2024-2025学年高一下学期数学好题精选第五期试题（含答案解析）

这是一份2024-2025学年高一下学期数学好题精选第五期试题（含答案解析），共40页。
【交汇点：根据向量研究四边形的长度问题】
（2025年湖南省邵东市第四中学高一下学期期中）
1．平面直角坐标系中A1,−1,B4,0,C2,2,AP=λAB+μAC1≤λ≤a,1≤μ≤a若动点P组成的区域面积为32，则a等于（ ）
A．72B．3C．2D．32
【交汇点：根据函数的性质，分类讨论研究不等式恒成立问题】
（2025年湖南省湘潭县第一中学等多校高一下学期期中联考）
2．已知函数fx=lgax−x+1x,03，∀x1,x2∈0,+∞且x1≠x2，fx1−fx2x2−x1−1x1x2≥1，则实数a的取值范围是（ ）
A．13,1B．0,13C．0,12D．45,1
【交汇点：绝对值三角不等式研究三角函数的范围问题】
（2025年山东省潍坊市高一下学期期中）
3．已知函数fx=a+sinx−sinxa≠0，则（ ）
A．2π是fx的一个周期
B．当a≥1时，fx的最大值为a
C．∃a>0，fx在0,π上有零点
D．对于定义域内任意的x1，x2，都有fx2−fx1≤2a
【交汇点：平面向量与三角形四心之间的关系问题】
（2025年江西省景德镇一中高一下期中）
4．在三角形ABC所在平面内，点P满足AP=λABmAB+ACnAC，其中λ∈0,+∞，m,n∈R，m≠0，n≠0，则下列说法正确的是（ ）
A．当mAB=nAC时，直线AP一定经过三角形ABC的重心
B．当m=n=1时，直线AP一定经过三角形ABC的外心
C．当m=csB,n=csC时，直线AP一定经过三角形ABC的垂心
D．当m=sinB,n=sinC时，直线AP一定经过三角形ABC的内心
【交汇点：化学分子结构研究几何问题】
（2025安徽省芜湖市第一中学高一下学期期中）
5．甲烷分子式为CH4，其结构抽象成的立体几何模型如图所示，碳原子位于四个氢原子的正中间位置，四个碳氢键长度相等，用C表示碳原子的位置，用H1,H2,H3,H4表示四个氢原子的位置，设α=CH1,CH4，则cs2α= .
【交汇点：余弦定理求解空间中的角度问题】
（2025年湖南省邵东市第四中学高一下学期期中联考）
6．如图，用一平面去截球O，所得截面面积为16π，球心O到截面的距离为3，O1为截面小圆圆心，AB为截面小圆的直径.

(1)计算球O的表面积和体积；
(2)若O是截面小圆上一点，∠ABC=30∘，M、N分别是线段AO1和OO1的中点，求异面直线AC与MN所成角的余弦值.
【交汇点：构造二次函数模型，利用二次函数性质求解几何体的面积问题】
（2025年天津市第五十五中学高一下期中）
7．如图一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个底面半径为x的内接圆柱.
(1)求此圆锥的表面积与体积；
(2)试用x表示圆柱的高h；
(3)当x为何值时，圆柱的全面积最大，最大全面积为多少？
【交汇点：新定义结合集合以及数列的概念求解】
（2025年湖南省湘潭县第一中学等多校高一下期中联考）
8．对任意的实数x，定义x=x−x，其中x表示不超过x的最大整数．
(1)已知函数fx=3x−23x+1+1，y=fx的值域为集合A，求A的真子集个数．
(2)已知x1，x2，x3，⋯，xn为gx=25x+x−125的零点，求x1+x2+⋯+xn．
(3)设a1，a2，⋯，an是任意给定的n个互不相等的实数．求证：存在某个正整数k1≤k≤n，使得a1−ak+a2−ak+a3−ak+⋯+an−ak≤n−12．注：1+2+⋯+n=nn+12．
【交汇点：利用三角函数和差公式化简求解向量的最值】
（2025年扬州大学附属中学高一下学期期中）
9．如图，点P，Q分别是矩形ABCD的边DC，BC上的两点，AB=6，AD=4.

(1)若DP=λDC，CQ=λCB，0≤λ≤1，求AP⋅AQ的范围；
(2)若∠PAQ=π4，记∠QAB=α，求AP⋅AQ的最小值；
(3)若DP=2PC，连接AP交BC的延长线于点T，Q为BC的中点，试探究线段AB上是否存在一点H，使得∠THQ最大.若存在，求BH的长；若不存在，说明理由.
【原创点：陀螺形象研究空间几何体及其度量】
（2025年湖南省邵东市第四中学高一4月期中）
10．民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺的立体结构图.已知.底面圆的直径AB=16cm，圆柱体部分的高BC=8cm，圆锥体部分的高CD=6cm，则这个陀螺的表面积是（ ）
A．192πcm2B．252πcm2C．272πcm2D．336πcm2
【原创点：八角形校徽模型研究平面向量基本定理】
（2025年天津市第五十五中学高一下学期期中）
11．我校八角形校徽由两个正方形叠加变形而成，喻意“方方正正做人”，又寄托南开人”面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神，如图，在抽象自“南开校徽”的多边形中，已知其由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转45∘后的正方形组合而成，已知向量n，k，则向量a（ ）
A．2n+3kB．2+2n+3k
C．2+2n+2+2kD．1+2n+2+2k
【原创点：引入“堑堵”模型研究几何体表面积的求解】
（2025年湖南省衡阳市衡阳县第三中学高一下学期期中）
12．《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的一部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”ABC−A1B1C1的所有顶点都在球O的球面上，且AB=AC=1．若球O的表面积为4π，则这个三棱柱的表面积是（ ）
A．2+22B．22C．3+22D．3+23
【原创点：“笛卡尔坐标系”研究向量的新运算问题】
（2025江西省景德镇一中高一下学期期中）
13．笛卡尔坐标系是直角坐标系与斜角坐标系的统称.如图，在平面斜角坐标系xOy中，两坐标轴的正半轴的夹角为60°，e1，e2分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量.若向量a=xe1+ye2，则称有序实数对(x,y)为a在该斜角坐标系下的坐标.若向量m，n在该斜角坐标系下的坐标分别为(3,2)，(2,k)，且m⋅n=15，则实数k的值为 .
【原创点：“特征三角函数”结合“特征向量”研究三角函数运算】
（2025上海师范大学附属中学闵行分校、宝山分校高一下学期期中联考）
14．定义：非零向量m=a,b的“特征三角函数”为fx=asinx+bcsx，向量m称为函数fx的“特征向量”.
(1)若fx=2sinx+π3+4csx−π6，求fx的“特征向量”a的坐标；
(2)设向量b=3,−4的“特征三角函数”为gx，若关于x的方程gx+k=0在0,π上有两个不同的实根，求k的取值范围；
(3)设向量n=a,a的“特征三角函数”为φx，若函数ℎx=φx+sin2x的最小值不小于−2，求a的取值范围.
【原创点：新运算m⊗n=mnsinθ，结合数量积研究向量的运算及最值】
（2025年河南省商丘市豫东名校高一下学期期中）
15．设平面内两个非零向量m，n的夹角为θ，定义一种运算“⊗”m⊗n=mnsinθ．试求解下列问题：
(1)已知向量a，b满足|a|=10，|b|=3，(a−b)⊥b，求a⊗b的值；
(2)若向量a，b满足a=(x1,y1)(x12+y12≠0)，b=(x2,y2)(x22+y22≠0)，求证：a⊗b=x1y2−x2y1；
(3)已知向量a=(13csα,1sinα)，b=(3sinα,−1csα)，α∈(0,π2)，求a⊗b的最小值．
【原创点：游戏下的周期性运动】
（2025年湖南省湘潭县第一中学等多校高一下期中联考）
16．对任意的实数x，定义x=x−x，其中x表示不超过x的最大整数．
(1)已知函数fx=3x−23x+1+1，y=fx的值域为集合A，求A的真子集个数．
(2)已知x1，x2，x3，⋯，xn为gx=25x+x−125的零点，求x1+x2+⋯+xn．
(3)设a1，a2，⋯，an是任意给定的n个互不相等的实数．求证：存在某个正整数k1≤k≤n，使得a1−ak+a2−ak+a3−ak+⋯+an−ak≤n−12．注：1+2+⋯+n=nn+12．
【原创点：“视角运算”定义结合正余弦定理以及三角形的面积公式求解】
（2025年江西省景德镇一中高一下期中）
17．A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上（点M与点P，Q任一点均不重合），我们称如下操作为“由A点对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记(P,Q;M)=APsin∠PAMAQsin∠MAQ；若点M在线段PQ外，(P,Q;M)=−APsin∠PAMAQsin∠MAQ.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，点D在射线BC上.
(1)若AD是角A的平分线，且b=3c，由A点对BC施以视角运算，求(B,C;D)的值；
(2)若A=60°，a=4，AB⊥AD，由A点对BC施以视角运算，(B,C;D)=−4，求△ABC的周长；
(3)若A=120°，AD=4，由A点对BC施以视角运算，(B,C;D)=sinCsinB，求b+4c的最小值.
【原创点：“方正函数”新定义，考察学生对于函数新概念性质的理解应用能力】
（2025年上海市宜川中学高一下期中）
18．若函数y=fx的定义域、值域均为a,b，则称y=fx为a,b上的方正函数；
(1)若y=12x2−x+32为区间1,bb>1的方正函数，求实数b的值；
(2)是否存在实数对a,b，使得函数fx=−x1+x为区间a,ba0，且a≠1),y=Asinωt+φ+b(A>0,ω>0,−π1，若函数y=f2(x)+2af(x)+2−a在[0,+∞)有6个不同零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．(−∞,−3)∪−187,−2B．−∞,−187∪(1,+∞)C．(−3,−2)∪1,187D．(−∞,−2)∪(1,+∞)
【易错点：错误应用数量积的正负与夹角的关系】
（2025年湖南省长沙市雅礼集团八校联考高一4月期中）
29．若平面向量a=n,2，b=1,m−1，其中n，m∈R，则下列说法正确的是（ ）
A．若2a+b=2,6，则a//b
B．若a=−2b，则与b同向的单位向量为(22,−22)
C．若n=1，且a与b的夹角为锐角，则实数m的取值范围为(12,3)∪(3,+∞)
D．若a⊥b，则z=2n+4m的最小值为4
【易错点：解三角形多个解的判断出错】
（2025年扬州大学附属中学高一下期中）
30．已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题中，正确的命题是（ ）
A．若acsA=bcsB，则△ABC为等腰三角形
B．若sinA>sinB，则A>B；反之，若A>B，则sinA>sinB
C．a=3，A=60∘，b=m，要使此三角形的解有两个，则m的取值范围为3,23
D．B=2π3，角B的平分线BD交AC边于D，且BD=3，则a+c的最小值为12
【易错点：对指数型函数的性质的判定方法，理解把握不到位】
（2025年湖南省湘潭县第一中学等多校高一下期中联考）
31．已知fx=1−2x1+2x，则下列说法正确的是（ ）
A．若x11，
不妨设λ>0,u>0，
如图所示，延长AB到点N，延长AC到点M，使得AN=aAB,AM=aAC，
作CH ∥ AN,BF ∥ AM,NG ∥ AM,MG ∥ AN，
则四边形ABEC,ANGM,EHGF均为平行四边形.
由题意可知：点Px,y组成的区域D为图中的四边形EFGH及其内部.
∵A1,−1,B4,0,C2,2，
∴AB=3,1,AC=1,3,BC=−2,2，
AB=10,AC=10,BC=22，
则cs∠CAB=AC⋅ABACAB=610⋅10=35，
则sin∠CAB=45，
又1≤λ≤a,1≤μ≤a，故λ>0,u0，可得fx1+x1−1x1≥fx2+x2−1x2，令gx=fx+x−1x，可得gx1≥gx2对x1,x2∈0,+∞恒成立，分0