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高中人教B版 (2019)3.1.1 函数及其表示方法精品第2课时2课时导学案
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这是一份高中人教B版 (2019)3.1.1 函数及其表示方法精品第2课时2课时导学案，共10页。
知识点 函数的表示方法[来源:ZXXK]
1.解析法：用代数式(或解析式)表示函数的方法.
[微体验]
y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为( )[来源:学*科*网]
A.y＝eq \f(1,x) B.y＝－eq \f(1,x)
C.y＝eq \f(2,x) D.y＝－eq \f(2,x)
C [设y＝eq \f(k,x)(k≠0)，由题意知1＝eq \f(k,2)，所以k＝2，所以y＝eq \f(2,x).]
2.图像法
(1)图像法：用函数的图像表示函数的方法.
(2)函数图像：一般地，将函数y＝f(x)，x∈A中的自变量x和对应的函数值y，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标和纵坐标，则满足条件的点(x, y)组成的集合F称为函数的图像，即F＝{(x，y)|_y＝f(x)，x∈A}.
注意：如果F是函数y＝f(x)的图像，则图像上任意一点的坐标(x，y)都满足函数关系y＝f(x)；反之，满足函数关系y＝f(x)的点(x，y)都在函数图像F上.
3.两种特殊函数
(1)分段函数：如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数.
(2)常数函数：值域只有一个元素的函数，也就是说，常数函数中所有自变量对应的函数值都相等.
[微体验]
1.已知f(x)＝π(x∈R)，则f(π2)等于( )
A.π2 B.π
C.eq \r(π) D.不确定
答案 B
2.下列图像是函数y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，x＜0，,x－1，x≥0))的图像的是( )
C [由于f(0)＝0－1＝－1，所以函数图像过点(0，－1)；当x＜0时，y＝x2，则函数图像是开口向上的抛物线y＝x2在y轴左侧的部分.因此只有图像C符合.]
3.函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x≤1，,－x＋3，x>1，))则f(f(4))＝________.
0 [因为f(4)＝－4＋3＝－1，f(－1)＝－1＋1＝0，
所以f(f(4))＝f(－1)＝0.]
探究一 函数解析式的求法
(1)已知反比例函数f(x)满足f(3)＝－6.求f(x)的解析式；
(2)已知f(eq \r(x)＋1)＝x＋2eq \r(x).求f(x)的解析式.
解 (1)设反比例函数f(x)＝eq \f(k,x)(k≠0)，
则f(3)＝eq \f(k,3)＝－6，解得k＝－18. 所以f(x)＝－eq \f(18,x).
(2)方法一：换元法.令eq \r(x)＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2.[来源:]
所以f(t)＝(t－1)2＋2eq \r(t－12)＝t2－1.
所以f(x)＝x2－1(x≥1).
方法二：配凑法.因为x＋2eq \r(x)＝(eq \r(x)＋1)2－1，
所以f(eq \r(x)＋1)＝(eq \r(x)＋1)2－1.
又因为eq \r(x)＋1≥1，所以f(x)＝x2－1(x≥1).
[变式探究] 将本例(2)中的已知条件改为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x,1－x2)呢？
解 方法一：换元法.设t＝eq \f(1,x)，则x＝eq \f(1,t)(t≠0)，
代入feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x,1－x2)，得f(t)＝eq \f(\f(1,t),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)))2)＝eq \f(t,t2－1).
故f(x)＝eq \f(x,x2－1)(x≠0，且x≠±1).
方法二：因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x,1－x2)＝eq \f(\f(1,x),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))2－1)，
所以f(x)＝eq \f(x,x2－1)(x≠0，且x≠±1).
[方法总结]
求函数解析式的两种方法
方法一：待定系数法.
适用条件：函数的类型已知，如一次函数、二次函数等.
操作过程：
方法二：换元法.
适用条件：已知y＝f(g(x))，求f(x)的解析式.
操作过程：[来源:]
提醒：利用换元法求函数解析式要注意函数的定义域.
探究二 函数图像的画法及应用
作出下列函数的图像，并指出其值域.
(1)y＝x2＋x(－1≤x≤1)；
(2)y＝eq \f(2,x)(－2≤x≤1，且x≠0).
解 (1)用描点法可以作出所求函数的图像如图①所示. 由图可知y＝x2＋x(－1≤x≤1)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，2)).
(2)用描点法可以作出函数的图像如图②所示.
由图可知y＝eq \f(2,x)(－2≤x≤1, 且x≠0)的值域为(－∞，－1]∪[2，＋∞).
[方法总结]
描点法作函数图像的三个关注点
(1)画函数图像时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图.
(2)图像是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图像.
(3)要标出某些关键点，例如图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等. 要分清这些关键点是实心点还是空心圈.
提醒：函数图像既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等. ,
[跟踪训练1] 作出下列函数图像：
(1)y＝1－x(x∈Z，且|x|≤2)；
(2)y＝2x2－4x－3(0≤x＜3).
解 (1)因为x∈Z，且|x|≤2，所以x∈{－2，－1,0,1,2}.
所以图像为一直线上的孤立点，如图①.
(2)因为y＝2(x－1)2－5，
所以当x＝0时，y＝－3；当x＝3时，y＝3；
当x＝1时，y＝－5. 所画函数图像如图②.
探究三 分段函数求值问题
已知函数f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2x＜0，,x20≤x＜2，,\f(1,2)xx≥2.))
(1)求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))))))的值；
(2)若f(x)＝2，求x的值.
解 (1)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋2＝eq \f(3,2)，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))))))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2＝eq \f(9,4).
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))))))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)))＝eq \f(1,2)×eq \f(9,4)＝eq \f(9,8).
(2)当f(x)＝x＋2＝2时，x＝0, 不符合x＜0.
当f(x)＝x2＝2时，x＝±eq \r(2)，
其中x＝eq \r(2)符合0≤x＜2.
当f(x)＝eq \f(1,2)x＝2时，x＝4，符合x≥2.
综上，x的值是eq \r(2)或4.
[变式探究] 本例已知条件不变，若f(x)＝－2，求x的值.
解 当x＋2＝－2时，x＝－4，符合x＜0.当x2＝－2时，无解.当eq \f(1,2)x＝－2时，x＝－4，不符合x≥2.
综上，x的值是－4.
[方法总结]
1.求分段函数的函数值的方法
(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间.
(2)然后代入该段的解析式求值.当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值.
2.已知函数值求字母取值的步骤
(1)先对字母的取值范围分类讨论.
(2)然后代入到不同的解析式中.
(3)通过解方程求出字母的值.
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内.
[跟踪训练2] 已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，x＞0，,fx＋1，x≤0，))则f(2)＋f(－2)的值为( )
A.8 B.5
C.4 D.2
B [f(2)＝22＝4，f(－2)＝f(－2＋1)＝f(－1)＝f(－1＋1)＝f(0)＝f(0＋1)＝f(1)＝1，所以f(2)＋f(－2)＝4＋1＝5.]
1.如何求函数的解析式
求函数的解析式的关键是理解对应关系f的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域.主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法).
2.如何作函数的图像
一般地，作函数图像主要有三步：列表、描点、连线.作图像时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，然后列表描出图像，画图时要注意一些关键点，如与坐标轴的交点，端点的虚实问题等.
3.对分段函数的四点说明
(1)分段函数在各段上自变量的取值范围不可能有公共部分.
(2)分段函数是一个函数，只是各段上对应法则不同而已.
(3)图像：分段函数的图像由几部分构成，有的可以是光滑的曲线，有的也可以是一些孤立的点、线段、射线、直线等.
(4)求值关键：求分段函数的某些函数值的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式，一定要坚持定义域优先的原则.
课时作业(十七) 函数的表示方法
1.下列图形是函数y＝－|x|(x∈[－2,2])的图像的是( )
B [y＝－|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x， －2≤x<0，,－x，0≤x≤2，))其图像是x轴下方的两条线段，包括x＝±2时的两个端点.]
2.已知函数f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)＝( )
A.3x＋2 B.3x－2
C.2x＋3 D.2x－3
B [设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(22k＋b－3k＋b＝5，,2b－－k＋b＝1.))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝3，,b＝－2.))所以f(x)＝3x－2.]
3.已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x＞0，,fx＋1，x≤0，))则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))等于( )
A.－2 B.4
C.2 D.－4
B [因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))＝2×eq \f(4,3)＝eq \f(8,3)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)＋1))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)＋1))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))＝2×eq \f(2,3)＝eq \f(4,3)，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))＝eq \f(8,3)＋eq \f(4,3)＝4.]
4.已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝2，则a的值等于( )
A.1 B.3
C.5 D.－1
A [由f(2x＋1)＝3x＋2，令2x＋1＝t，所以x＝eq \f(t－1,2)，
所以f(t)＝3·eq \f(t－1,2)＋2，所以f(x)＝eq \f(3x－1,2)＋2，所以f(a)＝eq \f(3a－1,2)＋2＝2，所以a＝1.]
5.函数y＝ax2＋a与y＝eq \f(a,x)(a≠0)在同一坐标系中的图像可能是( )
D [由函数y＝ax2＋a中一次项系数为0，易得函数y＝ax2＋a的图像关于y轴对称，可排除A；当a>0时，函数y＝ax2＋a的图像开口方向朝上，顶点(0，a)在x轴上方，可排除C; 当a<0时，函数y＝ax2＋a的图像开口方向朝下，顶点(0，a)在x轴下方，函数y＝eq \f(a,x)(a≠0)的图像位于第二、四像限，可排除B.]
6.(多空题)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x)，x＞1，,－x－2，x≤1，))则f(f(2))＝______；函数f(x)的值域是________.
－eq \f(5,2) [－3，＋∞) [f(2)＝eq \f(1,2)，f(f(2))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－eq \f(5,2)，当x>1时，f(x)∈(0,1)，当x≤1时，f(x)∈[－3，＋∞)，所以f(x)∈[－3，＋∞).]
7.已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x≤1，,－x＋3，x＞1，))若f(x)＝－1，则x＝________.
－2或4 [因为f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x≤1，,－x＋3，x＞1，))f(x)＝－1，所以当x≤1时，由x＋1＝－1，解得x＝－2；当x>1时，由－x＋3＝－1，解得x＝4，所以x＝－2或x＝4.]
8.某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况
“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100 km平均耗油量为________L.
8 [由表格信息，得到该车加了48 L的汽油，跑了600 km，所以该车每100 km平均耗油量48÷6＝8.]
9.已知函数f(x)＝eq \f(|x|－x,2)＋1，(－2
(1)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数；
(2)在坐标系中画出该函数的图像，并求出函数的值域.
解 (1)①当0≤x≤2时，f(x)＝eq \f(x－x,2)＋1＝1.
②当－2
故f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，0≤x≤2，,－x＋1，－2
(2)函数f(x)图像如图所示：
由图可知，函数f(x)的值域为[1,3).
1.如图所示，点P从点A处出发，按逆时针方向沿边长为a的正三角形ABC运动一周，O为△ABC的中心，设点P走过的路程为x，△OAP的面积为f(x)(当A，O，P三点共线时，记面积为0)，则函数f(x)的图像大致为( )
A [由三角形的面积公式知，当0≤x≤a时，f(x)＝eq \f(1,2)·x·eq \f(1,3)·eq \f(\r(3),2)a＝eq \f(\r(3),12)ax，故在[0, a]上的图像为线段，故排除B；当a
2.若函数f(x)＝x2－4|x|＋5与直线y＝m有4个公共点，则m的取值范围是______________________.
(1, 5) [f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－4x＋5，x≥0，,x2＋4x＋5，x<0.))作其图像，如图所示，
由图可知1
3.定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x). 若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝__________.
－eq \f(xx＋1,2) [当－1≤x≤0时，0≤x＋1≤1，因为当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，所以f(x＋1)＝(x＋1)[1－(x＋1)]＝－x(x＋1)，又因为函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)，所以f(x)＝eq \f(fx＋1,2)＝－eq \f(xx＋1,2).]
4.画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图像，并根据图像回答下列问题：
(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；
(2)若x1
(3)求函数f(x)的值域.
解 因为函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R，
列表：
描点，连线，得函数图像如图：
(1)根据图像，容易发现f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，
所以f(3)
(2)根据图像，容易发现当x1
有f(x1)
(3)根据图像，可以看出函数的图像是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4].
5.(拓广探索)甲乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)，那么他持有的资金最多可变为多少万元？
解 甲在6元时，全部买入，可以买120÷6＝20(万)份，
在t2时刻，全部卖出，此时获利20×2＝40万.
乙在4元时，买入，可以买(120＋40)÷4＝40(万)份，
在t4时刻，全部卖出，此时获利40×2＝80万.
共获利40＋80＝120万，
即最多可变为120＋120＝240(万元).
课程标准
学科素养
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图像的作用.
通过对函数表示法的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.
2.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.
加油时间
加油量(L)
加油时的累计里程(km)
2019年5月1日
12
35 000
2019年5月15日
48
35 600
x
－1[来源:学.科.网]
0
1
3
y
0
3
4
0
知识点 函数的表示方法[来源:ZXXK]
1.解析法：用代数式(或解析式)表示函数的方法.
[微体验]
y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为( )[来源:学*科*网]
A.y＝eq \f(1,x) B.y＝－eq \f(1,x)
C.y＝eq \f(2,x) D.y＝－eq \f(2,x)
C [设y＝eq \f(k,x)(k≠0)，由题意知1＝eq \f(k,2)，所以k＝2，所以y＝eq \f(2,x).]
2.图像法
(1)图像法：用函数的图像表示函数的方法.
(2)函数图像：一般地，将函数y＝f(x)，x∈A中的自变量x和对应的函数值y，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标和纵坐标，则满足条件的点(x, y)组成的集合F称为函数的图像，即F＝{(x，y)|_y＝f(x)，x∈A}.
注意：如果F是函数y＝f(x)的图像，则图像上任意一点的坐标(x，y)都满足函数关系y＝f(x)；反之，满足函数关系y＝f(x)的点(x，y)都在函数图像F上.
3.两种特殊函数
(1)分段函数：如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数.
(2)常数函数：值域只有一个元素的函数，也就是说，常数函数中所有自变量对应的函数值都相等.
[微体验]
1.已知f(x)＝π(x∈R)，则f(π2)等于( )
A.π2 B.π
C.eq \r(π) D.不确定
答案 B
2.下列图像是函数y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，x＜0，,x－1，x≥0))的图像的是( )
C [由于f(0)＝0－1＝－1，所以函数图像过点(0，－1)；当x＜0时，y＝x2，则函数图像是开口向上的抛物线y＝x2在y轴左侧的部分.因此只有图像C符合.]
3.函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x≤1，,－x＋3，x>1，))则f(f(4))＝________.
0 [因为f(4)＝－4＋3＝－1，f(－1)＝－1＋1＝0，
所以f(f(4))＝f(－1)＝0.]
探究一 函数解析式的求法
(1)已知反比例函数f(x)满足f(3)＝－6.求f(x)的解析式；
(2)已知f(eq \r(x)＋1)＝x＋2eq \r(x).求f(x)的解析式.
解 (1)设反比例函数f(x)＝eq \f(k,x)(k≠0)，
则f(3)＝eq \f(k,3)＝－6，解得k＝－18. 所以f(x)＝－eq \f(18,x).
(2)方法一：换元法.令eq \r(x)＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2.[来源:]
所以f(t)＝(t－1)2＋2eq \r(t－12)＝t2－1.
所以f(x)＝x2－1(x≥1).
方法二：配凑法.因为x＋2eq \r(x)＝(eq \r(x)＋1)2－1，
所以f(eq \r(x)＋1)＝(eq \r(x)＋1)2－1.
又因为eq \r(x)＋1≥1，所以f(x)＝x2－1(x≥1).
[变式探究] 将本例(2)中的已知条件改为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x,1－x2)呢？
解 方法一：换元法.设t＝eq \f(1,x)，则x＝eq \f(1,t)(t≠0)，
代入feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x,1－x2)，得f(t)＝eq \f(\f(1,t),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)))2)＝eq \f(t,t2－1).
故f(x)＝eq \f(x,x2－1)(x≠0，且x≠±1).
方法二：因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x,1－x2)＝eq \f(\f(1,x),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))2－1)，
所以f(x)＝eq \f(x,x2－1)(x≠0，且x≠±1).
[方法总结]
求函数解析式的两种方法
方法一：待定系数法.
适用条件：函数的类型已知，如一次函数、二次函数等.
操作过程：
方法二：换元法.
适用条件：已知y＝f(g(x))，求f(x)的解析式.
操作过程：[来源:]
提醒：利用换元法求函数解析式要注意函数的定义域.
探究二 函数图像的画法及应用
作出下列函数的图像，并指出其值域.
(1)y＝x2＋x(－1≤x≤1)；
(2)y＝eq \f(2,x)(－2≤x≤1，且x≠0).
解 (1)用描点法可以作出所求函数的图像如图①所示. 由图可知y＝x2＋x(－1≤x≤1)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，2)).
(2)用描点法可以作出函数的图像如图②所示.
由图可知y＝eq \f(2,x)(－2≤x≤1, 且x≠0)的值域为(－∞，－1]∪[2，＋∞).
[方法总结]
描点法作函数图像的三个关注点
(1)画函数图像时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图.
(2)图像是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图像.
(3)要标出某些关键点，例如图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等. 要分清这些关键点是实心点还是空心圈.
提醒：函数图像既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等. ,
[跟踪训练1] 作出下列函数图像：
(1)y＝1－x(x∈Z，且|x|≤2)；
(2)y＝2x2－4x－3(0≤x＜3).
解 (1)因为x∈Z，且|x|≤2，所以x∈{－2，－1,0,1,2}.
所以图像为一直线上的孤立点，如图①.
(2)因为y＝2(x－1)2－5，
所以当x＝0时，y＝－3；当x＝3时，y＝3；
当x＝1时，y＝－5. 所画函数图像如图②.
探究三 分段函数求值问题
已知函数f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2x＜0，,x20≤x＜2，,\f(1,2)xx≥2.))
(1)求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))))))的值；
(2)若f(x)＝2，求x的值.
解 (1)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋2＝eq \f(3,2)，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))))))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2＝eq \f(9,4).
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))))))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)))＝eq \f(1,2)×eq \f(9,4)＝eq \f(9,8).
(2)当f(x)＝x＋2＝2时，x＝0, 不符合x＜0.
当f(x)＝x2＝2时，x＝±eq \r(2)，
其中x＝eq \r(2)符合0≤x＜2.
当f(x)＝eq \f(1,2)x＝2时，x＝4，符合x≥2.
综上，x的值是eq \r(2)或4.
[变式探究] 本例已知条件不变，若f(x)＝－2，求x的值.
解 当x＋2＝－2时，x＝－4，符合x＜0.当x2＝－2时，无解.当eq \f(1,2)x＝－2时，x＝－4，不符合x≥2.
综上，x的值是－4.
[方法总结]
1.求分段函数的函数值的方法
(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间.
(2)然后代入该段的解析式求值.当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值.
2.已知函数值求字母取值的步骤
(1)先对字母的取值范围分类讨论.
(2)然后代入到不同的解析式中.
(3)通过解方程求出字母的值.
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内.
[跟踪训练2] 已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，x＞0，,fx＋1，x≤0，))则f(2)＋f(－2)的值为( )
A.8 B.5
C.4 D.2
B [f(2)＝22＝4，f(－2)＝f(－2＋1)＝f(－1)＝f(－1＋1)＝f(0)＝f(0＋1)＝f(1)＝1，所以f(2)＋f(－2)＝4＋1＝5.]
1.如何求函数的解析式
求函数的解析式的关键是理解对应关系f的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域.主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法).
2.如何作函数的图像
一般地，作函数图像主要有三步：列表、描点、连线.作图像时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，然后列表描出图像，画图时要注意一些关键点，如与坐标轴的交点，端点的虚实问题等.
3.对分段函数的四点说明
(1)分段函数在各段上自变量的取值范围不可能有公共部分.
(2)分段函数是一个函数，只是各段上对应法则不同而已.
(3)图像：分段函数的图像由几部分构成，有的可以是光滑的曲线，有的也可以是一些孤立的点、线段、射线、直线等.
(4)求值关键：求分段函数的某些函数值的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式，一定要坚持定义域优先的原则.
课时作业(十七) 函数的表示方法
1.下列图形是函数y＝－|x|(x∈[－2,2])的图像的是( )
B [y＝－|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x， －2≤x<0，,－x，0≤x≤2，))其图像是x轴下方的两条线段，包括x＝±2时的两个端点.]
2.已知函数f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)＝( )
A.3x＋2 B.3x－2
C.2x＋3 D.2x－3
B [设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(22k＋b－3k＋b＝5，,2b－－k＋b＝1.))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝3，,b＝－2.))所以f(x)＝3x－2.]
3.已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x＞0，,fx＋1，x≤0，))则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))等于( )
A.－2 B.4
C.2 D.－4
B [因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))＝2×eq \f(4,3)＝eq \f(8,3)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)＋1))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)＋1))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))＝2×eq \f(2,3)＝eq \f(4,3)，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))＝eq \f(8,3)＋eq \f(4,3)＝4.]
4.已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝2，则a的值等于( )
A.1 B.3
C.5 D.－1
A [由f(2x＋1)＝3x＋2，令2x＋1＝t，所以x＝eq \f(t－1,2)，
所以f(t)＝3·eq \f(t－1,2)＋2，所以f(x)＝eq \f(3x－1,2)＋2，所以f(a)＝eq \f(3a－1,2)＋2＝2，所以a＝1.]
5.函数y＝ax2＋a与y＝eq \f(a,x)(a≠0)在同一坐标系中的图像可能是( )
D [由函数y＝ax2＋a中一次项系数为0，易得函数y＝ax2＋a的图像关于y轴对称，可排除A；当a>0时，函数y＝ax2＋a的图像开口方向朝上，顶点(0，a)在x轴上方，可排除C; 当a<0时，函数y＝ax2＋a的图像开口方向朝下，顶点(0，a)在x轴下方，函数y＝eq \f(a,x)(a≠0)的图像位于第二、四像限，可排除B.]
6.(多空题)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x)，x＞1，,－x－2，x≤1，))则f(f(2))＝______；函数f(x)的值域是________.
－eq \f(5,2) [－3，＋∞) [f(2)＝eq \f(1,2)，f(f(2))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－eq \f(5,2)，当x>1时，f(x)∈(0,1)，当x≤1时，f(x)∈[－3，＋∞)，所以f(x)∈[－3，＋∞).]
7.已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x≤1，,－x＋3，x＞1，))若f(x)＝－1，则x＝________.
－2或4 [因为f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x≤1，,－x＋3，x＞1，))f(x)＝－1，所以当x≤1时，由x＋1＝－1，解得x＝－2；当x>1时，由－x＋3＝－1，解得x＝4，所以x＝－2或x＝4.]
8.某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况
“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100 km平均耗油量为________L.
8 [由表格信息，得到该车加了48 L的汽油，跑了600 km，所以该车每100 km平均耗油量48÷6＝8.]
9.已知函数f(x)＝eq \f(|x|－x,2)＋1，(－2
(1)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数；
(2)在坐标系中画出该函数的图像，并求出函数的值域.
解 (1)①当0≤x≤2时，f(x)＝eq \f(x－x,2)＋1＝1.
②当－2
故f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，0≤x≤2，,－x＋1，－2
(2)函数f(x)图像如图所示：
由图可知，函数f(x)的值域为[1,3).
1.如图所示，点P从点A处出发，按逆时针方向沿边长为a的正三角形ABC运动一周，O为△ABC的中心，设点P走过的路程为x，△OAP的面积为f(x)(当A，O，P三点共线时，记面积为0)，则函数f(x)的图像大致为( )
A [由三角形的面积公式知，当0≤x≤a时，f(x)＝eq \f(1,2)·x·eq \f(1,3)·eq \f(\r(3),2)a＝eq \f(\r(3),12)ax，故在[0, a]上的图像为线段，故排除B；当a
2.若函数f(x)＝x2－4|x|＋5与直线y＝m有4个公共点，则m的取值范围是______________________.
(1, 5) [f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－4x＋5，x≥0，,x2＋4x＋5，x<0.))作其图像，如图所示，
由图可知1
3.定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x). 若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝__________.
－eq \f(xx＋1,2) [当－1≤x≤0时，0≤x＋1≤1，因为当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，所以f(x＋1)＝(x＋1)[1－(x＋1)]＝－x(x＋1)，又因为函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)，所以f(x)＝eq \f(fx＋1,2)＝－eq \f(xx＋1,2).]
4.画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图像，并根据图像回答下列问题：
(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；
(2)若x1
(3)求函数f(x)的值域.
解 因为函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R，
列表：
描点，连线，得函数图像如图：
(1)根据图像，容易发现f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，
所以f(3)
(2)根据图像，容易发现当x1
有f(x1)
(3)根据图像，可以看出函数的图像是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4].
5.(拓广探索)甲乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)，那么他持有的资金最多可变为多少万元？
解 甲在6元时，全部买入，可以买120÷6＝20(万)份，
在t2时刻，全部卖出，此时获利20×2＝40万.
乙在4元时，买入，可以买(120＋40)÷4＝40(万)份，
在t4时刻，全部卖出，此时获利40×2＝80万.
共获利40＋80＝120万，
即最多可变为120＋120＝240(万元).
课程标准
学科素养
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图像的作用.
通过对函数表示法的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.
2.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.
加油时间
加油量(L)
加油时的累计里程(km)
2019年5月1日
12
35 000
2019年5月15日
48
35 600
x
－1[来源:学.科.网]
0
1
3
y
0
3
4
0
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