河北省承德市2024-2025学年高一下学期期末调研数学试题含答案解析含答案解析含答案解析

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1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用诱导公式计算.
【详解】,
故选：A.
2. 在中，设，，若点D满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接由图形的几何性质分解向量即可求解.
【详解】
由题意.
故选：D.
3. 把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由函数平移伸缩变换法则求解即可.
【详解】把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），
再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
则.
故选：B.
4. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用投影向量公式，结合向量数量积和模的坐标运算，即可求解.
【详解】由在上的投影向量为，
故选：C.
5. 若直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则l与α所成的角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出直线l的方向向量与平面的法向量的夹角后可得.
【详解】由已知，，所以l与α所成的角为，
故选：A.
6. 用斜二测画法画出的四边形OABC的直观图如图中的四边形，其中，，，则原四边形以所在直线为旋转轴，旋转一周形成的几何体的体积为（ ）
A. B.
C. D. 19π
【答案】D
【解析】
【分析】先还原直观图得原图，再结合圆台的体积公式求解即可.
【详解】将直观图还原成如图所示的直角梯形：
原四边形以所在直线为旋转轴，旋转一周形成的几何体的体积为,
故选：D.
7. 在中，已知，则一定是（ ）
A. 直角三角形B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形D. 锐角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】由正弦定理化角为边，再结合余弦定理变形可得.
【详解】因为，所以由正弦定理得，
又，
所以，，即，
所以一定是等腰三角形，
故选：B.
8. 如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，其中底面是正方形，，，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】取，分别求得和，将与分别用表示出来，再利用空间向量的夹角公式计算即得.
【详解】
如图，分别取，则，
且，
而
由，
，
，
设与的所成角为，
则.
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为B. 是奇函数
C. 的图象关于直线对称D. 在区间上单调递减
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A，由周期公式验算即可；对于B，由奇函数定义验算即可；对于C，由代入检验法验算即可；对于D，由复合函数单调性判断即可.
【详解】对于A，的最小正周期为，故A正确；
对于B，，
因为的定义域为关于原点对称，且恒成立，
所以是奇函数，故B正确；
对于C，因为，
所以的图象关于直线对称，故C正确；
对于D，因为，且在上先增后减，故D错误.
故选：ABC.
10. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，M是所在平面内一点，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. M为的外心⇔
C. 若，则的面积是面积的
D. 若，且，则为等边三角形
【答案】ABD
【解析】
【分析】由余弦定理判断A，由正弦定理判断B，由向量的线性运算及三角形面积公式判断C，根据向量垂直与数量积的定义判断D。
【详解】对A，由余弦定理，A正确；
对B，由正弦定理得，所以，B正确；
对C，，则，，
所以，，从而，C错；
对D，是的平分线的一个方向向量，，
则的平分线与垂直，为等腰三角形，，
，所以，
所以等边三角形，D正确，
故选：ABD。
11. 如图，在棱长为1的正方体中，E是棱上的动点，F是棱AB上的动点，过点，C，F作正方体的截面α，则（ ）

A. 存在点E，使得平面
B. 三棱锥的体积是定值
C. 截面α的形状为梯形
D. 当截面α面积取得最小值时，F为AB的中点
【答案】BD
【解析】
【分析】由线面垂直的性质判断A，由体积公式判断B，由截面的真正形状判断C，由正方体的对称性或求出截面面积的最小值判断D.
【详解】对A，矩形中，与不垂直，因此平面不可能成立，A错；
对B，平面，所以到平面的距离为定值，
所以三棱锥即三棱锥的体积为定值；B正确；
对C，当与重合时，截面即为矩形，它不是梯形，C错；（实际上可证明截面是平行四边形）
对D，由对称性可知，截面与棱相交，记交点为，
由面面平行的性质定理知，所以截面是平行四边形，
由对称性可知当为中点时，截面是菱形，面积最小，证明如下：
设，则，，又，
则，
，
，
所以，即为中点时，截面面积最小，D正确.
故选：BD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，，，若，则_______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用向量共线的坐标运算即可求解.
【详解】由,
因为，，所以,
故答案为：
13. 已知，，则______.
【答案】3
【解析】
【分析】
根据条件求得，再利用两角和的正切公式即可得到答案.
【详解】因，则，
由，即，
所以，即，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查二倍角公式，两角和的正切求值，属于基础题.
14. 如图，在平面四边形中，，，将沿直线翻折至，使得，则三棱锥外接球的表面积为_______．

【答案】##
【解析】
【分析】分析得等边三角形外接圆半径，且平面，而，从而由公式可得三棱锥外接球的半径，结合球的表面积公式即可求解.
详解】如图所示，取中点，连接，

由题意，所以，
又因为，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以，
又因为，，平面，
所以平面，
因为三角形是边长为2的等边三角形，
所以其外接圆的半径，
又因为，
所以三棱锥外接球的半径，
故所求为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，的面积为，求的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由诱导公式、两角和的余弦公式变形，用正弦定理化角为边，再由余弦定理求得角；
（2）由面积公式和余弦定理（1）中结论列方程组求得后得周长.
【小问1详解】
因为，
所以，
由正弦定理得，
所以，又，
所以；
【小问2详解】
因为，的面积为，
则，解得，所以周长为.
16. 如图，在正四棱台中，．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）连接交于点，连接，证明，然后得证线面平行；
（2）由等体积法计算：.
【小问1详解】
连接交于点，连接，
是正四棱台的对角面与下底面和上底面的交线，则，
又，所以，即，
所以是平行四边形，所以，，
又平面，平面，所以平面；
【小问2详解】
由（1）平面，所以，
正四棱台中，，
作于，则是正四棱台的高，正四棱台中，，，则，
，
所以，
又，是中点，所以，
由（1）知，而，
所以，
设点到平面的距离为，则，，
所以点到平面的距离为.
17. 如图，在长方形ABCD中，，，M是边CD的中点，将沿直线翻折至，使得，连接，得到四棱锥．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）取中点，连接，证明平面，再由面面垂直的判定定理得让面面垂直；
（2）取中点，作，且，连接，证明平面，作于点，连接，证明是直线与平面所成角，然后求出其正弦值.
【小问1详解】
取中点，连接，如图，
由已知，所以，且，
中，，
又，所以，
所以，所以，
又，平面，
所以平面，而平面，
所以平面平面；
【小问2详解】
取中点，作，且，连接，
则是平行四边形，所以，是中点，则，所以，
因为平面，平面，所以平面，即平面，
所以平面，
由（1）知平面，平面，所以，同理，
所以，
作于点，连接，
因为，平面，
所以平面，而平面，所以，
又因为平面，所以平面，
平面，则，
所以是直线与平面所成角，
在中，由得，
.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18. 已知向量，，且
（1）求的单调递增区间；
（2）若，且，求的值；
（3）若函数在区间上有三个不同的零点，从小到大依次记为，，，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由向量数量积的坐标运算、二倍角公式和辅助角公式得，由整体代入法得到的单调递增区间；
（2）由三角恒等变换求解即可；
（3）由，解得或，依题得，由正弦函数的图象得和关于直线对称，从而得到，即可求解.
【小问1详解】
，
所以，
由得，
所以的单调递增区间是.
【小问2详解】
若，且，
所以，
所以；
【小问3详解】
由得或，
即或，
由，可得，
由得，解得；
所以在上有两个不同的解，由图知，，
且，即，
所以，
所以.
19. 如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条射线，，分别为与Ox，Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记．
（1）若，在仿射坐标系中，，，求；
（2）在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求；
（3）如图，在仿射坐标系中，点B，C分别在射线Ox、射线Oy上（均与点O不重合），，，E，F分别为的中点，求的最大值．
【答案】（1）
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）构造直角坐标系，得出，对应的直角坐标，通过仿射坐标系的定
（2）同（1）求出的直角坐标，利用直角坐标系中向量夹角的坐标表示求解；
（3）设，同（1）表示出的直角坐标，再求出的直角坐标，然后计算数量积，在中，设，由正弦定理表示出，再利用三角函数的知识求得最大值.
【小问1详解】
，则，
如图，以为原点构造直角坐标系，
在直角坐标系中，当时，记，则，
在仿射坐标系中，，，
则，
，
所以；
【小问2详解】
在直角坐标系中，记，则，
在仿射坐标系中，，
，
解得（舍去）或，所以；
【小问3详解】
在直角坐标系中，，
设，，，即，
则，所以，
E，F分别为的中点，
则，
，
中，由正弦定理，
设，则，
所以，，
，其中为锐角，且，
因为，则，
故当时，取得最大值，
则.