人教B版高中数学必修1 2-2-4《均值不等式的应用》-教学设计

这是一份人教B版高中数学必修1 2-2-4《均值不等式的应用》-教学设计，共4页。
《均值不等式的应用》教学设计教学设计一、阅读引导1.阅读教材，问题导入.根据以下提纲，阅读教材第74～75页内容，回答下列问题：周长相等的矩形中，正方形的面积最大，那么周长相等的三角形中，什么样的三角形面积最大？平面上，周长相等的所有封闭图形中，什么样的图形面积最大？提示：周长相等的三角形中，正三角形的面积最大；周长相等的所有封闭图形中，圆的面积最大.2.归纳总结，核心必记.（1）均值不等式：如果，都是正数，那么.当且仅当时，等号成立.（2）利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行：①各项均为正数；②各项的和（或积）必须是定值；③各项必须相等，即“一正、二定、三相等”.二、知识深化均值不等式的应用：（1）已知矩形的面积是100，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？（2）已知矩形的周长是36，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？思考1：怎样描述周长与面积的关系？提示：设矩形的长与宽分别为，，则面积为，周长为.思考2：可具备定值的条件？提示：具备.（1）面积是定值，（2）周长是定值.思考3：能否利用均值不等式？提示：可以.思考4：由本题得出什么结论？提示：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值.教师引导学生完成此题，然后让学生独立完成教材第75页例4、例5和例6.三、例题剖析例1（1）已知，求的最大值；（2）已知，求的最大值.想一想1：由可知，该如何配凑？想一想2：与的积不是定值，如何配凑？想一想3：当分子、分母都有变量时，如何配凑出能使用均值不等式的结构？解：（1），，，当且仅当，即时，上式等号成立.故当时，.（2）.，，，当且仅当，即（负值舍去）时等号成立.练习：教材第77页习题2-2A第8题，教材第77页习题2-2B第11题.归纳总结 不具备使用均值不等式的条件时，需要进行配凑，具体可归纳为三句话：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定，应凑出定和或定积；三不等，一般用函数的图像或性质.例2 围建一个面积为360 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用的旧墙需维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 的进出口，如下图所示.已知旧墙的维修费用为45元/，新墙的造价为180元/.设利用的旧墙长度为（单位：），修建此矩形场地围墙的总费用为（单位：元）.（1）将表示为关于的函数；（2）试确定，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.想一想1：如何写出函数关系式？想一想2：如何确定的取值范围？想一想3：写出来的函数关系式是否具备应用均值不等式的条件？解：（1）如图所示，设矩形的另一边长为 ，则.由已知得，即.所以.（2），，当且仅当即（负值舍去）时等号成立.，当且仅当时，等号成立.即当时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.练习：教材第76页练习B第4题；教材第77页习题2-2B第12题.归纳总结 应用均值不等式解决实际问题的方法一般分四步：（1）先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；（2）建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；（3）求出函数的最大值或最小值；（4）正确写出答案.例3 已知，，且满足，求的最小值.想一想1：含有两个变量的代数式，不具备使用均值不等式的条件，如何配凑？想一想2：除了1的代换的方法，还有什么方法求解此题？解：，，，，当且仅当即时，等号成立，故当，时，取得最小值18.变式思考变式1 把“”改为“”，其他条件不变，求的最小值；变式2 把“”改为“”，其他条件不变，求的最小值.四、巩固提升教材第78页习题2-2C第3，4，5题.板书设计第2课时 均值不等式的应用一、阅读引导（1）均值不等式（2）利用均值不等式求最值时必须同时满足三个条件：①各项均为正数；②各项的和（或积）必须是定值；③各项必须能相等（即：一正二定三相等）.二、知识深化均值不等式的应用两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值.三、例题剖析例1例2例3四、巩固提升