人教A版 (2019)必修 第一册5.4.3 正切函数的性质与图象同步测试题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.4.3 正切函数的性质与图象同步测试题，共26页。
考点一 函数y＝tan x的图象与性质
【题型归纳】
题型一：正切函数的图象的应用
1．函数与的图像在上的交点有（ ）
A．9个B．13个C．17个D．21个
2．在（0，）内，使成立的的取值范围为（ ）
A．（，）B．C．D．
3．方程的解集是（ ）
A．B．
C．D．
题型二：正切函数的单调性的应用
4．已知函数在内是减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知且，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
题型三：正切函数的定义域、值域
7．函数f（x）=-x＋tanx（＜x＜）的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．是的一个周期
C．的图象关于点对称D．的定义域是
9．已知函数f(x)＝tan x，则下列结论不正确的是（ ）
A．2π是f(x)的一个周期
B．＝
C．f(x)的值域为R
D．f(x)的图象关于点对称
题型四：正切函数图像和性质的综合应用
10．设函数．
(1)求函数的定义域和单调区间;
(2)求不等式的解集．
11．已知函数．
(1)判断函数的奇偶性，并给出证明；
(2)求函数的最小值．
12．设函数 .
(1)求函数 的定义域;
(2)求不等式 的解集.
【双基达标】
一、单选题
13．函数的单调递增区间为（ ）
A．，B．，
C． ，D． ，
14．下列关于函数说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为RB．函数为奇函数
C．函数的最小值为0D．函数的最小正周期为
15．若直线（）与函数的图象无公共点，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
16．函数，的值域为（ ）
A．B．C．D．
17．已知，则“函数的图象关于原点对称”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
18．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
19．已知函数的图像与直线的相邻两个交点的距离为，则的图像的一个对称中心是（ ）
A．B．C．D．
20．现有四个命题：
①；②③函数的图像存在对称中心；
④函数的最小正周期为．
其中真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
21．若将函数的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．4
22．已知函数的最小正周期为2，其图象过点.
(1)求的解析式和对称中心；
(2)请指出函数的图象可由的图象经过怎样的变换得到.
23．已知函数
(1)求的定义域和最小正周期；
(2)求的单调区间．
【高分突破】
一、单选题
24．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的定义域为R
B．函数的最小正周期为4
C．函数的单调递增区间为，
D．函数图像的对称中心为，
25．函数，某相邻两支图象与坐标轴分别交于点，则方程所有解的和为（ ）
A．B．C．D．
26．设函数，则在上所有零点的和为（ ）．
A．B．C．D．
二、多选题
27．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是的一个周期B．
C．的定义域是D．的图象关于点对称
28．下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
29．关于函数的说法中正确的是（ ）
A．定义域是，B．图像关于点对称
C．图像关于直线对称D．在区间上单调递增
30．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为B．的定义域为
C．D．在上单调递减
31．（多选）已知函数，则（ ）
A．的图像关于y轴对称B．的最小正周期为
C．在区间上单调递增D．的图像关于点对称
32．下列说法正确的是（ ）
A．若函数则
B．函数的最小正周期为
C．已知，若直线分别与的图像的交点为M，N，则的最大值为2
D．不等式的解为
三、填空题
33．函数的值域为______.
34．若函数的图象的相邻两支截直线所得的线段长为，则______．
35．若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是______．
36．已知函数的图象关于点中心对称，则的一个值可以是___________.
37．已知，若，则的取值范围是_______.
38．函数，的值域为______．
39．若将函数（ω＞0）的图像向右平移个单位长度后，与函数y＝的图像重合，则ω的最小值为________.
四、解答题
40．设函数，已知函数的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点对称.
(1)求的单调区间；
(2)求不等式的解集.
41．已知函数．
(1)求的定义域和值域．
(2)讨论的最小正周期和单调区间．
(3)求的对称中心．
42．已知
(1)求函数的周期和单调递减区间；
(2)试比较与的大小．
43．判断下列函数的奇偶性：
(1)；
(2).
解析式
y＝tan x
图象
定义域
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))
值域
R
最小正周期
π
奇偶性
奇函数
单调性
在每个开区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)上都是增函数
对称性
对称中心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)
【答案详解】
1．A
【解析】直接解方程确定．
【详解】，则或，显然的解包含在中，
，，，∴共9个．
故选：A．
【点睛】本题考查正弦函数与正切函数图象交点问题，可通过解方程确定解的个数．
2．B
【分析】画出和直线的图象，由图象可得不等式的解集.
【详解】
画出和直线的图象，
由图象可得,在上解集为，
故选B.
【点睛】本题考查利用正切函数的图象解不等式，关键是掌握正切函数的图像和性质，利用数形结合思想求解.
3．C
【分析】把方程化为，结合正切函数的性质，即可求解方程的解，得到答案.
【详解】由题意，方程，可化为，
解得，，即方程的解集为.
故选：C.
4．C
【分析】由正切函数的图象与性质，得出关于的不等式组，求出解集即可．
【详解】由函数在内是减函数.
所以，且，解得：.
故选：C
【点睛】本题考查了正切函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
5．A
【分析】根据和正切函数的单调性直接得出结果.
【详解】由题意得，
函数在上单调递增且，
在上单调递增且，
因为，
所以，
所以.
故选：A.
6．B
【分析】对的范围分三种情况讨论，结合正切函数的性质计算可得；
【详解】解：因为在上单调递增，
当时，则即，解得，所以，
当时，则即，解得，所以，
当时，此时无意义，故舍去，
综上可得.
故选：B
7．D
【分析】利用函数的奇偶性排除部分选项，再利用特殊值判断.
【详解】因为，所以是奇函数，排除BC，
又因为，排除A，
故选：D
8．C
【分析】画出函数的图象，观察图象可解答.
【详解】画出函数的图象，易得的周期为 ，且是偶函数，定义域是，故A，B，D正确；
点不是函数的对称中心，C错误.
故选：C
9．B
【分析】根据正切函数的性质判断．
【详解】A．(x)＝tan x的最小正周期为π，所以2π是f(x)的一个周期，所以该选项正确；
B．，＝－1，所以该选项不正确；
C．f(x)＝tan x的值域为R，所以该选项正确；
D．f(x)＝tan x的图象关于点对称，所以该选项正确．
故选：B．
10．(1)定义域为；无单调递减区间；单调递增区间为
(2)
【分析】（1）由可求得定义域；令可解得的单调递增区间；
（2）将看作一个整体，可得，解不等式即可求得不等式的解集.
【详解】（1）由题意得：，解得：，
的定义域为；
令，解得：，
的单调递增区间为，无单调递减区间.
（2）由得：，解得：，
则的解集为.
11．(1)是偶函数，证明见解析.
(2)2.
【分析】（1）根据偶函数的定义进行证明.
（2）去绝对值，转化为分段函数问题进行处理.
（1）
是偶函数，证明如下：
因为函数，所以的定义域为，
所以的定义域关于原点对称，又，
即，所以是偶函数．
（2）
因为函数，去绝对值有：
，所以当时，取得最小值2．
所以函数的最小值2.
12．(1)
(2)
【分析】（1）（2）根据正切函数的性质计算可得；
(1)
解：函数，
所以，，解得，；
故函数的定义域为．
(2)
解：因为，，则，，
解得，，
故原不等式的解集为，
13．A
【分析】利用正切函数的单调递增区间，可令，求得x的范围，即得答案.
【详解】根据正切函数的单调性可得，欲求的单调增区间，
令 ，，解得 ，，
所以函数的单调递增区间为，，
故选：A.
14．D
【分析】由解析式有意义列不等式求函数的定义域，判断A；根据偶函数的定义判断B；根据正切函数的性质作函数的图象，利用图象判断C，D.
【详解】对于选项A，函数的定义域为，故选项A错误;
对于选项B，函数的定义域为关于原点对称，
又，则函数为偶函数，故选项B错误;
对于选项C，根据函数的奇偶性结合正切函数的相关性质，
根据图象变换作出函数草图如下：
由图可知，函数没有最小值，最大值为0，故选项C错误;
对于选项D，同样由图可知函数的最小正周期为，故选项D正确.
故选：D.
15．B
【分析】根据题意可得，得，从而转化为解不等式，利用正切函数的性质求解即可.
【详解】因为直线与函数的图象无公共点，且，
所以，所以，
故可化为，
所以解得
所以不等式的解集为，
故选：B．
16．A
【分析】设，求得，然后根据正切函数在上递增，可求出函数的值域.
【详解】设，因为，所以．
因为正切函数在上单调递增，且，，
所以．
故选：A．
17．B
【分析】求出函数的图象关于轴对称所满足的条件，再利用充分条件和必要条件的定义进行求解即可
【详解】的图象关于原点对称，故，
因为可以推出，
但推不出，
所以“函数的图象关于原点对称”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
18．B
【分析】利用正弦、余弦函数、正切函数的周期公式求出周期可排除选项A、D，利用单调性可排除选项C，进而可得正确选项.
【详解】对于选项A：由于的周期为，故选项A不正确；
对于选项B：由于以为最小正周期，且在区间上为减函数，故选项B正确；
对于选项C：故由于的周期为，故选项C不正确；
对于选项D：由于在区间上为增函数，故选项D不正确.
故选：B.
19．C
【分析】根据给定信息，结合正切函数的性质求出，再列出方程可求解.
【详解】由函数的图像与直线的相邻两个交点的距离为，
则有的周期，解得，
于是得，
所以的图像的对称中心横坐标方程满足，（），
解得，（）,可知为其一个对称中心.
故选：C
20．C
【分析】对于①：利用函数单调性结合最值判断；对于②：，利用基本不等式处理运算；对于③：可证为奇函数；对于④：的最小正周期为，结合图像变换分析判断．
【详解】因为在上单调递增，且，所以①是假命题．
当时，，所以②是真命题．
因为，所以为奇函数，其图像关于原点对称，所以③是真命题．
的最小正周期为，则函数的最小正周期，所以④是真命题．
故选：C．
21．C
【分析】求出平移后的函数解析式，再利用正切函数的性质列式求解作答.
【详解】函数的图象向右平移个单位得，
依题意，，，解得，而，有，，
所以的最小值为2．
故选：C
22．(1)，
(2)答案见解析
【分析】（1）利用周期公式可得,将点代入解析式即得函数；
（2）利用三角函数图象的变换写出变换过程.
(1)
由已知得，解得.
将点代入解析式，，可知，
由可知，于是.
令，解得，
于是函数图象的对称中心为.
(2)
先把函数的图象向右平移个单位得到，再把函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的得到，再把函数的图象横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍得到.
23．(1)定义域为；最小正周期为
(2)单调递减区间为
【分析】（1）令即可解得的定义域，（）的最小正周期（2）函数与单调性相反，求得单调递减区间即是求的单调递增区间
(1)
要使函数有意义，只需 ，
解得，
所以函数的定义域为．
函数的最小正周期为．
(2)
由于正切函数在区间上单调递增，
对于函数令，
解得，
即在上单调递增
而函数与单调性相反
故函数单调递减区间为
24．D
【分析】利用整体代入法，由正切函数的定义域可判断A；由三角函数的周期公式可判断B；由正切函数的单调区间可判断C；由正切函数的对称中心可判断D.
【详解】由得，
所以函数的定义域为，故A错误；
函数的最小正周期为，故B错误；
由得，
函数的单调递增区间为，，故C错误；
由得,
所以函数的对称中心为，，故D正确.
故选：D.
25．B
【分析】先求出，进而求出，代入特殊点坐标，求出，得到，从而得到方程，结合，求出，，得到答案.
【详解】由题意得：，所以，
因为，所以，所以，
又，，解得：，
所以，
故，
因为，所以，
当或满足题意，
所以或时，解得：，
故.
故选：B.
26．D
【分析】将函数的零点问题，转化为函数图象的交点问题，根据对称性，可求得答案.
【详解】令，则，
故在上所有零点问题，即为函数的图象的交点问题；
作出函数在 上的大致图象，如图示：
由于的最小正周期 ,故在上正好有的11个周期，
每个周期内图象和直线 都有一个交点，
故在上共有 个交点，
由于点 为的对称中心，
故在 上，图象的交点也有12个，
且和上的交点两两关于对称，
因此图象所有交点的横坐标之和为 ，
即在上所有零点的和为 ，
故选：D
27．ABC
【分析】根据的图象逐个分析即可.
【详解】对A，画出函数的图象（如图），易得的周期为，取，则是的一个周期，故A正确；
对B，是偶函数，则，故B正确；
对C，易得的定义域是，故C正确；
对D，由图可得点不是函数图象的对称中心，故D错误．
故选：ABC
28．AD
【分析】根据正切函数的单调性及诱导公式即可求解.
【详解】对于A，因为，函数在上单调递增，所以．故A正确；
对于B, ．故B不正确；
对于C，，．又，函数在上单调递增，所以，即．故C不正确；
对于D，，．
又，函数在上单调递增，
所以，即．故D正确.
故选：AD.
29．AB
【分析】利用正切函数的图像与性质以及“整体代换”的方法进行求解.
【详解】对于A，因为函数，由，，
得，，故A正确；
对于B，函数，因为，所以图像关于点对称，
故B正确；
对于C，函数，所以函数不存在对称轴，故C错误；
对于D，函数，因为，所以，又区间不是函数的单调递增区间，故D错误．
故选：AB.
30．AC
【分析】根据正切函数的周期性、定义域、特殊角的正切值和单调性依次判断选项即可.
【详解】对于A：函数的最小正周期，故A正确；
对于B：由，，得，，
所以函数的定义域为，故B错误；
对于C：，，
所以，故C正确；
对于D：当时，，
因为在单调递增，
所以在上单调递增，故D错误.
故选：AC.
31．AC
【分析】对于A，通过判断函数的奇偶性求解，对于BCD，作出函数的图像，利用图像判断.
【详解】由，得，，所以的定义域关于原点对称．又，所以函数为偶函数，其图像关于y轴对称，故A正确．
当时，，作出函数在时的简图，再由的图像关于y轴对称得函数的简图，如图．
根据函数图像知，函数不具有周期性，且在区间上单调递增，函数图像不关于点对称，故B，D错误，C正确．
故选：AC．
32．AC
【分析】根据三角函数有关性质对选项逐一判断
【详解】对于A，由诱导公式知，即，故A正确
对于B，的最小正周期为，故B错误
对于C，，最大值为2，故C正确
对于D，由正切函数图像可知不等式的解为，故D错误
故选：AC
33．
【分析】根据题意，结合正切函数的图象与性质，即可求解.
【详解】设，因为，可得，
因为正切函数在上的值域为，
即函数在的值域为.
故答案为：.
34．
【分析】根据题意可得出函数的最小正周期，求出的值，然后代值计算可得的值.
【详解】因为，
且函数的图象的相邻两支截直线所得的线段长为，
所以，函数的最小正周期，所以，则，
因此，.
故答案为：.
35．
【分析】根据正切函数的性质得到不等式组，解不等式组即可.
【详解】解：因为，所以，
所以，解得，即．
故答案为：
36．（答案不唯一）
【分析】由正切函数的图象与性质即可得解.
【详解】解：因为的图象关于点中心对称，所以，，
则，.
当时，
故答案为：
37．
【分析】根据角的范围分区间讨论，去掉绝对值号，转化为不含绝对值的三角不等式，求解即可.
【详解】由题，当时，原不等式可化为，解得，
当时，由原不等式可得，解得，
综上.
故答案为：
38．
【分析】由的范围求出的范围，再根据二次函数的性质即可得出答案.
【详解】因为，所以，
，
则当时，，
当时，，
所以函数的值域为.
故答案为：.
39．1
【分析】根据图像变换得到,解出ω的范围，即可求出ω的最小值.
【详解】将函数（ω＞0）的图像向右平移个单位长度后，得到的图象，由于与函数的图像重合，
所以（k∈Z），整理得：ω＝1﹣12k.
因为ω＞0，所以当k＝0时，ω的最小正值为1.
故答案为：1
40．(1)单调递增区间：，，无递减区间
(2)
【分析】（1）根据函数周期性，结合函数图象过的点的坐标，代值计算即可求得参数，则解析式可求；利用整体法代换法，即可求得函数的单调区间；
（2）根据（1）中所求解析式，利用正切函数的单调性，即可解得不等式.
(1)
由题意知，函数f(x)的最小正周期为T＝，
即，因为ω>0，所以ω＝2，从而f(x)＝tan(2x＋φ)，
因为函数y＝f(x)的图象关于点M对称，
所以2×＋φ＝，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z.
因为0