人教B版 (2019)必修 第一册函数及其表示方法教案设计

这是一份人教B版 (2019)必修 第一册函数及其表示方法教案设计，共7页。教案主要包含了情境导入，新课探究，课堂练习，课堂小结，布置作业等内容，欢迎下载使用。
一、情境导入
问题一：夏天，大家都喜欢吃西瓜，而西瓜的价格往往与西瓜的质量相关.小李到一家水果店买西瓜，价格表上写的是：3斤以下，每斤1元，3斤以上5斤以下每斤1.2元，5斤以上，每斤1.5元.小李挑选了一个西瓜，店主称重后说：“6元5角，5角就不要了，给6元吧.”可小李说：“你不仅没少要，反而多收了钱。”当小李讲出了理由，店主只好承认了错误，照实收了钱.
提示：若西瓜重5斤以下最多付6元，若西瓜重5斤以上最少付7.5元，不可能出现6.5元这样的价钱，所以店主坑人了.
问题二：语言是沟通人与人之间的联系的，同样的祝福有着不同的表示方法，例如，简体中文中的“生日快乐！”用繁体中文为“生日快樂！”，那么对于函数又有什么不同的表示方法呢？
由上面两个例子引出函数的表示方法.
二、新课探究
1.教师引导学生阅读教材第85页的情境与问题（国家统计局的课题组公布的中国创新指数和利用医疗仪器测量心脏在各时刻的指标值），并思考下面问题：
思考（1）：是的函数吗？
提示：是的函数，记为.
思考（2）：这种表示函数的方法叫什么？
提示：列表法.
思考（3）：从表格中可以知道和的值吗？
提示：，.
思考（4）：是的函数吗？
提示：是的函数.
思考（5）：这种表示函数的方法叫什么？
提示：图像法.
2.函数图像的定义.
一般地，将函数，中的自变量和对应的函数值，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点组成的集合称为函数的图像，即.
用函数图像表示函数的方法称为图像法.
思考（1）：如果是函数的图像，那么图像上任意一点的坐标满足函数关系吗？
思考（2）：满足函数关系的点一定在函数图像上吗？
思考（3）：作函数的图像需要描出所有的点吗？
思考（4）：想一想初中如何作正比例函数与一次函数的图像？
想一想：函数的表示方法有哪几种？
提示：解析法、列表法、图像法.
3.学生分析讨论教材第89～90页例4，教师巡回答疑.
例4 北京市自2014年5月1日起，居民用水实行阶梯水价：年用水量不超过180 的部分，综合用水单价为5元/；超过180 但不超过260 的部分，综合用水单价为7元/.如果北京市一居民年用水量为 ，其要缴纳的水费为元.假设，试写出的解析式，并作出图像.
解：如果，则；
如果，按照题意有
.
因此
因为，
，
由此可作出函数的图像如图所示.
想一想：在不同的区间上的图像有何特征？
提示：在每个区间上的图像都是直线的一部分.
想一想：这个函数的表示形式原来学过吗？
提示：没有.这个函数是分段函数.
4.分段函数.
如果一个函数，在其定义城内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数.
请同学们阅读教材第90页上面的“尝试与发现”.
想一想：函数是分段函数吗？其定义域、值域是什么？其图像能作出吗？
提示：函数被称为狄利克雷函数，狄利克雷是德国数学家.
函数的定义域为，值域为，其图像不能形象地展示出来.
想一想：函数中与之间有何特点？
提示：在不同区间内取值时，与所对应的关系不同.
5.请同学们学习、讨论教材第90页例5.
例5 设为任意一个实数，是不超过的最大整数，判断这种对应关系是否是函数.如果是，作出这个函数的图像；如果不是，请说明理由.
想一想：“尝试与发现”中对应的如何填写？
提示：根据例5，设为任意一个实数，是不超过的最大整数，，的对应关系如下：
解：因为当且时，有，因为任何一个实数，都必定在某个形如的区间内.因此给定一个，有唯一的与之对应，所以这种对应关系是函数.
由上可看出，在每一个区间内，函数的图像是直线的一部分，由此可作出这个函数的图像如图所示.
想一想：这个函数如何表示？求其定义域、值域.
提示：这个函数通常称为取整函数，记作：.
这个函数早在18世纪就被“数学王子”高斯提出，因此也被称为高斯取整函数.
其定义域为，值域为.
像这样的特殊函数，我们在今后的学习中还会碰到，例如：值域只有一个元素的函数，这类函数通常称为常数函数.
例如：，是一个常数函数，值域为，其图像是一条垂直于轴的直线.
6.请同学们学习、讨论教材第91页例6，教师巡回答疑.
例6 已知函数，指出这个函数的定义域、值域，并作出这个函数的图像.
解：函数的定义域为.由在时有解可知，函数的值域为.
通过描点作图法，可以作出这个函数的图像如图所示.
7.请同学们学习、讨论教材第91页例7，教师巡回答疑.
例7 已知二次函数的图像过点，，，求这个二次函数的解析式.
解：设函数解析式为，则由此可解得，，，因此所求函数解析式为.
思考：例7中求函数解析式的方法是什么？借助了什么知识？
提示：待定系数法，借助了方程或方程组的知识.
思考：待定系数法求函数解析式的步骤是什么？
提示：设、列、解、答.
8.请同学们学习、讨论教材第92页例8，教师巡回答疑.
例8 已知，求.
解：由已知可得.
想一想：在例8中，如果设，则与是同一个函数吗？
提示：因为，所以.
由于与的定义域相同，解析式不同，所以与是不同函数.
想一想：利用例8中的函数，如何求，，，，？
提示：因为，所以
，，，，
.
想一想：已知，如何求的解析式？与有何关系？
提示：因为，令，则，所以.
我们的习惯是把自变量用表示，所以.
把函数的图像向右平移一个单位长度后得到函数的图像，这两个函数的定义域相同，值域也相同.
想一想：已知的解析式求的解析式的方法是什么？
提示：已知，求的解析式一般采用换元法.
换元法（或配凑法）、方程组法求函数解析式的思路：
已知，求，常用的有两种方法：
①换元法，即令，解出，代入中，得到一个含的解析式，即为所求函数解析式.注意：换元后新元的范围.
②配凑法，即从的解析式中配凑出“”，即用来表示，然后将解析式中的用代替即可.
思考讨论：（教师巡回指导）已知，则的解析式是_______.
解：法一 设，则.
因为，
所以.
故的解析式是.
法二 因为，所以.
所以的解析式是.
三、课堂练习
教材第93页练习A第7题.
四、课堂小结
1.函数三种表示方法的优缺点：
2.理解分段函数应注意的问题：
（1）分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集.写定义域时，区间的端点需不重不漏.
（2）求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式.
（3）研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图像时，可先将各段的图像分别作出来，从而得到整个分段函数的图像.
3.求函数解析式常用的方法有：（1）待定系数法；（2）换元法；（3）配凑法；（4）消元法等.
五、布置作业
教材第93页练习A第6，8题；教材第94页练习B第9，10题.
板书设计
教学研讨
1.本案例亮点：
根据教材中问题情境设置问题，帮助学生学习函数图像、分段函数的概念，新知识，同时也有学生活动的内容，使学生在活动中学习概念，体验数学抽象、直观想象等数学素养.
2.建议可以多关注新模拟题、高考题，体验本节知识的常规题型、新题型.
3.本案例在相关核心素养的体现上还有很大的挖掘空间.
6.89
5
-1.5
-2
6
5
3
-2
-2
第2课时 函数的表示方法
1.函数图像的定义.
一般地，将函数，中的自变量和对应的函数值，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点组成的集合称为函数的图像，即.
用函数图像表示函数的方法称为图像法.
例4
2.分段函数.
如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数.
3.狄利克雷函数.
例5 高斯取整函数
常数函数
例6 例7 例8
小结
数学知识：
1.函数三种表示方法的优缺点.
2.理解分段函数应注意的问题.
3.求函数解析式常用的方法.