2020-2021学年第三章 函数3.1 函数的概念与性质3.1.1 函数及其表示方法第3课时导学案及答案

这是一份2020-2021学年第三章 函数3.1 函数的概念与性质3.1.1 函数及其表示方法第3课时导学案及答案，共12页。学案主要包含了分段函数的定义域，分段函数的求值问题，分段函数的图像及应用等内容，欢迎下载使用。

第3课时　分段函数
学习目标　1.理解分段函数的概念，会求分段函数的函数值.2.能画出分段函数的图像，并会应用解决问题．

知识点一　分段函数
如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．
思考　分段函数分几段就是几个函数吗？它的定义域和值域怎么求？
答案　分段函数是一个函数，而不是几个函数．分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集，值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集．
知识点二　常数函数
值域只有一个元素的函数，通常称为常数函数．常数函数中所有自变量对应的函数值都相等．

1．分段函数由几个函数构成．(　×　)
2．函数f(x)＝是分段函数．(　√　)
3．分段函数的定义域是各段上自变量取值的并集．(　√　)
4．分段函数的图像一定是一条与y轴垂直的直线．(　×　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、分段函数的定义域、值域
例1　函数f(x)＝的定义域为________，值域为________．
答案　(－1,1)　(－1,1)
解析　由已知得，f(x)的定义域为{x|0 反思感悟　 (1)分段函数定义域、值域的求法
①分段函数的定义域是各段函数定义域的并集．
②分段函数的值域是各段函数值域的并集．
(2)绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决．
跟踪训练1　已知函数f(x)＝则函数的定义域为_______，值域为____．
答案　R　[0,1]
解析　由已知得，f(x)的定义域为[－1,1]∪(1，＋∞)∪(－∞，－1)＝R，又x∈[－1,1]时，x2∈[0,1]，故函数的值域为[0,1]．
二、分段函数的求值问题
例2　已知函数f(x)＝试求f(－5)，f(－)，f 的值．
解　由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－)＝(－)2＋2(－)＝3－2.
因为f ＝－＋1＝－，
－2<－<2，
所以f ＝f
＝2＋2×
＝－3＝－.
延伸探究
1．本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值．
解　①当a≤－2时，f(a)＝a＋1，所以a＋1＝3，
所以a＝2>－2不合题意，舍去．
②当－2 即a2＋2a－3＝0.
所以(a－1)(a＋3)＝0，
所以a＝1或a＝－3.
因为1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，
所以a＝1符合题意．
③当a≥2时，2a－1＝3，所以a＝2符合题意．
综合①②③，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.
2．本例条件不变，若f(x)>3，求x的取值范围．
解　①当x≤－2时，x＋1>3，解得x>2，
又x≤－2，所以x∈∅.
②当－23，解得x>1或x<－3，
又－2 ③当x≥2时，2x－1>3，解得x>2，
又x≥2，所以x>2，
综上，若f(x)>3，则x的取值范围是(1,2)∪(2，＋∞)．
反思感悟　(1)求分段函数的函数值的方法
①确定要求值的自变量属于哪一段区间．
②代入该段的解析式求值，当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求某条件下自变量的值(或范围)的方法
先对x的取值范围分类讨论，然后代入不同的解析式，解方程(不等式)求解，注意需检验所求的值是否在所讨论的区间内．
跟踪训练2　 (1)设函数f(x)＝则f 等于(　　)
A. B．4 C．3 D．－3
答案　A
解析　依题意知f(2)＝22＋2－2＝4，则f ＝f ＝1－2＝.
(2)已知f(x)＝若f(x)>2，求x的取值范围．
解　当x≥－2时，f(x)＝x＋2，
由f(x)>2，得x＋2>2，解得x>0，故x>0；
当x<－2时，f(x)＝－x－2，
由f(x)>2，得－x－2>2，
解得x<－4，故x<－4.
综上可得：x>0或x<－4.
三、分段函数的图像及应用
命题角度1　分段函数的图像画法
例3　(1)函数y＝的图像的大致形状是(　　)

答案　A
解析　因为y＝＝所以函数的图像为选项A.
(2)分别作出下列分段函数的图像，并写出定义域及值域．
(1)y＝
(2)y＝
解　各函数对应图像如图所示：

由图像知，(1)的定义域是(0，＋∞)，值域是[1，＋∞)；
(2)的定义域是R，值域是(－6,6]．
反思感悟　分段函数图像的画法
(1)对含有绝对值的函数，要作出其图像，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图像．
(2)作分段函数的图像时，分别作出各段的图像，在作每一段图像时，先不管定义域的限制，作出其图像，再保留定义域内的一段图像即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
跟踪训练3　已知函数f(x)＝＋1(－2 (1)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数；
(2)在坐标系中画出该函数的图像，并写出该函数的值域．
解　(1)①当0≤x≤2时，f(x)＝＋1＝1.
②当－2 故f(x)＝
(2)函数f(x)的图像如图所示：

由图可知，函数f(x)的值域为[1,3)．
命题角度2　分段函数的图像的应用
例4　某地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y(元)关于用电量x(度)的函数图像是一条折线(如图所示)，根据图像解决下列问题：

(1)求y关于x的函数关系式；
(2)利用函数解析式，说明电力公司采取的收费标准；
(3)若该用户某月用电62度，则应交费多少元？若该用户某月交费105元，则该用户该月用了多少度电？
解　(1)当0≤x≤100时，设函数解析式为y＝kx(k≠0)．
将x＝100，y＝65代入，
得k＝0.65，所以y＝0.65x.
当x>100时，设函数解析式为y＝ax＋b(a≠0)．
将x＝100，y＝65和x＝130，y＝89代入，
得解得
所以y＝0.8x－15.
综上可得y＝
(2)由(1)知电力公司采取的收费标准为：用户月用电量不超过100度时，每度电0.65元；超过100度时，超出的部分，每度电0.8元．
(3)当x＝62时，y＝62×0.65＝40.3(元)；
当y＝105时，
因为0.65×100＝65<105，故x>100，
所以105＝0.8x－15，解得x＝150.
即若该用户月用电62度时，则应交费40.3元；若该用户月交费105元，则该用户该月用了150度电．
反思感悟　由分段函数的图像确定函数解析式的步骤
(1)定类型：根据自变量在不同范围内图像的特点，先确定函数的类型．
(2)设函数式：设出函数的解析式．
(3)列方程(组)：根据图像中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析式．
(4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围．
跟踪训练4　如图所示，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿逆时针方向由B点(起点)向A点(终点)移动，设P点移动的路程为x，△ABP的面积为y.

(1)根据题意写出y与x之间的函数解析式；
(2)作出函数的图像，并根据图像求y的最大值．
解　(1)点P移动，△ABP的面积随之变化，可分点P落在边BC上，CD上，DA上三种情况进行讨论，得解析式
y＝
(2)函数的图像如图所示．由图像可得ymax＝8.


1．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图像可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是(　　)

答案　 B
解析　根据题意，知这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除A，D.然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C.
2．设函数f(x)＝若f(a)＝4，则实数a等于(　　)
A．－4或－2 B．－4或2
C．－2或4 D．－2或2
答案　B
解析　当a≤0时，f(a)＝－a＝4，解得a＝－4；当a>0时，f(a)＝a2＝4，解得a＝2或a＝－2(舍)．
综上，a＝－4或a＝2.
3．函数f(x)＝|x－1|的图像是(　　)

答案　B
解析　方法一　函数的解析式可化为y＝
画出此分段函数的图像，故选B.
方法二　由f(－1)＝2，知图像过点(－1,2)，排除A，C，D，故选B.
4．(多选)已知函数f(x)＝若f(x)＝3，则x的值是(　　)
A．－ B．－2 C．－1或1 D.
答案　BD
解析　依题意，若x≤0，则x＋5＝3，解得x＝－2，符合题意．若x>0，则x2＝3，解得x＝－(舍去)或x＝.
5．函数f(x)＝的定义域是________．
答案　[0，＋∞)
解析　定义域为[0,1]∪(1,2)∪[2，＋∞)＝[0，＋∞)．

1．知识清单：
(1)分段函数的求值．
(2)分段函数的定义域和值域．
(3)分段函数的图像及应用．
2．方法归纳：数形结合法．
3．常见误区：
(1)误认为分段函数是几个函数，求定义域和值域时不是求的并集．
(2)分段函数的端点是否包含．
　　　　　　　　　　　　　　　　

1．已知函数f(x)＝则f(3)的值是(　　)
A．1 B．2 C．8 D．9
答案　A
解析　f(3)＝3－2＝1.
2．设函数f(x)＝则f(f(3))等于(　　)
A. B．3 C. D.
答案　D
解析　 由题意得f(3)＝，所以f(f(3))＝f ＝2＋1＝＋1＝.
3．已知函数f(x)＝则函数f(x)的图像是(　　)

答案　A
解析　当x＝－1时，y＝0，即图像过点(－1,0)，故D错；当x＝0时，y＝1，即图像过点(0,1)，故C错；当x＝1时，y＝2，即图像过点(1,2)，故B错．故选A.
4．已知函数f(x)的图像是两条线段(如图所示，不含端点)，则f 等于(　　)

A．－ B. C．－ D.
答案　B
解析　由题图可知，函数f(x)的解析式为f(x)＝所以f ＝－1＝－，
所以f ＝f ＝－＋1＝.
5．著名的Dirichlet函数D(x)＝则D(D(x))等于(　　)
A．0 B．1
C. D.
答案　B
解析　∵D(x)∈{0,1}，∴D(x)为有理数，
∴D(D(x))＝1.
6．已知函数f(x)＝若f(a)＜－3，则a的取值范围是________．
答案　(－∞，－3)
解析　当a≤－2时，f(a)＝a＜－3，此时不等式的解集是(－∞，－3)；
当－2＜a＜4时，f(a)＝a＋1＜－3，此时不等式无解；
当a≥4时，f(a)＝3a＜－3，此时不等式无解．
故a的取值范围是(－∞，－3)．
7．函数y＝f(x)的图像如图所示，则其解析式为________．

答案　f(x)＝
解析　当0≤x≤1时，设f(x)＝kx(k≠0)，又过点(1,2)，故k＝2，∴f(x)＝2x；
当1 综上，f(x)＝


8．分段函数f(x)＝可以表示为f(x)＝|x|，分段函数f(x)＝可表示为f(x)＝(x＋3－|x－3|)．仿此，分段函数f(x)＝可以表示为f(x)＝________.
答案　(x＋6＋|x－6|)
解析　因为f(x)＝可表示为f(x)＝(x＋3－|x－3|)，其分界点为3.从而式子中含有x＋3与x－3.并通过|x－3|的前面的“－”号达到需要的结果的形式．
仿此，对于分段函数f(x)＝其分界点为6.
故式子中应含有x＋6与x－6.又x<6时，f(x)＝6.
故|x－6|的前面应取“＋”．
因此f(x)＝(x＋6＋|x－6|)．
9．如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：

(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？
(3)第一次休息时，离家多远？
(4)11：00到12：00他骑了多少千米？
(5)他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？
(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？
解　(1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米．
(2)10：30开始第一次休息，休息了半小时．
(3)第一次休息时，离家17千米．
(4)11：00至12：00他骑了13千米．
(5)9：00～10：00的平均速度是10千米/时；10：00～10：30的平均速度是14 千米/时．
(6)从12：00～13：00停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形．

10．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)5 km以内(含5 km)，票价2元；
(2)5 km以上，每增加5 km，票价增加1元(不足5 km的部分按5 km计算)．
如果某条线路的总里程为20 km，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图像．
解　设里程为x km时，票价为y元．
由题意可知，自变量x的取值范围是(0,20]．由“招手即停”公共汽车票价的制定规则，可得函数解析式为y＝
根据这个函数的解析式，可画出函数的图像，如图所示．


11．(多选)设x∈R，定义符号函数sgn x＝则下列各式不正确的是(　　)
A．x＝－x|sgn x| B．x＝－xsgn|x|
C．|x|＝|x|sgn x D．|x|＝xsgn x
答案　ABC
解析　对于选项A，右边＝－x|sgn x|＝而左边＝x，显然不正确；对于选项B，右边＝－xsgn |x|＝而左边＝x，显然不正确；对于选项C，右边＝|x|sgn x＝＝x，x∈R，而左边＝|x|＝显然不正确；对于选项D，右边＝xsgn x＝而左边＝|x|＝显然正确．
12．已知f(x)＝则不等式xf(x)＋x≤2的解集是(　　)
A．{x|x≤1} B．{x|x≤2}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|x＜0}
答案　A
解析　因为当x≥0时，f(x)＝1，
所以xf(x)＋x≤2⇔x≤1，
所以0≤x≤1；
因为当x＜0时，f(x)＝0，所以xf(x)＋x≤2⇔x≤2，
所以x＜0.综上，x≤1.
13．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是________，________.
答案　60　16
解析　因为组装第A件产品用时15分钟，所以＝15.①
由题意知4＜A，且＝＝30.②
由①②解得c＝60，A＝16.
14．设x∈R，则函数y＝2|x－1|－3|x|的值域为________．
答案　(－∞，2]
解析　当x≥1时，y＝2(x－1)－3x＝－x－2；
当0≤x＜1时，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2；
当x＜0时，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2.
故y＝
根据函数解析式作出函数图像，如图所示．

由图像可以看出，函数的值域为(－∞，2]．

15．已知f(n)＝则f(8)＝________.
答案　7
解析　因为8<10，所以代入f(n)＝f(f(n＋5))，即f(8)＝f(f(13))．因为13>10，所以代入f(n)＝n－3，得f(13)＝10，故得f(8)＝f(10)＝10－3＝7.
16．对定义域分别是Df，Dg的函数y＝f(x)，y＝g(x)，规定：
函数h(x)＝
(1)若函数f(x)＝－2x＋3，x≥1；g(x)＝x－2，x∈R，写出函数h(x)的解析式；
(2)求(1)中函数h(x)的最大值．
解　(1) h(x)＝
(2)当x≥1时，h(x)＝－2x2＋7x－6＝－22＋，
∴h(x)≤.
当x＜1时，h(x)＜－1，
∴当x＝时，h(x)取最大值且最大值是.