人教B版高中数学必修1 2-2-4《均值不等式的概念-》教学设计

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《均值不等式的概念》教学设计板书设计教学研讨本节内容是均值不等式的起始课，从比较大小的方法入手，先就一般情况给出探究，然后引入教材的重点内容，符合本节内容知识的形成过程.在教学均值不等式时，建议在以下两个方面做好工作：（1）使学生明确和成立的条件是不同的：前者要求，是实数，后者要求，都是正数.（2）常用结论：当时，；当时，.通过此总结，使学生能够比较全面地把握均值不等式的定义以及其应用，对于这一过程要多让学生分组讨论，达成共识.教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入1.不等式的性质：下列结论正确的是（ ）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则2.比较，的大小：，.教师提出问题，学生回答.为研究均值不等式做准备.概念形成1.算术平均值与几何平均值.定义：给定两个正数，，数称为，的算术平均值；数称为，的几何平均值.大小关系探究：教材第72页“尝试与发现”.尝试与发现（1）假设一个矩形的长和宽分别为和，求与这个矩形周长相等的正方形的边长，以及与这个矩形面积相等的正方形的边长，并比较这两个边长的大小；（2）如下表所示，再任意取几组正数，算出它们的算术平均值和几何平均值，猜测一般情况下两个数的算术平均值与几何平均值的相对大小，并根据（1）说出结论的几何意义.1214131结论：两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值.2.均值不等式.如果，都是正数，那么，当且仅当时，等号成立.均值不等式也称为基本不等式.你能给出均值不等式的证明过程吗？证明 因为，都是正数，所以，即.而且，等号成立时，当且仅当，即.教师让学生熟记这两个概念，这是本课的核心概念.教师操作课件引导学生发现规律，并用不等式表示这个不等关系.学生分组讨论，教师归纳结果.教师引导学生分析均值不等式的结构特点，并探索均值不等式的证明过程.安排两名同学到黑板上演示，其余同学自己完成.培养学生数学抽象的数学素养，强化对算术平均值与几何平均值的理解.培养学生动手的能力，让学生加深对均值不等式的认识.概念深化均值不等式的理解.（1）均值不等式的应用范围是正实数.（2）均值不等式的实质：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值.（3）均值不等式的几何意义：①将平方得：，如果设矩形的长和宽分别为，，从面积的角度能否得出均值不等式的一个几何意义？结论：矩形面积为，可以看作是与矩形周长相等的正方形的面积，所以得到均值不等式的一个几何意义：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大.②教材第73页“探索与研究”.如图所示圆中，为直径，为圆心.已知，，为圆上一点，且，算出和，给出均值不等式的另一个几何意义.解答：易证，那么，即.这个圆的半径，又大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.即：均值不等式的另一个几何意义是：半径不小于半弦.（4）“当且仅当”的含义：一方面，当时，；另一方面：当时，也有.或者说“”是“”号成立的充要条件.（5）均值不等式的等价变形.①（，，当且仅当时，等号成立）.②（，，当且仅当时，等号成立）.组织学生从应用范围、实质、几何意义的角度上去理解均值不等式.引导学生分析均值不等式的一个几何意义，学生交流讨论，教师总结.教师指导学生完成教材“探索与研究”的证明过程，体会均值不等式的另外一个几何意义.引导学生从充要条件的角度去理解“当且仅当”的含义.引导学生用数学语言进行表述，会对均值不等式进行等价变形.在定义的基础上让学生加深对均值不等式的理解.加深对均值不等式的理解.在熟练掌握定义的基础上，激发学生的潜能，达到多思多说的目的，进一步让学生从形的角度加深对本课时内容的理解.正确理解当且仅当的含义.应用举例例1 教材第73～74页例1.多媒体屏幕上展示.练习：教材第76页练习A第1题.例2 教材第74页例2.练习：教材第76页练习A第2题.教师操作课件，引导学生自己解决问题，让学生板演.提出：利用均值不等式求最值时，如何确定等号成立？学生分组练习交流讨论，教师巡视，收集信息及时评价.学生自学例2，教师引导归纳.点拨学生概括用均值不等式证明不等式的方法，学生练习，教师巡视指导.锻炼学生的应用能力、操作能力.进一步加深对均值不等式的认识，强化本节重点.归纳小结1.知识：（1）均值不等式（2）均值不等式的等价变形2.方法：利用均值不等式进行证明、求最值.学生相互交流收获与体会，并进行反思.关注学生的自主体验，提高其归纳总结的能力.布置作业1.教材第76页练习B第3题.2.教材第77页习题2-2A第7题.学生独立完成，教师批阅.通过分层作业使学生巩固所学内容，并为有余力的学生提供进一步学习的机会.第1课时 均值不等式的概念一、复习1.不等式的性质2.比较大小的方法二、新课1.均值不等式：如果，都是正数，那么，当且仅当时，等号成立.2.利用均值不等式求简单函数的最值三、例题例1例2四、小结1.知识（1）均值不等式（2）均值不等式的等价变形2.方法