2024-2025学年高一下学期数学好题精选第八期试题（含答案解析）

这是一份2024-2025学年高一下学期数学好题精选第八期试题（含答案解析），共38页。
【交汇点：根据向量研究三角形的形状】
（2025年河南省环际大联考“逐梦计划”高一下学期期中）
1．在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若BA⋅BC=AB⋅AC，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形B．锐角三角形
C．直角三角形D．等腰或直角三角形
【交汇点：利用基本不等式研究三角形中的最值问题】
（2025年上海市闵行中学高一下学期期中）
2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，2asinA−bsinB=3csinC，若S表示△ABC的面积，则Sb2的最大值为（ ）
A．1B．52C．65D．62
【交汇点：新运算“a×b”下的解三角形与向量综合问题】
（2025年山东省济宁市曲阜夫子学校高一下期中）
3．定义：a×b为向量a与b的外积，且a×b=absinθ，其中θ为向量a与向量b的夹角，已知在△ABC中，若CB+CA=6，BA+BC=12，则AB×AC的最大值为（ ）
A．6B．8C．12D．24
【交汇点：建系根据向量坐标运算求解几何图形运动点的函数解析式】
（2025辽宁省县域重点高中高一下学期期中）
4．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2CD=2，AD=3，动点P从顶点A出发，以每秒1个单位的速度在梯形的边上沿着A→B→C→D的路线运动到点D处则停止，当运动时间为x秒时，令fx=PC⋅PD，则（ ）
A．fx的定义域为0,5B．f1=2
C．fx的最大值为5D．fx有5个单调区间
【交汇点：三角换元求解向量运算的最值问题】
（2025年山东省日照市高一下学期期中）
5．在等腰直角三角形ABC中，AB=2，点M为斜边BC的中点．以M为圆心，MA为半径作AC，点P在线段AB上，点Q在AC上，则MQ+AP的取值范围是 ．
【交汇点：三角函数化简运算中的数列问题】
（2025年上海市建平中学高一下期中）
6．已知定义在R上的函数y=fx，数列an满足an+1=fann≥1,n∈N，且a1≠0.
(1)若fx=x2，a3=16，求a1的值；
(2)若fx=2x+x−1，且数列an为严格增数列，求a1的取值范围；
(3)若fx=2x+sinx，且数列an满足an+1=qann≥1,n∈N，其中q>1，求a1和q的值.
【交汇点：基本不等式求解三角形与向量综合问题中的最值问题】
（2025年吉林省长春市东北师范大学附属中学高一下期中）
7．克罗狄斯·托勒密（ptlemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意平面凸四边形（所有内角都小于180°的四边形）中，两条对角线的乘积不大于两组对边乘积之和，当且仅当四边形的对角互补（即四边形为圆的内接四边形）时两者相等．
已知圆O是凸四边形ABCD的外接圆，其中CD=3AD．
(1)若圆O的半径为r，且∠CBD=2∠ABD，
（ⅰ）求∠ABD的大小；
（ⅱ）求AC⋅BD的取值范围（用r表示）．
(2)若BD=2，∠ABC=π6，求△ABC的面积S的最大值以及当S取最大值时AD的长．
【交汇点：分类讨论思想结合数列求解集合个数问题】
（2025年北京市第二中学高一下学期期中）
8．已知集合M=1,2,3,...,nn∈N∗，若集合A=a1,a2,...,ai,...,amai∈N∗,1≤i≤m,m∈N∗，且对任意的b∈M，存在ai，aj∈A1≤i≤j≤m，使得b=λ1ai+λ2aj（其中λ1，λ2∈−1,0,1），则称集合A为集合M的一个m元基底．
(1)分别判断下列集合A是否为集合M一个二元基底，并说明理由；
①A={1,5},M={1,2,3,4,5}；②A={2,3},M={1,2,3,4,5,6}．
(2)若集合A是集合M的一个m元基底，证明：mm+1≥n；（备用公式：1+2+⋯+n=nn+12）
(3)若集合A为集合M={1,2,3,…,11}的一个m元基底，求出m的最小可能值，并写出当m取最小值时M的一个基底A．
【原创点：名胜古迹中的高度测量问题】
（2025年天津市滨海新区塘沽第一中学高一下学期期中）
9．山西应县木塔，始建于1056年，是世界上现存最高大、最古老的纯木楼阁式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”．某同学为了估算水塔的高度MN，他在塔的附近找到一座建筑物AB，高为10m，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得木塔顶部M，建筑物顶部A的仰角分别为60°和15°，在A处测得木塔顶部M的仰角为30°，则可估算木塔的高度为（ ）m．
A．10+302B．30+102C．10+303D．30+103
【原创点：函数新定义下的图形面积问题】
（2025年山东省日照市高一下学期期中）
10．当a≤b时，记{a,b}min=a．已知fx=sinnx⋅{sinnx,csnx}min,x∈0,π2n，则y=fx的图象与x轴围成的图形的面积为（ ）
A．π6nB．π7nC．π8nD．π9n
【原创点：正六边形结构中的向量运算问题】
（2025届重庆市部分区县高三5月三诊考试数学）
11．正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知 6 个边长均为 2 的正六边形的摆放位置如图所示， C 是这 6 个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则 AC⋅AB 的最大值为（ ）
A．12B．16C．18D．20
【原创点：“圭表”背景下的三角形求解】
（2025江西省景德镇高三三模）
12．如图，圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，太阳光与圭面成角也就是太阳高度角．圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，投影点为冬至线．日影长度最短的那一天定为夏至，投影点为夏至线．已知景德镇冬至正午太阳高度角为36.9°tan36.9°≈34，夏至正午太阳高度角为θ°，表高42厘米，圭面上冬至线与夏至线之间的距离为50厘米，则sinθ−36.9°的值为（ ）
A．12B．13C．22D．33
【原创点：信号处理情境下的正弦型函数的性质】
（2025辽宁省县域重点高中高一下学期期中）
13．在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.若某种信号波函数为fx=sin3x+sin6x+sin8x，则fx的最小正周期为 .
【原创点：“莱洛三角形”下的向量运算问题】
（2025年北京市第五中学高一下学期期中）
14．数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）．若一个莱洛三角形的周长为π，给出下列4个结论：

①线段AB长为2；
②此莱洛三角形的面积为π−32；
③若点E在AB上运动，则EB⋅EC的最大值为12.
④若点F在莱洛三角形的边界上运动（不与A，B重合），则∠AFB的取值范围为π3,5π6；
其中所有正确的结论的序号为
【原创点：高次三角函数sinnx,csnx下的运算】
（2025年山东省威海市乳山市银滩高级中学高一下期中）
15．已知函数fp(x)=sinpx，gq(x)=csqx（p,q∈N+）.
(1)若f1(x0)+g1(x0)=23，求f3(x0)+g3(x0)的值；
(2)若函数ℎ(x)=f2(x)+g4(x)，求y=ℎ(x)的最小正周期与对称轴方程；
(3)若存在n∈N+，使得sinnx+csnx+2tsinxcsx−t≥0对任意的x∈[0,π2]恒成立，求实数t的取值范围.
【原创点：新定义“M函数”下的三角函数的性质求解】
（2025年广东省多校高一下期中）
16．若函数f(x)满足f(x+3)=−f(x)，且f(5+x)=f(−x)(x∈R)，则称函数f(x)为“M函数”．已知函数g(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|0)个单位长度，得到的图象关于原点对称，求m的最小值．
【改编点：“指数衰减”模型下的指对运算】
（2025年云南省昆明市高一下学期期中）
17．Deepseek（深度求索）是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L=L0DGG0，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（ ）
（参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.477）
A．14B．15C．16D．17
【改编点：改编自课本原题，数形结合研究分段函数零点的问题】
（2025年湖南省湘潭市第一中学高一下学期期中）
18．已知函数fx=x2+2x−3,x≤0−2+lnx,x>0，方程fx=k恰有三个不同的实数解，则k可能的值是（ ）
A．−4B．−3C．−2D．−1
【改编点：“欧拉公式”定义研究复数的运算及其几何意义的应用】
（2025年福建省莆田市莆田第四中学高一下期中）
19．欧拉公式eix=csx+isinx（e为自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．若在复数范围内关于x的方程x2+ax+b=0（a，b∈R）的两根为z1，z2，其中z1=2eπ4i，则下列结论中错误的是（ ）
A．复数ei3对应的点位于第二象限B．z2=1−i
C．a+bi=2D．若复数z满足z=1，则z+z1的最大值为2+1
【改编点：改编自教材习题，复数的几何意义以及与圆的结合问题】
（2025年云南省昆明市高一下期中）
20．已知复数z1=3+4i，z2=2+5i，z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，则（ ）
A．Z1，Z2两点在以原点为圆心的同一个圆上
B．Z1，Z2两点之间的距离为2
C．满足|z|=|z1|的复数z对应的点Z形成的图形的周长是25π
D．满足|z1|sinB
B．若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形或直角三角形
C．若sin2A+sin2B>sin2C，则△ABC是锐角三角形
D．若a=10,b=9,B=60∘，则符合条件的△ABC有两个
【易错点：向量数量积正负与向量夹角之间的关系】
（2025年辽宁省锦州市某校高一下期中）
28．下列说法中正确的是（ ）.
A．已知非零向量a=(1,2),b=(−1,3)，且a与a+λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是(−1,+∞)
B．若c=6,A=45∘,a=2.则△ABC有两组解
C．若平面向量a,b,c满足a⋅c=b⋅c，则a=b
D．在△ABC中，若A>B⇔sinA>sinB
【易错点：数形结合解决三角函数对称性、零点问题】
（2025年辽宁省大连市滨城高中联盟高一下期中）
29．函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0, φ0,00，由此得出a1>0，然后结合递推公式逐项推导可知，n∈N∗，an>0，an+1>an，综合可得出a1的取值范围；
（3）由题意可知q−2an=sinan对任意的n∈N∗恒成立，讨论q≠2，结合q>1以及sinan≤1推出矛盾，从而得出q=2，sina1=0，即可得解.
【详解】（1）因为fx=x2，则an+1=an2n≥1，
因为a1≠0，则a2=a12>0，由a3=a22=16可得a2=4，
由a2=a12=4，解得a1=±2.
（2）因为fx=2x+x−1，则an+1=fan=2an+an−1，
因为函数y=2x、y=x−1在R上均为增函数，故函数fx在R上为增函数，
因为数列an为严格增数列，则an+1=2an+an−1>an，可得2an>1，解得an>0，
所以a1>0，
且当a1>0时，a2=2a1+a1−1>a1，且a2=fa1>f0=0，
当a2>0时，a3=2a2+a2−1>a2，且a3=fa3>f0=0，⋯，
以此类推可知，对任意的n∈N∗，an>0，an+1>an，合乎题意，
因此，a1的取值范围是0,+∞.
（3）由题意可知，an+1=fan=2an+sinan=qan，即q−2an=sinan对任意的n∈N∗恒成立，
若q≠2，则q−2an=sinan≤1，即q−2qn−1a1≤1对任意的n∈N∗恒成立，
令q−2a1⋅qx−1=1可得x=lgq1q−2a1+1=1−lgqq−2a1，
因为q>1，当n>1−lgqq−2a1时，q−2qn−1a1>1，与题意矛盾.
所以，必有q=2，从而可得sinan=0，进而有sina1=0，
故a1=kπk≠0,k∈Z，q=2.
7．(1)（ⅰ）π6 （ⅱ）−3r2,r2
(2)7312，33
【分析】（1）（ⅰ）由正弦定理可解.
（ⅱ）设∠BAC=θ,θ∈0,π2，根据正弦定理求BD，再把AC⋅BD表示出来即可求得范围.
（2）由正弦定理可求sin∠ABD，AD的长，由弦表原理可建立AB与BC的关系，继而应用基本不等式可求解.
【详解】（1）如图：

（ⅰ）因为圆O是凸四边形ABCD的外接圆，
所以ADsin∠ABD=CDsin∠CBD=2r，又CD=3AD，∠CBD=2∠ABD，
所以ADsin∠ABD=3ADsin2∠ABD，
即sin2∠ABD=2sin∠ABDcs∠ABD=3sin∠ABD，
解得cs∠ABD=32，所以∠ABD=π6.
（ⅱ）由（ⅰ）知∠CBD=2∠ABD=∠CAD=π3，∠ABC=π2，AC=2r，
设∠BAC=θ,θ∈0,π2，
所以BDsin∠BAD=BDsinθ+π3=2r⇒BD=2rsinθ+π3，
AC⋅BD=ACBDcs∠DEC=2r⋅2rsinθ+π3cs5π6−θ，
整理得AC⋅BD=r2−1−2cs2θ，因为θ∈0,π2，
所以AC⋅BD的取值范围为−3r2,r2.
（2）如图：
ADsin∠ABD=CDsin∠CBD=ACsin∠ABC=2r，因为CD=3AD，∠ABC=π6，
所以ADsin∠ABD=3ADsinπ6−∠ABD，
即sinπ6−∠ABD=12cs∠ABD−32sin∠ABD=3sin∠ABD，
所以cs∠ABD=33sin∠ABD⇒tan∠ABD=39，sin∠ABD=714，
AD=2rsin∠ABD=77r，CD=3AD=217r，AC=2rsin∠ABC=r,
由弦表原理得：AC⋅BD=AD⋅BC+CD⋅AB，
即2r=7r7BC+21r7AB，
所以BC+3AB=27≥23BC⋅AB，（当BC=3AB=7时取等），
解得AB⋅BC≤733，AC=r=AB2+BC2−2AB⋅BCcs∠ABC=213，
因为S△ABC=12AB⋅BCsin∠ABC=14AB⋅BC≤7312，
所以△ABC的面积S的最大值7312，当S取最大值时，AD=77r=33.
8．(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)4，A=6,5,4,3
【分析】（1）利用二元基底的定义加以验证，可得A=1,5不是M=1,2,3,4,5的一个二元基底.，A=2,3是M=1,2,3,4,5,6的一个二元基底.．
（2）设a1