人教B版高中数学必修1 2-2-4《均值不等式的概念》 教学设计

这是一份人教B版高中数学必修1 2-2-4《均值不等式的概念》 教学设计，共4页。
《均值不等式的概念》教学设计教学设计一、阅读引导1.阅读教材，问题导入.根据以下提纲，阅读教材第72～74页内容，回答下列问题.给定两个正数，，可以表示出它们的算术平均值与几何平均值，这两个平均值之间有什么关系呢？与这两个数的相对大小有关系吗？提示：，只要，都是正数，这个不等式都成立.2.归纳总结，核心必记.（1）如果，都是正数，那么，当且仅当时，等号成立.（2）均值不等式的实质：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值.二、知识深化均值不等式如图，在正方形中有四个全等的直角三角形，设直角三角形的两条直角边长分别为，.思考1：图中可以抽象出什么不等关系？提示：正方形的边长为，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积和小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有.思考2：如果，，我们可以用，分别代替，吗？提示：可以.如果，，则（当且仅当时取等号）.通常我们把上式写作：如果，，（当且仅当时取等号）.思考3：两个不等式：与有什么区别？提示：两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求，都是实数，后者要求，都是正数.如是成立的，而是不成立的.思考4：将两边平方得：，如果矩形的长和宽分别为，，从面积的角度能否得出均值不等式的一个几何意义？提示：能.所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大.思考5：如图所示的半圆中，为直径，为圆心.已知，，为半圆上一点，且，算出和，你能给出均值不等式的另一个几何意义吗？提示：半径不小于半弦.三、例题剖析例1 若，，且，则下列不等式中，恒成立的是 （ ）A.B.C.D.想一想1：判断不等式是否成立的方法有哪些？想一想2：均值不等式等号成立的条件是什么？想一想3：使用均值不等式的两个数是否是正数？解析：与可能相等，，故A不正确；对于B，C，当，时，不等式不成立，故B，C不正确；对于D，由于，成立（当且仅当时等号成立）.答案：D归纳总结 均值不等式的常用变形公式：由公式和可得出以下结论：（1）（，，当且仅当时，等号成立）.（2）（，，当且仅当时，等号成立）.（3）（，同号）；（4）.例2 已知，求证，并推导出等号成立的条件.想一想1：若，这两个数都是正数，是否具备应用均值不等式的条件？想一想2：等号何时取到？解：因为，所以，，根据均值不等式得，即.当且仅当，即时，等号成立，因为，等号成立的条件是.练习：教材第76页练习A第2题.例3 已知，求的最小值，并说明为何值时取得最小值.想一想1：形如的函数的最值都可以用均值不等式求吗？想一想2：等号何时取到？解：因为，由均值不等式得，当且仅当即（负值舍去）时，取等号.故当时，取得最小值2.变式思考：（1）若，如何求的最值？（2）若，如何求的取值范围？练习：教材第76页练习A第1题.归纳总结 利用均值不等式求简单函数的最值时，要符合均值不等式的特点.四、巩固提升教材第76页练习B第2，3题.板书设计教学研讨教案中给出了均值不等式的两种几何解释，比较新颖.例题的设计也是有别于教材，并高于教材，在给出例题的同时设计了大量的问题串，使例题的价值得到了最大化的体现.第1课时 均值不等式的概念一、阅读引导1.均值不等式（1）均值不等式：如果，都是正数，那么，当且仅当时，等号成立.（2）均值不等式的实质两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值.二、知识深化1.（当且仅当时等号成立）2.如果，，则（当且仅当时取等号）3.两个不等式的区别4.均值不等式的几何意义三、例题剖析例1例2例3四、巩固提升