2024-2025学年高一下学期数学好题精选第九期试题（含答案解析）

这是一份2024-2025学年高一下学期数学好题精选第九期试题（含答案解析），共41页。
【交汇点：利用基本不等式求解三角形周长的最值问题】
（2025年内蒙古呼和浩特市第二中学高一下学期期中）
1．在△ABC中，已知2asinA=2b−csinB+2c−bsinC，a=2，则△ABC周长最大值为（ ）
A．4B．6C．433D．433+2
【交汇点：根据一元二次不等式恒成立研究向量中参数取值问题】
（2025年广西桂林市部分学校高一下学期期中）
2．已知a=2,b=3,a−b=4．若对任意实数t,ka−tb>1恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．−∞,−21515∪21515,+∞B．−21515,21515
C．−∞,−21515∪21515,+∞D．−21515,21515
【交汇点：基本不等式求解立体几何中的最值问题】
（2025年天津市河西区高三二模）
3．在正四棱锥P−ABCD中，底面四边形ABCD是边长为2的正方形，当该正四棱锥的外接球半径R与内切球半径r之比最小时，则该正四棱锥的体积为（ ）
A．22+23B．22+13C．22+2D．22+23
【交汇点：基本不等式求解平面向量基本定理中的最值问题】
（2025山东省济南市平阴县第一中学高一下学期期中）
4．已知点G是△ABC内一点，若GA+GB+GC=0．过点G作直线l分别与AB、AC交于点E、F，且AE=mAB（m>0），AF=nAC（n>0），则m+4n的最小值是（ ）
A．2B．3C．3D．23
【交汇点：根据三角函数的概念求解向量中点的坐标】
（2025年四川省成都市石室中学高一下学期期中）
5．在直角梯形ABCD中，AB⊥AD,DC//AB,AD=DC=1,AB=2,E,F分别为 AB,BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧DE上运动（如图所示）．若AP→=λED→+μAF→，其中λ,μ∈R，则2λ−μ的取值范围是（ ）
A．−2,1B．−1,1
C．−1,2D．−2,2
【交汇点：函数的奇偶性以及单调性研究抽象函数不等式问题】
（2025年上海市南洋模范中学高一下期中）
6．函数f(x)=−ln1+ax2−2x是定义在R上的奇函数，且关于x的不等式f2m−msinx+fcs2x≥0有解．则实数m的取值范围为 ．
【交汇点：复数几何意义中向量运算】
（2025年天津市滨海新区大港第一中学高一下学期期中）
7．已知i为虚数单位，m∈R，复数 z=m2−8m+15+m2−4m+3i.
(1)若z是实数，求m的值；
(2)若z是纯虚数，求m的值；
(3)若复数z与1−2i在复平面上对应的向量分别为 a，b，且a与b的夹角为钝角，求m的取值范围.
【交汇点：向量法求解三角形的中线长度】
（2025年广东省广东五校联考高一5月联考）
8．设函数fx=Rcsωx−φ(R>0,ω>0,00），定义：fly(φ)=x0+y0r，称“fly(φ)”为“关于φ的弦函数”，对于“关于x的弦函数y=fly(x)”，下列说法正确的是（ ）
A．该函数为周期函数，且最小正周期为2π
B．该函数的图象关于原点对称
C．该函数的图象关于直线φ=54π对称
D．若φ∈(0,π)，则该函数的值域为−1,2
【原创点：复数新运算】
（2025年广东省广东五校联考高一5月）
17．定义复数运算：z1⊙z2=z1z2+z1z2，已知复数z=1+2i，w满足z⊙w=10，则（ ）
A．w可以是3+iB．w的最小值为5
C．w在复平面内对应的点不可能位于第二象限D．zw的实部是5
【原创点：复数新运算】
（2025年吉林省长春吉大附中实验学校高一下学期期中）
18．《哪吒2》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号．某中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形ABCDEFGH，边长为2，点P在线段CH上，且AP=mAH+13AC，则AP⋅AB的值为 ；若点Q为线段CD上的动点，则AQ⋅QE的最小值为 ．
【原创点：中国雕刻艺术品的空间结构】
（2025年山东省济南市平阴县第一中学高一下学期期中）
19．中国雕刻技艺举世闻名，雕刻技艺的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，成品美轮美奂．1966年，玉石雕刻大师吴公炎将这一雕刻技艺应用到玉雕之中，他把玉石镂成多层圆球，层次重叠，每层都可灵活自如的转动，是中国玉雕工艺的一个重大突破.今一雕刻大师在棱长为10的整块正方体玉石内部套雕出一个可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体（所有棱长均相等的三棱锥)，若不计各层厚度和损失，则最内层正四面体的棱长最长为
【原创点：“线性向量”以及“线性函数”在向量以及三角函数中的应用】
（2025年甘肃省金昌市永昌县第一高级中学高一下学期期中）
20．定义：若非零向量OM=a,b，函数fx的解析式满足fx=asinx+bcsx，则称fx为OM的“线性函数”，OM为fx的“线性向量”，
(1)若向量OM为函数fx=2sinx+π6+4sinx−π2的“线性向量”，求OM
(2)若函数fx为向量OM=3,−1的“线性函数”，在△ABC中，BC=23,fA=1，且csBcsC=−18，求AB+AC的值；
(3)若函数fx为向量OM=3,1的“线性函数”，且当x∈0,11π6时，方程f2x+2−afx+a−3=0存在4个不相等的实数根，求实数a的取值范围.
【改编点：向量的物理背景下的应用】
（2025年广东省东莞市五校高一下学期期中）
21．在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为F1,F2，且F1=F2,F1与F2的夹角为θ，则下列结论中正确的是（ ）
A．F1=G2csθ2B．θ越小越费力，θ越大越省力
C．当θ=2π3时，F1=GD．θ的范围为0,π
【改编点：改编自教材杨辉三角，求某行的和】
（2025年北京市北京中学高一下学期期中）
22．在探究(a+b)n的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现规律．我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中出现了这个表，我们称之为杨辉三角，如下左图所示：

杨辉三角第6行的7个数依次为C60，C61，C62…C65，C66．现将杨辉三角中第nn≥1,n∈N∗行的第r1≤r≤n+1,r∈N∗n∈N∗个数乘以(r−1)，第0行的一个数为0，得到一个新的三角数阵如上右图：在这个新的三角数阵中，第nn∈N∗行的所有数的和为（ ）
A．n⋅2nB．n⋅2n−1C．（n−1）⋅2n−1D．（n−1）⋅2n
【改编点：根据指对互化“同构”函数】
（2025年广西桂林市第五中学等校高一下学期开学检测）
23．已知实数m，n满足等式：8n−1+38n=38，lg436m+1+m=13．下列选项正确的是（ ）
A．m=216B．m1n=1216C．4m+n=13D．4m+n=1
【改编点：曲面三角形类三角形性质的判定】
（2025年北京市第二中学高一下期中）
24．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O的半径为R，A，B，C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a，设Oa表示以O为圆心，且过B，C的圆，同理，圆Ob,Oc的劣弧AC,AB的弧长分别记为b,c，曲面ABC（阴影部分）叫做曲面三角形，a=b=c，则称其为曲面等边三角形，线段OA，OB，OC与曲面△ABC围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面O−ABC．设∠BOC=α,∠AOC=β,∠AOB= γ．
①若平面△ABC是面积为34R2的等边三角形，则a=b=c=π3R；
②若a2+b2=c2，则α2+β2=γ2；
③若平面△ABC为直角三角形，且∠ACB=π2，则a2+b2>c2；
④若a=b=c=π3R，则球面O−ABC的体积V>212R3；
其中所有正确结论的序号是 ．
【改编点：等式在向量中的几何意义】
（2025年黑龙江省哈尔滨第九中学高一下学期期中）
25．已知xi,yji,j=1,2,3均为实数，满足x12+y12=9,x22+y22=1,x32+y32=7，则d2=x1−x22+y1−y22的最大值为 ；当d2取得最大值时，若x1x2+y1y2+x32+y32=x1x3+y1y3+x2x3+y2y3，则x1y3−x3y1= .
【改编点：几何体的拼接问题】
（2025年山西省部分重点中学高一下学期期中）
26．将3个边长为4的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图左）；将这六个部分接于一个边长为22的正六边形边上（如图），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是 .
【改编点：水滴模型面积的求解】
（2025年上海市育才中学高一下学期期中）
27．水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ》中提到的由三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段AB，AC和圆的优弧BC围成，其中AB，AC恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点A到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为 ．
【改编点：改编自教材例题引入背景】
（2025年上海市奉城高级中学高一下学期期中）
28．坐落于奉贤渔人码头的摩天轮，堪称上海独一无二的海滨摩天轮.在晴朗的傍晚时分，踏上这场别具一格的海边摩天轮之旅，你将有机会与落日余晖、轻柔晚风、辽阔大海以及璀璨星空进行一场浪漫的邂逅.若已知摩天轮最高点距离地面高度为50米，转盘直径为40米，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动t（单位：分钟）后距离地面的高度为H（单位：米），转一周大约需要15分钟.
(1)已知H关于t的函数关系式满足Ht=Asinωt+φ+B（其中A>0，ω>0，φ≤π2），求摩天轮转动一周的解析式Ht；
(2)若游客在距离地面至少40米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？
【改编点：改编自教材例题引入背景，游戏中的三角函数应用】
（2025年湖南省高一下学期期中）
29．2025年春晚《秧BOT》节目将机器人元素融入舞台，展示了我国在机器人研发领域的卓越实力．某机器人研发团队设计一款机器狗捕捉足球游戏，在如图所示的矩形ACDE中，在点A处放置机器狗，在AC的中点B处放置足球，它们做匀速直线运动，且无其他外界干扰．已知AC=8米，足球运动速度为ν米/秒，设机器狗在点F处捕捉到足球，若点F在矩形ACDE内（含边界），则捕捉成功．记足球和机器狗的运动方向与AC所成夹角分别α0≤α≤π，β0≤β≤π2．
(1)当AE长度不受限制，α=π3时，机器狗以3ν米/秒的速度捕捉足球，则β为何值时，机器狗能捕捉成功？
(2)已知足球与机器狗运动方向所成夹角为π3，AE长度不受限制，当机器狗成功捕捉足球时，求机器狗与足球运动的总路程的最大值；
(3)当机器狗的速度为3ν米/秒时，若无论足球往哪个方向运动，机器狗总能捕捉足球成功，则AE的长度至少为多少米？
【易错点：正弦定理在判断三角形个数中的应用】
（2025年安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学高一下期中）
30．在△ABC中，A=π3，BC=3，若满足上述条件的△ABC有且仅有一个，则边长AC的取值范围是（ ）
A．0,3B．[3,2)C．0,3∪2D．3,2
【易错点：注意结合向量加法的几何意义求解向量中的最值问题】
（2025年四川省德阳市第五中学高一下学期期中）
31．已知平面向量e1，e2的夹角为π6，e2=2，且对任意的λ∈R，e2−e1≤e2+λe1恒成立，则xe2−e1+xe2−12e1，x∈R的最小值为（ ）
A．25B．23C．32D．3
【易错点：剪开几何体某一棱或折叠法求解线段和的最值】
（2025届北京市第二中学高一下学期期中）
32．如图所示，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角△ABC沿BC向上翻折，得到三棱锥A−BCD，设CD=2，点E，F分别为棱BC，BD的中点，M为线段AE上的动点，下列说法错误的是（ ）
A．在翻折过程中，存在某个位置使得AC⊥CD
B．若AB⊥CD，则AD与平面BCD所成角的正切值为217
C．三棱锥A−BCD体积的最大值为2
D．当AB=AD时，CM+FM的最小值为4+32
【易错点：概率中几个概念（互斥、对立、独立）的区分】
（2025年浙江省金华市曙光学校高一下期中）
33．依次抛掷两枚质地均匀的骰子，A1表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，A2表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，A3表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，A4表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（ ）
A．A3与A4为对立事件B．A1与A3为相互独立事件
C．A2与A4为相互独立事件D．A2与A4为互斥事件
【易错点：ω≠1时，三角函数平移变换后的解析式】
（2025年四川省江油中学高一3月月考）
34．已知函数f(x)=32sin2x+12cs2x，则下列结论正确的是（ ）
A．f(x)的最小正周期为π
B．x=π12是f(x)图象的一条对称轴
C．f(x)在π6,π2上单调
D．将f(x)的图象向左平移π6个单位后，得到的图象关于原点对称
【易错点：数量积正负与三角形形状之间的关系】
（2025年广东省东莞市光明中学高一3月月考）
35．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A．若sinB>sinC，则B>C
B．若AC⋅AB>0，则△ABC为锐角三角形
C．若△ABC面积为S，则S=14a2+b2−c2，则C=π4
D．若acsB+bcsA=2ccsC则C=π3
【易错点：直观图换原中的位置关系以及长度关系转换中的错误】
（2025年四川省德阳市第五中学高一下期中）
36．△ABC的直观图△A′B′C′如图所示，其中A′B′∥x′轴，A′C′∥y′轴，且A′B′=A′C′=2，则△ABC的面积为 .
【易错点：忽略锐角三角形对角的限制致使函数定义域错误】
（2025年河南省新乡市第一中学高一下期中）
37．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c满足b2+acac=sinAsinC+sinCsinA，c=12.
(1)求B；
(2)若D为线段BC上一点，且满足AD=BD，AC=189，求CD的长；
(3)若△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的范围.
【易错点：分类讨论思想在研究函数零点中的正确应用】
（2025年四川省江油中学高一3月月考）
38．已知函数fx=sin2ωx+φ+12,ω>0,φ1即4k2+9t2+3kt>1．
以t为主元，9t2+3kt+4k2−1>0，∀t∈R恒成立，∴Δ=9k2−364k2−1415，∴k>215=21515．
故选：C
3．B
【分析】对外接球，根据几何关系建立方程求解半径R；对内切球，先求出侧面三角形面积进而得到四棱锥表面积，再利用等体积法求出内切球半径r，最后得到Rr的表达式，通过换元法结合基本不等式求其最小值及对应的ℎ值，最后利用锥体体积公式求解即可.
【详解】设正四棱锥P−ABCD的高为ℎ，设AC∩BD=O1，连接PO1，则PO1⊥平面ABCD，
设该正四棱锥的外接球球心为O，则O在直线PO1上，
取AD的中点M，连接PM、O1M，
对外接球12+ℎ−R2=R2，解得：R=ℎ2+12ℎ，
对内切球：PM=PO12+O1M2=ℎ2+12⇒S侧=4×12×2×ℎ2+12=22ℎ2+1，
故四棱锥表面积S表=2+22ℎ2+1，
由体积法：r=3VS表=2ℎ2+22ℎ2+1=ℎ1+2ℎ2+1，
所以Rr=ℎ2+12ℎ21+2ℎ2+1，
令t=2ℎ2+1>1，则ℎ2=t2−12，
进而Rr=t2−12+1t2−11+t=t2+12t−1=t−1+12+12t−1=t−12+1t−1+1≥2+1，
当且仅当t−12=1t−1，即t=1+2时，Rr取最小值，此时ℎ=t2−12=1+2.
因此，该正四棱锥的体积为VP−ABCD=13S□ABCD⋅ℎ=13×2×1+2=21+23.
故选：B.
4．C
【分析】根据向量线性运算可得1m+1n=3，结合基本不等式可得最值.
【详解】
如图所示，设AC中点为D，
由GA+GB+GC=0，则AG=GB+GC=2GD，
即AG=23AD=23⋅12AB+AC=13AB+13AC，
又过点G作直线l分别与AB、AC交于点E、F，
设EG=λEF，
则AG=AE+λEF=AE+λAF−AE=1−λAE+λAF=1−λmAB+λnAC，
所以1−λm=13λn=13，即1m+1n=3，
又m>0，n>0，
则m+4n=13m+4n1m+1n=135+4nm+mn≥135+24=3，
当且仅当4nm=mn，即m=2n=1时，等号成立，
故选：C.
5．B
【分析】首先建立平面直角坐标系，然后将每个点用坐标的形式表示出来，根据AP→=λED→+μAF→条件，列出等式，并化简，最后求出2λ−μ的取值范围.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则A0,0,E1,0,B2,0,D0,1,C1,1,F1.5,0.5
设Pcsθ,sinθ,0≤θ≤π2.
则AP→=csθ,sinθ,ED→=−1,1,AF→=1.5,0.5.
因为AP→=λED→+μAF→，所以csθ,sinθ=λ−1,1+μ1.5,0.5.
化简得：csθ=−λ+1.5μsinθ=λ+0.5μ.
解得：λ=143sinθ−csθ,μ=12sinθ+csθ.
所以2λ−μ=123sinθ−csθ−12sinθ+csθ=sinθ−csθ=2sinθ−π4.
因为0≤θ≤π2，所以−π4≤θ−π4≤π4.
所以−1≤2λ−μ≤1.
故选：B.
6．23−4,+∞
【分析】利用函数为奇函数，结合奇函数的定义可求出a的值，然后分析函数f(x)的单调性，将所求不等式变形，可得出sin2x+msinx−2m−1≤0有解，结合参变量分离法可求出实数m的取值范围．
【详解】因为f(x)=−ln1+ax2−2x是定义在R上的奇函数，
所以f(x)+f(−x)=−ln1+ax2−2x−ln1+ax2+2x=−ln1+ax2−4x2=0，
所以1+ax2−4x2=1⇒a=4，则f(x)=−ln1+4x2−2x=ln1+4x2+2x，
任取x1,x2∈R,x1