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人教B版 (2019)必修 第一册第三章 函数3.1 函数的概念与性质3.1.1 函数及其表示方法第1课时导学案
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这是一份人教B版 (2019)必修 第一册第三章 函数3.1 函数的概念与性质3.1.1 函数及其表示方法第1课时导学案，共13页。学案主要包含了函数关系的判断，求函数的定义域，同一个函数的判定等内容，欢迎下载使用。
3.1.1 函数及其表示方法
第1课时 函数的概念
学习目标 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念.2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域和值域.
知识点一 函数的有关概念
知识点二 同一个函数
一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数．
特别提醒：两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同．
思考 定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？
答案 不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数．
1．任何两个集合之间都可以建立函数关系．( × )
2．已知定义域和对应关系就可以确定一个函数．( √ )
3．若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素．( √ )
4．函数y＝f(x)＝x2，x∈A与u＝f(t)＝t2，t∈A表示的是同一个函数．( √ )
一、函数关系的判断
例1 (1)(多选)下列两个集合间的对应中，是A到B的函数的有( )
A．A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数的平方
B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数的开方
C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数的倒数
D．A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，f：A中的数的2倍
答案 AD
解析 A选项：(－1)2＝1,02＝0,12＝1，为一一对应关系，是A到B的函数．B选项：±eq \r(0)＝0，±eq \r(1)＝±1，集合A中的元素1在集合B中有两个元素与之对应，不符合函数定义，不是A到B的函数．C选项：A中元素0的倒数没有意义，不符合函数定义，不是A到B的函数．D选项：1×2＝2,2×2＝4,3×2＝6,4×2＝8，为一一对应关系，是A到B的函数．
(2)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出如图所示的四个图形：
其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 ①中，因为在集合M中当1反思感悟 (1)判断对应关系是否为函数的两个条件
①A，B必须是非空实数集．
②A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．
对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．
(2)根据图形判断对应关系是否为函数的方法
①任取一条垂直于x轴的直线l.
②在定义域内平行移动直线l.
③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内有两个或两个以上的交点，则不是函数．
跟踪训练1 (1) 下列对应关系式中是A到B的函数的是( )
A．A⊆R，B⊆R，x2＋y2＝1
B．A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，y＝|x|＋1
C．A＝R，B＝R，y＝eq \f(1,x－2)
D．A＝Z，B＝Z，y＝eq \r(2x－1)
答案 B
解析 对于A，x2＋y2＝1可化为y＝±eq \r(1－x2)，显然对任意x∈A(x＝±1除外)，y值不唯一，故不符合函数的定义；对于B，符合函数的定义；对于C,2∈A，在此时对应关系无意义，故不符合函数的定义；对于D，－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合函数的定义．
(2)判断下列对应关系f是否为定义在集合A上的函数．
①A＝R，B＝R，对应关系f：y＝eq \f(1,x2)；
②A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；
③A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6}，对应关系如图所示．
解 ①A＝R，B＝R，对于集合A中的元素x＝0，在对应关系f：y＝eq \f(1,x2)的作用下，在集合B中没有元素与之对应，故所给对应关系不是定义在A上的函数．
②由f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4，知集合A中的每一个元素在对应关系f的作用下，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故所给对应关系是定义在A上的函数．
③集合A中的元素3在集合B中没有与之对应的元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应关系不是定义在A上的函数．
二、求函数的定义域、函数值和值域
命题角度1 求函数的定义域
例2 求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝eq \f(x＋12,x＋1)－eq \r(1－x)；(2)f(x)＝eq \f(\r(5－x),|x|－3)；
(3) f(x)＝eq \r(3－x)·eq \r(x－1).
解 (1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1≠0，,1－x≥0.))解得x≤1，且x≠－1，
即函数定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．
(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5－x≥0，,|x|－3≠0，))解得x≤5，且x≠±3，
即函数定义域为{x|x≤5，且x≠±3}．
(3)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x≥0，,x－1≥0，))
解得1≤x≤3，
所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．
延伸探究 在本例(3)条件不变的前提下，求函数y＝f(x＋1)的定义域．
解 由1≤x＋1≤3得0≤x≤2.
所以函数y＝f(x＋1)的定义域为[0,2]．
反思感悟 求函数定义域的常用依据
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零．
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．
(3)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义．
(4)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
跟踪训练2 函数y＝eq \r(2x2－3x－2)＋eq \f(1,\r(4－x))的定义域为________________．
答案 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪[2,4)
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x2－3x－2≥0，,4－x≥0，,\r(4－x)≠0，))得x≤－eq \f(1,2)或2≤x<4，
所以定义域为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪[2,4)．
命题角度2 求函数值
例3 已知f(x)＝eq \f(1,2－x)(x∈R，且x≠2)，g(x)＝x＋4(x∈R)．
(1)求f(1)，g(1), g(f(1))的值；
(2)求f(g(x))．
解 (1)f(1)＝eq \f(1,2－1)＝1，g(1)＝1＋4＝5，
g(f(1))＝g(1)＝5.
(2)f(g(x))＝f(x＋4)＝eq \f(1,2－x＋4)＝eq \f(1,－2－x)＝－eq \f(1,x＋2)(x∈R，且x≠－2)．
反思感悟 求函数值的方法
(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值．
(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．
跟踪训练3 已知f(x)＝eq \f(1,1＋x)(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)，则f(2)＝______，f(g(2))＝______，f(g(x))＝________.
答案 eq \f(1,3) eq \f(1,7) eq \f(1,x2＋3)
解析 ∵f(x)＝eq \f(1,1＋x)，
∴f(2)＝eq \f(1,1＋2)＝eq \f(1,3).
又∵g(x)＝x2＋2，
∴g(2)＝22＋2＝6，
∴f(g(2))＝f(6)＝eq \f(1,1＋6)＝eq \f(1,7).
f(g(x))＝eq \f(1,1＋gx)＝eq \f(1,x2＋3).
命题角度3 求值域
例4 求下列函数的值域：
(1)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4}；
(2)y＝eq \f(3x－1,x＋1)；
(3)y＝x＋eq \r(x).
解 (1)当x＝1时，y＝3；当x＝2时，y＝5；当x＝3时，y＝7；当x＝4时，y＝9.
所以函数y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4}的值域为{3,5,7,9}．
(2)借助反比例函数的特征．
y＝eq \f(3x＋1－4,x＋1)＝3－eq \f(4,x＋1)(x≠－1)，
显然eq \f(4,x＋1)可取0以外的一切实数，
即所求函数的值域为{y|y≠3}．
(3)设u＝eq \r(x)(x≥0)，则x＝u2(u≥0)，
则y＝u2＋u＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(u＋\f(1,2)))2－eq \f(1,4)(u≥0)．
由u≥0，可知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(u＋\f(1,2)))2≥eq \f(1,4)，
所以y≥0.
所以函数y＝x＋eq \r(x)的值域为[0，＋∞)．
反思感悟 求函数值域常用的四种方法
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到．
(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域．
(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；
(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋eq \r(cx＋d)(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法．
跟踪训练4 求下列函数的值域：
(1)y＝eq \f(2x＋1,x－3)；
(2)y＝2x－eq \r(x－1).
解 (1)(分离常数法)y＝eq \f(2x＋1,x－3)＝eq \f(2x－3＋7,x－3)
＝2＋eq \f(7,x－3)，
显然eq \f(7,x－3)≠0，所以y≠2.
故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
(2)(换元法)设t＝eq \r(x－1)，
则x＝t2＋1，且t≥0，
所以y＝2(t2＋1)－t
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,4)))2＋eq \f(15,8)，
由t≥0，再结合函数的图像(如图)，可得函数的值域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15,8)，＋∞)).
三、同一个函数的判定
例5 (多选)下列各组函数表示同一个函数的是( )
A．f(x)＝x，g(x)＝(eq \r(x))2
B．f(x)＝x2＋1，g(t)＝t2＋1
C．f(x)＝1(x≠0)，g(x)＝eq \f(x,x)
D．f(x)＝x，g(x)＝|x|
答案 BC
解析 A中，由于f(x)＝x的定义域为R，g(x)＝(eq \r(x))2的定义域为{x|x≥0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一个函数．
B中，函数的定义域、值域和对应关系都相同，所以它们是同一个函数．
C中，由于g(x)＝eq \f(x,x)＝1的定义域为{x|x≠0}，故它们的定义域相同，所以它们是同一个函数．
D中，两个函数的定义域相同，但对应关系不同，所以它们不是同一个函数．
反思感悟 在两个函数中，只有当定义域、对应关系都相同时，两函数才是同一个函数．值域相等，只是前两个要素相等的必然结果．
跟踪训练5 下列各组式子是否表示同一个函数？为什么？
(1)f(x)＝|x|，φ(t)＝eq \r(t2)；
(2)y＝eq \r(1＋x)·eq \r(1－x)，y＝eq \r(1－x2)；
(3)y＝eq \r(3－x2)，y＝x－3.
解 (1)∵f(x)与φ(t)的定义域相同，
又φ(t)＝eq \r(t2)＝|t|，
即f(x)与φ(t)的对应关系也相同，
∴f(x)与φ(t)是同一个函数．
(2)∵y＝eq \r(1＋x)·eq \r(1－x)的定义域为{x|－1≤x≤1}，
y＝eq \r(1－x2)的定义域为{x|－1≤x≤1}，
即两者定义域相同．
又∵y＝eq \r(1＋x)·eq \r(1－x)＝eq \r(1－x2)，
∴两函数的对应关系也相同．
故y＝eq \r(1＋x)·eq \r(1－x)与y＝eq \r(1－x2)是同一个函数．
(3)∵y＝eq \r(3－x2)＝|x－3|与y＝x－3的定义域相同，但对应关系不同，
∴y＝eq \r(3－x2)与y＝x－3不是同一个函数．
1．若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形中能表示以A为定义域，B为值域的函数的是( )
答案 B
解析 A中值域为{y|0≤y≤2}，故错误；C，D中值域为{1,2}，故错误．
2．若f(x)＝eq \r(x＋1)，则f(3)等于( )
A．2 B．4 C．2eq \r(2) D．10
答案 A
解析 因为f(x)＝eq \r(x＋1)，所以f(3)＝eq \r(3＋1)＝2.
3．函数y＝eq \r(1－x)＋eq \r(x)的定义域为( )
A．{x|x≤1} B．{x|x≥0}
C．{x|x≥1或x≤0} D．{x|0≤x≤1}
答案 D
解析 由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x≥0，,x≥0，))解得0≤x≤1.
4．如果函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( )
A．{－1,0,3} B．{0,1,2,3}
C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}
答案 A
解析 当x取0,1,2,3时，y的值分别为0，－1,0,3，则其值域为{－1,0,3}．
5．下列四个图像中，不是以x为自变量的函数的图像是( )
答案 C
解析 根据函数定义，可知对自变量x的任意一个值，都有唯一确定的实数(函数值)与之对应，显然选项A，B，D满足函数的定义，而选项C不满足．
1．知识清单：
(1)函数的概念．
(2)函数的定义域、值域．
(3)同一个函数的判定．
2．方法归纳：观察法、换元法、配方法、分离常数法．
3．常见误区：
(1)定义域中的每一个自变量都有唯一确定的值与其相对应．
(2)自变量用不同字母表示不影响相同函数的判断．
1．(多选)下列关于函数y＝f(x)的说法正确的是( )
A．y是x的函数
B．x是y的函数
C．对于不同的x，y也不同
D．f(a)表示x＝a时，f(x)的函数值是一个常数
答案 AD
解析 由函数的定义可知B错误，根据函数的定义，对于不同的x，y可以相同，例如f(x)＝1，故C错误．
2．(多选)图中给出的四个对应关系，其中构成函数的是( )
答案 AD
解析 根据函数的定义，对应关系可以是多对一，或一对一，故选AD.
3．给出下列三个说法：①f(x)＝x0与g(x)＝1是同一个函数；②y＝f(x)，x∈R与y＝f(x＋1)，x∈R可能是同一个函数；③y＝f(x)，x∈R与y＝f(t)，t∈R是同一个函数．其中正确的个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
答案 B
解析 ①错误．函数f(x)＝x0的定义域为{x|x≠0}，函数g(x)＝1的定义域是R，故不是同一个函数；②正确．y＝f(x)，x∈R与y＝f(x＋1)，x∈R，两函数定义域相同，对应关系可能相同，所以可能是同一个函数；③正确．两个函数定义域相同，对应关系完全一致，是同一个函数．所以正确的个数是2.
4．设函数f(x)＝3x2－1，则f(a)－f(－a)的值是( )
A．0 B．3a2－1
C．6a2－2 D．6a2
答案 A
解析 f(a)－f(－a)＝3a2－1－[3(－a)2－1]＝0.
5．函数f(x)＝eq \f(\r(2x－1),x2－1)的定义域为( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥\f(1,2))))) B．{x|x>1}
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)≤x<1或x>1)))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x≤\f(1,2)或x>1))))
答案 C
解析 要使函数有意义，自变量x的取值必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－1≥0，,x2－1≠0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥\f(1,2)，,x≠±1，))即x≥eq \f(1,2)且x≠1.
6．已知函数f(x)＝eq \r(x)－1，且f(a)＝3，则a＝________.
答案 16
解析 因为f(x)＝eq \r(x)－1，所以f(a)＝eq \r(a)－1.
又因为f(a)＝3，所以eq \r(a)－1＝3，所以a＝16.
7．设f(x)＝eq \f(1,1－x)，则f(f(x))＝________.
答案 eq \f(x－1,x)(x≠0，且x≠1)
解析 f(f(x))＝eq \f(1,1－\f(1,1－x))＝eq \f(1,\f(1－x－1,1－x))＝eq \f(x－1,x)(x≠0，且x≠1)．
8．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为________．
答案 {－1,1,3,5,7}
解析 ∵x＝1,2,3,4,5，
∴f(x)＝2x－3＝－1,1,3,5,7.
∴f(x)的值域为{－1,1,3,5,7}．
9．已知f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2－1(x∈R)．
(1)求f(2)，g(3)的值；
(2)求f(g(3))的值及f(g(x))．
解 (1)因为f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)，所以f(2)＝eq \f(1－2,1＋2)＝－eq \f(1,3).
因为g(x)＝x2－1，所以g(3)＝32－1＝8.
(2)依题意，知f(g(3))＝f(8)＝eq \f(1－8,1＋8)＝－eq \f(7,9)，
f(g(x))＝eq \f(1－gx,1＋gx)＝eq \f(1－x2－1,1＋x2－1)＝eq \f(2－x2,x2)(x≠0)．
10．已知函数f(x)＝eq \r(x＋3)＋eq \f(1,x＋2).
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)求f(－3)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))的值；
(3)当a>0时，求f(a)，f(a－1)的值．
解 (1)要使函数有意义，则x应满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3≥0，,x＋2≠0.))
解得－3≤x<－2或x>－2.
即函数的定义域是[－3，－2)∪(－2，＋∞)．
(2)f(－3)＝eq \r(－3＋3)＋eq \f(1,－3＋2)＝－1.
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))＝eq \r(\f(2,3)＋3)＋eq \f(1,\f(2,3)＋2)＝eq \f(3,8)＋eq \f(\r(33),3).
(3)∵a>0，∴a，a－1∈[－3，－2)∪(－2，＋∞)．
即f(a)，f(a－1)有意义．
则f(a)＝eq \r(a＋3)＋eq \f(1,a＋2)；
f(a－1)＝eq \r(a－1＋3)＋eq \f(1,a－1＋2)＝eq \r(a＋2)＋eq \f(1,a＋1).
11．如图可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域的函数图像，则该函数的值域是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)))
C．[0,1] D．[0,1)
答案 B
12．下列函数中，对于定义域内的任意x，f(x＋1)＝f(x)＋1恒成立的为( )
A．f(x)＝x＋1 B．f(x)＝－x2
C．f(x)＝eq \f(1,x) D．y＝|x|
答案 A
解析 对于A选项，f(x＋1)＝(x＋1)＋1＝f(x)＋1，成立；
对于B选项，f(x＋1)＝－(x＋1)2≠f(x)＋1，不成立；
对于C选项，f(x＋1)＝eq \f(1,x＋1)，f(x)＋1＝eq \f(1,x)＋1，不成立；
对于D选项，f(x＋1)＝|x＋1|，f(x)＋1＝|x|＋1，不成立．
13．已知f(2x＋1)＝4x2＋4x＋3，则f(1)＝________.
答案 3
解析 f(1)＝f(2×0＋1)＝4×02＋4×0＋3＝3.
14.已知函数f(x)的定义域为[1,4]，则f(x＋2)的定义域为________．
答案 [－1,2]
解析 由1≤x＋2≤4，得－1≤x≤2.
15．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．函数解析式为y＝2x2－1，值域为{1,7}的“孪生函数”共有( )
A．10个 B．9个 C．8个 D．4个
答案 B
解析 由2x2－1＝1，得x1＝1，x2＝－1；由2x2－1＝7，得x3＝－2，x4＝2，所以定义域为2个元素的集合有4个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”．
16．已知函数f(x)＝eq \f(x2,1＋x2).
(1)求f(2)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，f(3)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))的值；
(2)求证：f(x)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))是定值；
(3)求f(2)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f(3)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＋…＋f(2 020)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 020)))的值．
(1)解 ∵f(x)＝eq \f(x2,1＋x2)，
∴f(2)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(22,1＋22)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝1，
f(3)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝eq \f(32,1＋32)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2)＝1.
(2)证明 ∵f(x)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x2,1＋x2)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))2)＝eq \f(x2,1＋x2)＋eq \f(1,x2＋1)＝eq \f(x2＋1,x2＋1)＝1，∴f(x)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))是定值．
(3)解 由(2)，知f(x)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝1，
∴f(2)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝1，
f(3)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝1，
f(4)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝1，
…，
f(2 020)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 020)))＝1.
∴f(2)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f(3)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＋…＋f(2 020)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 020)))＝2 019.函数的定义
给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数
函数的记法
y＝f(x)，x∈A
定义域
x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为函数的定义域
值域
所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域
3.1.1 函数及其表示方法
第1课时 函数的概念
学习目标 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念.2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域和值域.
知识点一 函数的有关概念
知识点二 同一个函数
一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数．
特别提醒：两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同．
思考 定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？
答案 不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数．
1．任何两个集合之间都可以建立函数关系．( × )
2．已知定义域和对应关系就可以确定一个函数．( √ )
3．若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素．( √ )
4．函数y＝f(x)＝x2，x∈A与u＝f(t)＝t2，t∈A表示的是同一个函数．( √ )
一、函数关系的判断
例1 (1)(多选)下列两个集合间的对应中，是A到B的函数的有( )
A．A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数的平方
B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数的开方
C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数的倒数
D．A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，f：A中的数的2倍
答案 AD
解析 A选项：(－1)2＝1,02＝0,12＝1，为一一对应关系，是A到B的函数．B选项：±eq \r(0)＝0，±eq \r(1)＝±1，集合A中的元素1在集合B中有两个元素与之对应，不符合函数定义，不是A到B的函数．C选项：A中元素0的倒数没有意义，不符合函数定义，不是A到B的函数．D选项：1×2＝2,2×2＝4,3×2＝6,4×2＝8，为一一对应关系，是A到B的函数．
(2)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出如图所示的四个图形：
其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 ①中，因为在集合M中当1
①A，B必须是非空实数集．
②A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．
对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．
(2)根据图形判断对应关系是否为函数的方法
①任取一条垂直于x轴的直线l.
②在定义域内平行移动直线l.
③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内有两个或两个以上的交点，则不是函数．
跟踪训练1 (1) 下列对应关系式中是A到B的函数的是( )
A．A⊆R，B⊆R，x2＋y2＝1
B．A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，y＝|x|＋1
C．A＝R，B＝R，y＝eq \f(1,x－2)
D．A＝Z，B＝Z，y＝eq \r(2x－1)
答案 B
解析 对于A，x2＋y2＝1可化为y＝±eq \r(1－x2)，显然对任意x∈A(x＝±1除外)，y值不唯一，故不符合函数的定义；对于B，符合函数的定义；对于C,2∈A，在此时对应关系无意义，故不符合函数的定义；对于D，－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合函数的定义．
(2)判断下列对应关系f是否为定义在集合A上的函数．
①A＝R，B＝R，对应关系f：y＝eq \f(1,x2)；
②A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；
③A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6}，对应关系如图所示．
解 ①A＝R，B＝R，对于集合A中的元素x＝0，在对应关系f：y＝eq \f(1,x2)的作用下，在集合B中没有元素与之对应，故所给对应关系不是定义在A上的函数．
②由f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4，知集合A中的每一个元素在对应关系f的作用下，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故所给对应关系是定义在A上的函数．
③集合A中的元素3在集合B中没有与之对应的元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应关系不是定义在A上的函数．
二、求函数的定义域、函数值和值域
命题角度1 求函数的定义域
例2 求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝eq \f(x＋12,x＋1)－eq \r(1－x)；(2)f(x)＝eq \f(\r(5－x),|x|－3)；
(3) f(x)＝eq \r(3－x)·eq \r(x－1).
解 (1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1≠0，,1－x≥0.))解得x≤1，且x≠－1，
即函数定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．
(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5－x≥0，,|x|－3≠0，))解得x≤5，且x≠±3，
即函数定义域为{x|x≤5，且x≠±3}．
(3)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x≥0，,x－1≥0，))
解得1≤x≤3，
所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．
延伸探究 在本例(3)条件不变的前提下，求函数y＝f(x＋1)的定义域．
解 由1≤x＋1≤3得0≤x≤2.
所以函数y＝f(x＋1)的定义域为[0,2]．
反思感悟 求函数定义域的常用依据
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零．
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．
(3)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义．
(4)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
跟踪训练2 函数y＝eq \r(2x2－3x－2)＋eq \f(1,\r(4－x))的定义域为________________．
答案 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪[2,4)
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x2－3x－2≥0，,4－x≥0，,\r(4－x)≠0，))得x≤－eq \f(1,2)或2≤x<4，
所以定义域为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪[2,4)．
命题角度2 求函数值
例3 已知f(x)＝eq \f(1,2－x)(x∈R，且x≠2)，g(x)＝x＋4(x∈R)．
(1)求f(1)，g(1), g(f(1))的值；
(2)求f(g(x))．
解 (1)f(1)＝eq \f(1,2－1)＝1，g(1)＝1＋4＝5，
g(f(1))＝g(1)＝5.
(2)f(g(x))＝f(x＋4)＝eq \f(1,2－x＋4)＝eq \f(1,－2－x)＝－eq \f(1,x＋2)(x∈R，且x≠－2)．
反思感悟 求函数值的方法
(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值．
(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．
跟踪训练3 已知f(x)＝eq \f(1,1＋x)(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)，则f(2)＝______，f(g(2))＝______，f(g(x))＝________.
答案 eq \f(1,3) eq \f(1,7) eq \f(1,x2＋3)
解析 ∵f(x)＝eq \f(1,1＋x)，
∴f(2)＝eq \f(1,1＋2)＝eq \f(1,3).
又∵g(x)＝x2＋2，
∴g(2)＝22＋2＝6，
∴f(g(2))＝f(6)＝eq \f(1,1＋6)＝eq \f(1,7).
f(g(x))＝eq \f(1,1＋gx)＝eq \f(1,x2＋3).
命题角度3 求值域
例4 求下列函数的值域：
(1)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4}；
(2)y＝eq \f(3x－1,x＋1)；
(3)y＝x＋eq \r(x).
解 (1)当x＝1时，y＝3；当x＝2时，y＝5；当x＝3时，y＝7；当x＝4时，y＝9.
所以函数y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4}的值域为{3,5,7,9}．
(2)借助反比例函数的特征．
y＝eq \f(3x＋1－4,x＋1)＝3－eq \f(4,x＋1)(x≠－1)，
显然eq \f(4,x＋1)可取0以外的一切实数，
即所求函数的值域为{y|y≠3}．
(3)设u＝eq \r(x)(x≥0)，则x＝u2(u≥0)，
则y＝u2＋u＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(u＋\f(1,2)))2－eq \f(1,4)(u≥0)．
由u≥0，可知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(u＋\f(1,2)))2≥eq \f(1,4)，
所以y≥0.
所以函数y＝x＋eq \r(x)的值域为[0，＋∞)．
反思感悟 求函数值域常用的四种方法
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到．
(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域．
(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；
(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋eq \r(cx＋d)(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法．
跟踪训练4 求下列函数的值域：
(1)y＝eq \f(2x＋1,x－3)；
(2)y＝2x－eq \r(x－1).
解 (1)(分离常数法)y＝eq \f(2x＋1,x－3)＝eq \f(2x－3＋7,x－3)
＝2＋eq \f(7,x－3)，
显然eq \f(7,x－3)≠0，所以y≠2.
故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
(2)(换元法)设t＝eq \r(x－1)，
则x＝t2＋1，且t≥0，
所以y＝2(t2＋1)－t
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,4)))2＋eq \f(15,8)，
由t≥0，再结合函数的图像(如图)，可得函数的值域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15,8)，＋∞)).
三、同一个函数的判定
例5 (多选)下列各组函数表示同一个函数的是( )
A．f(x)＝x，g(x)＝(eq \r(x))2
B．f(x)＝x2＋1，g(t)＝t2＋1
C．f(x)＝1(x≠0)，g(x)＝eq \f(x,x)
D．f(x)＝x，g(x)＝|x|
答案 BC
解析 A中，由于f(x)＝x的定义域为R，g(x)＝(eq \r(x))2的定义域为{x|x≥0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一个函数．
B中，函数的定义域、值域和对应关系都相同，所以它们是同一个函数．
C中，由于g(x)＝eq \f(x,x)＝1的定义域为{x|x≠0}，故它们的定义域相同，所以它们是同一个函数．
D中，两个函数的定义域相同，但对应关系不同，所以它们不是同一个函数．
反思感悟 在两个函数中，只有当定义域、对应关系都相同时，两函数才是同一个函数．值域相等，只是前两个要素相等的必然结果．
跟踪训练5 下列各组式子是否表示同一个函数？为什么？
(1)f(x)＝|x|，φ(t)＝eq \r(t2)；
(2)y＝eq \r(1＋x)·eq \r(1－x)，y＝eq \r(1－x2)；
(3)y＝eq \r(3－x2)，y＝x－3.
解 (1)∵f(x)与φ(t)的定义域相同，
又φ(t)＝eq \r(t2)＝|t|，
即f(x)与φ(t)的对应关系也相同，
∴f(x)与φ(t)是同一个函数．
(2)∵y＝eq \r(1＋x)·eq \r(1－x)的定义域为{x|－1≤x≤1}，
y＝eq \r(1－x2)的定义域为{x|－1≤x≤1}，
即两者定义域相同．
又∵y＝eq \r(1＋x)·eq \r(1－x)＝eq \r(1－x2)，
∴两函数的对应关系也相同．
故y＝eq \r(1＋x)·eq \r(1－x)与y＝eq \r(1－x2)是同一个函数．
(3)∵y＝eq \r(3－x2)＝|x－3|与y＝x－3的定义域相同，但对应关系不同，
∴y＝eq \r(3－x2)与y＝x－3不是同一个函数．
1．若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形中能表示以A为定义域，B为值域的函数的是( )
答案 B
解析 A中值域为{y|0≤y≤2}，故错误；C，D中值域为{1,2}，故错误．
2．若f(x)＝eq \r(x＋1)，则f(3)等于( )
A．2 B．4 C．2eq \r(2) D．10
答案 A
解析 因为f(x)＝eq \r(x＋1)，所以f(3)＝eq \r(3＋1)＝2.
3．函数y＝eq \r(1－x)＋eq \r(x)的定义域为( )
A．{x|x≤1} B．{x|x≥0}
C．{x|x≥1或x≤0} D．{x|0≤x≤1}
答案 D
解析 由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x≥0，,x≥0，))解得0≤x≤1.
4．如果函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( )
A．{－1,0,3} B．{0,1,2,3}
C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}
答案 A
解析 当x取0,1,2,3时，y的值分别为0，－1,0,3，则其值域为{－1,0,3}．
5．下列四个图像中，不是以x为自变量的函数的图像是( )
答案 C
解析 根据函数定义，可知对自变量x的任意一个值，都有唯一确定的实数(函数值)与之对应，显然选项A，B，D满足函数的定义，而选项C不满足．
1．知识清单：
(1)函数的概念．
(2)函数的定义域、值域．
(3)同一个函数的判定．
2．方法归纳：观察法、换元法、配方法、分离常数法．
3．常见误区：
(1)定义域中的每一个自变量都有唯一确定的值与其相对应．
(2)自变量用不同字母表示不影响相同函数的判断．
1．(多选)下列关于函数y＝f(x)的说法正确的是( )
A．y是x的函数
B．x是y的函数
C．对于不同的x，y也不同
D．f(a)表示x＝a时，f(x)的函数值是一个常数
答案 AD
解析 由函数的定义可知B错误，根据函数的定义，对于不同的x，y可以相同，例如f(x)＝1，故C错误．
2．(多选)图中给出的四个对应关系，其中构成函数的是( )
答案 AD
解析 根据函数的定义，对应关系可以是多对一，或一对一，故选AD.
3．给出下列三个说法：①f(x)＝x0与g(x)＝1是同一个函数；②y＝f(x)，x∈R与y＝f(x＋1)，x∈R可能是同一个函数；③y＝f(x)，x∈R与y＝f(t)，t∈R是同一个函数．其中正确的个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
答案 B
解析 ①错误．函数f(x)＝x0的定义域为{x|x≠0}，函数g(x)＝1的定义域是R，故不是同一个函数；②正确．y＝f(x)，x∈R与y＝f(x＋1)，x∈R，两函数定义域相同，对应关系可能相同，所以可能是同一个函数；③正确．两个函数定义域相同，对应关系完全一致，是同一个函数．所以正确的个数是2.
4．设函数f(x)＝3x2－1，则f(a)－f(－a)的值是( )
A．0 B．3a2－1
C．6a2－2 D．6a2
答案 A
解析 f(a)－f(－a)＝3a2－1－[3(－a)2－1]＝0.
5．函数f(x)＝eq \f(\r(2x－1),x2－1)的定义域为( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥\f(1,2))))) B．{x|x>1}
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)≤x<1或x>1)))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x≤\f(1,2)或x>1))))
答案 C
解析 要使函数有意义，自变量x的取值必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－1≥0，,x2－1≠0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥\f(1,2)，,x≠±1，))即x≥eq \f(1,2)且x≠1.
6．已知函数f(x)＝eq \r(x)－1，且f(a)＝3，则a＝________.
答案 16
解析 因为f(x)＝eq \r(x)－1，所以f(a)＝eq \r(a)－1.
又因为f(a)＝3，所以eq \r(a)－1＝3，所以a＝16.
7．设f(x)＝eq \f(1,1－x)，则f(f(x))＝________.
答案 eq \f(x－1,x)(x≠0，且x≠1)
解析 f(f(x))＝eq \f(1,1－\f(1,1－x))＝eq \f(1,\f(1－x－1,1－x))＝eq \f(x－1,x)(x≠0，且x≠1)．
8．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为________．
答案 {－1,1,3,5,7}
解析 ∵x＝1,2,3,4,5，
∴f(x)＝2x－3＝－1,1,3,5,7.
∴f(x)的值域为{－1,1,3,5,7}．
9．已知f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2－1(x∈R)．
(1)求f(2)，g(3)的值；
(2)求f(g(3))的值及f(g(x))．
解 (1)因为f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)，所以f(2)＝eq \f(1－2,1＋2)＝－eq \f(1,3).
因为g(x)＝x2－1，所以g(3)＝32－1＝8.
(2)依题意，知f(g(3))＝f(8)＝eq \f(1－8,1＋8)＝－eq \f(7,9)，
f(g(x))＝eq \f(1－gx,1＋gx)＝eq \f(1－x2－1,1＋x2－1)＝eq \f(2－x2,x2)(x≠0)．
10．已知函数f(x)＝eq \r(x＋3)＋eq \f(1,x＋2).
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)求f(－3)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))的值；
(3)当a>0时，求f(a)，f(a－1)的值．
解 (1)要使函数有意义，则x应满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3≥0，,x＋2≠0.))
解得－3≤x<－2或x>－2.
即函数的定义域是[－3，－2)∪(－2，＋∞)．
(2)f(－3)＝eq \r(－3＋3)＋eq \f(1,－3＋2)＝－1.
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))＝eq \r(\f(2,3)＋3)＋eq \f(1,\f(2,3)＋2)＝eq \f(3,8)＋eq \f(\r(33),3).
(3)∵a>0，∴a，a－1∈[－3，－2)∪(－2，＋∞)．
即f(a)，f(a－1)有意义．
则f(a)＝eq \r(a＋3)＋eq \f(1,a＋2)；
f(a－1)＝eq \r(a－1＋3)＋eq \f(1,a－1＋2)＝eq \r(a＋2)＋eq \f(1,a＋1).
11．如图可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域的函数图像，则该函数的值域是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)))
C．[0,1] D．[0,1)
答案 B
12．下列函数中，对于定义域内的任意x，f(x＋1)＝f(x)＋1恒成立的为( )
A．f(x)＝x＋1 B．f(x)＝－x2
C．f(x)＝eq \f(1,x) D．y＝|x|
答案 A
解析 对于A选项，f(x＋1)＝(x＋1)＋1＝f(x)＋1，成立；
对于B选项，f(x＋1)＝－(x＋1)2≠f(x)＋1，不成立；
对于C选项，f(x＋1)＝eq \f(1,x＋1)，f(x)＋1＝eq \f(1,x)＋1，不成立；
对于D选项，f(x＋1)＝|x＋1|，f(x)＋1＝|x|＋1，不成立．
13．已知f(2x＋1)＝4x2＋4x＋3，则f(1)＝________.
答案 3
解析 f(1)＝f(2×0＋1)＝4×02＋4×0＋3＝3.
14.已知函数f(x)的定义域为[1,4]，则f(x＋2)的定义域为________．
答案 [－1,2]
解析 由1≤x＋2≤4，得－1≤x≤2.
15．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．函数解析式为y＝2x2－1，值域为{1,7}的“孪生函数”共有( )
A．10个 B．9个 C．8个 D．4个
答案 B
解析 由2x2－1＝1，得x1＝1，x2＝－1；由2x2－1＝7，得x3＝－2，x4＝2，所以定义域为2个元素的集合有4个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”．
16．已知函数f(x)＝eq \f(x2,1＋x2).
(1)求f(2)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，f(3)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))的值；
(2)求证：f(x)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))是定值；
(3)求f(2)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f(3)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＋…＋f(2 020)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 020)))的值．
(1)解 ∵f(x)＝eq \f(x2,1＋x2)，
∴f(2)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(22,1＋22)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝1，
f(3)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝eq \f(32,1＋32)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2)＝1.
(2)证明 ∵f(x)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x2,1＋x2)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))2)＝eq \f(x2,1＋x2)＋eq \f(1,x2＋1)＝eq \f(x2＋1,x2＋1)＝1，∴f(x)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))是定值．
(3)解 由(2)，知f(x)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝1，
∴f(2)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝1，
f(3)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝1，
f(4)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝1，
…，
f(2 020)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 020)))＝1.
∴f(2)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f(3)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＋…＋f(2 020)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 020)))＝2 019.函数的定义
给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数
函数的记法
y＝f(x)，x∈A
定义域
x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为函数的定义域
值域
所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域
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