA并延长至Q，使得AQ=2PA，求动点Q的轨迹方程．
16．（23-24高二下·浙江·开学考试）如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC,D是AC的中点，且B0,0,D3,0.
(1)求点A的轨迹T的方程；
(2)设AC所在直线与轨迹T的另一个交点为E，当△ABD面积最大且A在第一象限时，求AE.
17．（23-24高二上·浙江金华·阶段练习）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A1,1，动点P满足PA=2PO.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)直线l：y=kx+1与轨迹C交于E，F两点，若△OEF的面积为354，求直线l的方程.
18．（23-24高二下·河北保定·开学考试）已知圆M:x2+(y-2)2=r2(r>0)被x轴分成两段弧，弧长之比为3:1．
(1)求r；
(2)若动点P到坐标原点O的距离等于5,Q为圆M上一动点，求PQ的取值范围．
19．（23-24高二上·北京西城·期末）已知⊙C经过点A1,3和B5,1，且圆心C在直线x-y+1=0上.
(1)求⊙C的方程；
(2)设动直线l与⊙C相切于点M，点N8,0.若点P在直线l上，且PM=PN，求动点P的轨迹方程.
课程标准
学习目标
了解曲线与方程的对应关系，领会“曲线的方程与方程的曲线”的概念.
熟悉求曲线方程的步骤以及利用方程研究曲线的性质.
3.掌握求动点轨迹方程的方法
1.重点:曲线与方程的概念;求动点的轨迹方程
2.难点:分析、判断曲线与方程的关系;求动点的轨迹方程
知识点01 曲线的方程与方程的曲线的定义
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y）=0之间具有如下关系：
1.曲线C上的点的坐标都是方程F（x，y）=0的解;
2.以方程F（x，y）=0的解为坐标的点都在曲线C上.
则称曲线C为方程F（x，y）=0的曲线，方程F（x，y）=0为曲线C的方程.
【即学即练1】（21-22高二·全国·课后作业）已知坐标满足方程Fx,y=0的点都在曲线C上，下列命题正确的是（ ）
A．曲线C上的点的坐标都满足方程Fx,y=0
B．不在曲线C上的点的坐标都不满足方程Fx,y=0
C．坐标不满足方程Fx,y=0的点都不在曲线C上
D．曲线C是坐标满足方程Fx,y=0的点的轨迹
【即学即练2】（24-25高二上·全国·课堂例题）分析下列曲线上的点与相应方程的关系：
(1)与两坐标轴的距离之积等于5的点与方程xy=5之间的关系；
(2)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x+y=0之间的关系．
知识点02两曲线的交点
己知两条曲线C1和C2的方程分别为F（x，y）=0，G（x，y）=0，求两条曲线C1和C2的交点坐标，只要联立两个方程得方程组F(x,y)=0G(x,y)=0，求方程组的实数解就可以得到.
【即学即练3】（20-21高二·全国·课后作业）曲线x2+y2+2x=0与曲线y+x=0的交点个数是 ．
【即学即练4】（23-24高三上·青海西宁·期中）已知A-1,0，B1,0，C为平面内的一个动点，且满足|AC|:|BC|=2，则点C的轨迹方程为 .
知识点03 点的轨迹方程
曲线一般都可以看成动点依某种条件运动的轨迹,曲线的方程也常称为满足某种条件的点的轨迹方程.
【即学即练5】（24-25高二上·全国·课后作业）等腰三角形ABC底边两端点分别为A(-3,0),B3,0，顶点C的轨迹是（ ）
A．一条直线B．一条直线去掉一点C．一个点D．两个点
【即学即练6】（21-22高二·全国·课后作业）判断直线2x+5y-15=0与曲线y=-10x是否相交，如果相交，求出交点的坐标．
难点：数形结合的运用
示例1：（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，曲线E:x2+y23=8x2y2的图象是四叶草曲线，设Px0,y0为E上任意一点，且满足P∈{x0,y0|x0∈Z或y0∈Z}，则任取一点P，该点为格点（横、纵坐标均为整数）的概率为 ．
【题型1：曲线方程的概念】
例1．（23-24高二上·上海·期末）已知坐标满足方程Fx,y=0的点都在曲线C上，则下列命题中正确的是（ ）
A．曲线C上的点的坐标都适合方程Fx,y=0
B．不在曲线C上的点的坐标必不适合方程Fx,y=0
C．凡坐标不适合方程Fx,y=0的点都不在曲线C上
D．不在曲线C上的点的坐标有些适合方程Fx,y=0
变式1．（21-22高二上·贵州遵义·期末）设方程x+2y-1x2+y2-2x+2=0表示的曲线是（ ）
A．一个圆和一条直线B．一个圆和一条射线
C．一个圆D．一条直线
变式2．（18-19高二上·安徽芜湖·期末）下列各组方程中，表示相同曲线的一组方程是（ ）
A．y=x与y2=xB．y=x与xy=1
C．y2-x2=0与y=xD．y=lgx2与y=2lgx
变式3．（2014高三·全国·专题练习）方程x-1=1-(y-1)2表示的曲线是（ ）
A．—个圆B．两个圆
C．一个半圆D．两个半圆
变式4．(多选)（22-23高三上·江苏·阶段练习）已知曲线C:x2-y2-xy=1，则（ ）
A．曲线C关于坐标原点对称B．曲线C关于y轴对称
C．x≤-255或x≥255D．x2-2xy+y2≥45
变式5．（20-21高二上·上海徐汇·期末）已知曲线Γ：Fx，y=0对坐标平面上任意一点Px，y，定义FP＝Fx，y．若两点P，Q满足FP⋅FQ＜0，称点P，Q在曲线Γ两侧．记到点0，1与到x轴距离和为5的点的轨迹为曲线C，曲线Γ：Fx，y=x2+y2-y-a=0，若曲线C上总存在两点M，N在曲线Γ两侧，则实数a的取值范围是
变式6．（22-23高三·全国·课后作业）方程xx2+y2-1=0表示的曲线是 .
变式7．（24-25高二上·全国·课前预习）判断下列命题是否正确．
(1)以坐标原点为圆心，r为半径的圆的方程是y=r2-x2；
(2)过点A2,0平行于y轴的直线l的方程为x=2．
【方法技巧与总结】
从集合的意义上来理解曲线和方程的概念
如果把直角坐标平面内曲线上的点所组成的集合记作A，方程F（x，y）=0的解所对应的集合记作B，那么曲线和方程之间的两个关系：①曲线上的点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，反映在集合A和B之间的关系上，就是A⊆B且B⊆A，即A=B.
从集合相等的意义上来理解上述两条规定的必要性，有助于掌握曲线和方程的概念.
【题型2：由方程研究曲线的性质】
例2．已知曲线C的方程为x2+y2+xy=2022，则曲线C关于（ ）对称
A．x轴B．y轴C．原点D．直线y=x
变式1．已知曲线C方程为x2+y2+xy=2023，则曲线C关于（ ）
A．x轴对称B．y轴对称C．原点对称D．y=x对称
变式2．关于方程x2+xy+2y2=4所表示的曲线，下列说法正确的是（ ）
A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于y=x对称D．关于原点中心对称
变式3．两个曲线方程C1：x+y=1，C2：x4+y4=1，我们可以推断出它们的性质，其中错误的是（ ）
A．曲线C1关于y＝x对称
B．曲线C2关于原点对称
C．曲线C2与坐标轴在第一象限围成的图形面积S1<12
D．曲线C2与坐标轴在第一象限围成的图形面积S2<π4
变式4．（多选）某曲线C的方程为x2-xy+y2=4，下列说法正确的是（ ）
A．曲线C关于y=x对称
B．曲线C上的点的纵坐标的最大值是2
C．曲线C与直线x+y-1=0交于A、B两点，则AB=10
D．点x,y在曲线C上，则x2+xy+y2的取值范围为43,12
变式5．（多选）下列四个方程所表示的曲线中既关于x轴对称，又关于y轴对称的是（ ）
A．x29-y24=0B．2y-x2=0
C．4x2+9y=1D．2x2-4x+y4=2
变式6．（多选）已知曲线C：|x-a|a+|y-b|b=1(a>b>0)，则下列结论正确的是（ ）.
A．曲线C关于(a,b)对称
B．x2+y2的最小值为a2b2a2+b2
C．曲线C的周长为2(a+b)
D．曲线C围成的图形面积为2ab
变式7．设曲线C的方程为：F(x,y)=0，一般有如下规律：
①如果以-y代替y，方程保持不变，那么曲线关于 对称；
②如果以-x代替x，方程保持不变，那么曲线关于 对称；
③如果同时以-x代替x，以-y代替y，方程保持不变，那么曲线关于 对称．
例：曲线C的方程为：|x||y|=1，则曲线C关于 对称.
【方法技巧与总结】
求曲线方程的步骤
1.建系：建立适当的坐标系.用有序实数对（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标
2.写集合：写出适合条件p的点M的集合：P={M|p(M)}
3.列方程:用坐标表示条件p（M），列出方程f（x，y）=0
4.化简:化方程f（x，y）=0为最简形式
5.证明:说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上
【题型3：曲线交点问题】
例3.作为平面直角坐标系的发明者，法国数学家笛卡尔也研究了不少优美的曲线，如笛卡尔叶形线，其在平面直角坐标系xOy下的一般方程为x3 + y3－3axy = 0.某同学对a = 1情形下的笛卡尔叶形线的性质进行了探究，得到了下列结论，其中错误的是（ ）
A．曲线不经过第三象限B．曲线关于直线y = x对称
C．曲线与直线x + y =－1有公共点D．曲线与直线x + y =－1没有公共点
变式1．曲线y=1-x2和y=-x+2公共点的个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
变式2．(多选)作为平面直角坐标系的发明者，法国数学家笛卡尔也研究了不少优美的曲线，如笛卡尔叶形线，其在平面直角坐标系xOy下的一般方程为x3+y3-3axy=0.某同学对a=1情形下的笛卡尔叶形线的性质进行了探究，得到了下列结论，其中正确的是( )
A．曲线不经过第三象限
B．曲线关于直线y=x对称
C．曲线与直线x+y=-1有公共点
D．曲线与直线x+y=-1没有公共点
变式3．（多选）给定下列四条曲线中，与直线x+y-5=0仅有一个公共点的曲线是（ ）
A．y2=-45xB．x22-y22=1C．x2+y2=52D．x29+y24=1
变式4．曲线x24+ay2=1上存在四个点A, B, C, D满足四边形ABCD是正方形，则实数a的取值范围是 ．
变式5．关于曲线C：1x2+1y2=1，有如下结论：
①曲线C关于原点对称； ②曲线C关于直线x±y=0对称；
③曲线C是封闭图形，且封闭图形的面积大于2π；
④曲线C不是封闭图形，且它与圆x2+y2=2无公共点；
其中所有正确结论的序号为 .
变式6．直线2x+5y-15=0与曲线y=-10x交点的坐标为 ．
变式7．已知曲线C1的方程是x2-y=0，曲线C2的方程是y=x，判断C1与C2是否有交点，如果有，求出交点坐标；如果没有，说明理由．
【题型4：轨迹方程问题】
例4．（24-25高三上·河北张家口·开学考试）已知M､N两点坐标分别-2,0,2,0.直线MK､NK相交于点K，且它们的斜率之和是3，则点K的轨迹方程为（ ）
A．3x2-2xy-12=0x≠±2B．3y2-2yx-12=0x≠±2
C．x24+y23=1x≠±2D．x23-y24=1x≠±2
变式1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l1:5x-2y+3m3m+1=0和直线l2：2x+6y-3m9m+20=0，则两直线l1,l2交点的轨迹方程是 ．
变式2．（23-24高二下·全国·随堂练习）当点P在圆x2+y2=1上运动时，连接点P与定点Q4,0，求线段PQ的中点M的轨迹方程．
变式3．（24-25高二上·全国·课堂例题）动点M在曲线x2+y2=1上移动，点M和定点B3,0连线的中点为P，求点P的轨迹方程.
变式4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0．
(1)求直线l与圆相交时，它的斜率k的取值范围；
(2)当l与圆相交于不同的两点A,B时，求线段AB的中点M的轨迹方程．
变式5．（24-25高二上·全国·课堂例题）在等腰△ABC中，若一腰的两个端点分别为A4,2，B-2,0，A为顶点，求另一腰的一个端点C的轨迹方程．
变式6．（24-25高二上·全国·课后作业）设椭圆方程为x2+y24=1，过点M0,1的直线l交椭圆于点A,B,O为坐标原点，点P为线段AB的中点，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程．
变式7．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）①过点C2,0，②圆G恒被直线mx-y-m=0m∈R平分，③与y轴相切；在以上三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知圆G经过点A0,0，B1,1，且_____.
(1)求圆G的一般方程：
(2)设D6,5，P是圆G上的动点，求线段DP的中点M的轨迹方程，并说明表示何曲线?注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
【方法技巧与总结】
1.直接法
当动点直接与已知条件发生联系时，在设出曲线上动点的坐标为（x，y）后，可根据题设条件将普通语言运用基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、面积公式等）变换成表示动点坐标（x，y）间的关系式（等式）的数学语言，从而得到轨迹方程．这种求轨迹方程的方法称为直接法.直接法求轨迹方程经常要联系平面图形的性质.
2.定义法
若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解，这种求轨迹方程的方法称为定义法.利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线的定义特征.
3.代入法
若所求轨迹上的动点P（x，y）与另一个已知曲线C：F（x，y）=0上的动点Q （x1， y1）存在着某种联系，可把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程F（x，y）=0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称为代入法（又称相关点法）.
4.参数法
如果所求轨迹的动点P（x，y）的坐标之间的关系不易找到，也没有相关信息可用时，可先考虑将x，y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法.参数法中常选变角、变斜率等为参数.
注意：①参数的取值范围影响着方程中x和y的取值范围. ②化简方程前后要注意等价性.
一、单选题
1．（24-25高二上·全国·随堂练习）方程x2+xy=x的曲线是（ ）
A．一个点B．一个点和一条直线
C．一条直线D．两条直线
2．（22-23高二·全国·课后作业）到x轴距离与到y轴距离之比等于2的点的轨迹方程为（ ）
A．y=2xx≠0B．y=±2xx≠0C．x=2yx≠0D．x=±2yx≠0
3．（21-22高二·全国·课后作业）若曲线C的方程是Fx,y=0，则曲线C关于x轴对称的曲线方程是（ ）
A．F-x,y=0B．Fx,-y=0
C．F-x,-y=0D．Fy,x=0
4．（21-22高二下·河南郑州·期中）将曲线Fx,y=0上的点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标伸长为原来的3倍，得到的曲线方程为（ ）
A．Fx2,3y=0B．F2x,y3=0
C．Fx2,y3=0D．F2x,3y=0
5．（21-22高二·全国·课后作业）若曲线C的方程为x2-xy+y-5=0，则下列各点中，在曲线C上的点是（ ）
A．(-1,2)；B．(1,-2)；C．(2,-3)；D．(3,6)．
6．（2022高三·全国·专题练习）已知点A(1，0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若RA=AP，则点P的轨迹方程为( )
A．y＝－2xB．y＝2xC．y＝2x－8D．y＝2x＋4
7．（21-22高二上·贵州·阶段练习）已知点A-4,0，B-1,0，动点M(x,y)满足|MA|=2|MB|，则动点M轨迹方程为（ ）
A．x2+y2=4B．x24+y2=1C．x2-y23=1D．y2=4x
8．（20-21高二·全国·课后作业）平面直角坐标平面内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是（ ）
A．x-y=1B．x-y=1
C．x-y=1D．x±y=1
二、多选题
9．（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）若曲线E是由方程x-1=1-y2和y-1=1-x2共同构成，则下列结论不正确的是（ ）
A．曲线E围成的图形面积为π+4
B．若点x0,y0在曲线E上，则x0的取值区间是-2,2
C．若E与直线y=x+m有公共点，则-4≤m≤4
D．若圆x2+y2=r2(r>0)能覆盖曲线E，则r的最小值为2
10．（22-23高二下·湖北·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知定点A0，1，B3，1，动点P满足PA=2PB，记动点P的轨迹为曲线C，直线l:kx-y+2-3k=0(k∈R)，则下列结论中正确的是（ ）
A．曲线C的方程为(x-4)2+(y-1)2=4B．直线l与曲线C的位置关系无法确定
C．若直线l与曲线C相交，其弦长为4，则k=-2D．BP的最大值为3
11．（22-23高二上·湖南长沙·期末）法国数学家笛卡尔开创了解析几何思想方法的先河.他研究了许多优美的曲线，在平面直角坐标系中，方程x3+y3=3axy所表示的曲线称为笛卡尔叶形线.当a=1时，笛卡尔叶形线具有的性质是（ ）
A．经过第三象限B．关于直线y=x对称
C．与直线x+y+1=0有公共点D．与直线x+y+1=0没有公共点
三、填空题
12．（24-25高二上·全国·课后作业）方程1-x=1-y表示的曲线的形状是 ．
13．（24-25高二·上海·随堂练习）过点-3,0，且与圆x-32+y2=4外切的动圆圆心P的轨迹方程为 ．
14．（2024·湖南益阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点F1-1,0,F21,0，若P为平面上的一个动点且PF1=2PF2，则点P运动所形成的曲线的方程为 ．
四、解答题
15．（2023高二上·全国·专题练习）已知点P是曲线y=x2+1上任意一点，A2,0，连接PA并延长至Q，使得AQ=2PA，求动点Q的轨迹方程．
16．（23-24高二下·浙江·开学考试）如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC,D是AC的中点，且B0,0,D3,0.
(1)求点A的轨迹T的方程；
(2)设AC所在直线与轨迹T的另一个交点为E，当△ABD面积最大且A在第一象限时，求AE.
17．（23-24高二上·浙江金华·阶段练习）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A1,1，动点P满足PA=2PO.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)直线l：y=kx+1与轨迹C交于E，F两点，若△OEF的面积为354，求直线l的方程.
18．（23-24高二下·河北保定·开学考试）已知圆M:x2+(y-2)2=r2(r>0)被x轴分成两段弧，弧长之比为3:1．
(1)求r；
(2)若动点P到坐标原点O的距离等于5,Q为圆M上一动点，求PQ的取值范围．
19．（23-24高二上·北京西城·期末）已知⊙C经过点A1,3和B5,1，且圆心C在直线x-y+1=0上.
(1)求⊙C的方程；
(2)设动直线l与⊙C相切于点M，点N8,0.若点P在直线l上，且PM=PN，求动点P的轨迹方程.
课程标准
学习目标
了解曲线与方程的对应关系，领会“曲线的方程与方程的曲线”的概念.
熟悉求曲线方程的步骤以及利用方程研究曲线的性质.
3.掌握求动点轨迹方程的方法
1.重点:曲线与方程的概念;求动点的轨迹方程
2.难点:分析、判断曲线与方程的关系;求动点的轨迹方程
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