2024-2025学年高一下学期数学好题精选第三期试题（含答案解析）

这是一份2024-2025学年高一下学期数学好题精选第三期试题（含答案解析），共40页。
【交汇点：根据直观图与原图形的关系，求解三角形】
（2025年浙江省G5联盟高一下学期期中）
1．如图的平面直角坐标系xOy中，线段AB长度为2，且∠ABO=60°，按“斜二测”画法水平放置的平面上画出为A′B′，则A′B′2=（ ）
A．4B．7−264C．7+264D．4+6
【交汇点：基本不等式研究三角形中的范围问题】
（2025年江苏省无锡市宜兴市第一中学高一下学期期中）
2．已知△ABC中，角A,B,C对应的边分别为a，b，c，D是AB的中点且CD=1，a−bc+b=sinC−sinBsinA，则a+b的最大值是（ ）
A．832B．833C．433D．43
【交汇点：向量中三点共线结论解决三角形中的参数问题】
（2025年河南省郑州市第一中学高一下期中B卷）
3．在△ABC中，S△ABC=36AB⋅AC=32，sinB=csAsinC，P为线段AB上的动点不包括端点，且CP=xCACA+yCBCB，则1x+3y的最小值为（ ）
A．2+433B．1+433C．2+33D．1+33
【交汇点：利用函数的奇偶性、周期性、对称性求函数值】
（2025年安徽省安庆市第二中学高一下学期期中联考）
4．定义在R上的奇函数fx，满足f1+x=f3−x且fx在0,2上单调递减，f2=−1，则（ ）
A．函数fx图象关于直线x=2对称
B．函数fx的周期为4
C．f2024+f2022=1
D．设gx=12e−x+2−60)；③y=px+q(p>0).
(1)由于视频号初创，监测系统对2021年的数据统计不准确，导致该组数据不宜使用，请从①②③中选出一个合适的模型，并求相应的函数解析式，并根据这个模型预测2028年的观看人次能否超过80（单位：十万）；
(2)为更好的运营视频号，吸引更多的观看者，2025年年初，运营团队加大投入，引进了最新数据监测系统，经该系统分析，2021年的观看人次修正为28（单位：十万），2024年的观看人次修正为85（单位：十万）
（i）根据修正后的数据，请从①②③中选择合适的模型，并求相应的函数解析式；
（ii）按上级规定，“优秀传统文化”类视频号当年观看人次超过200（单位：十万），其运营团队可被评为“优秀文化传播集体”荣誉称号，根据（i）中所求函数模型，试估计该视频号运营团队最快到哪一年就能被评为“优秀文化传播集体”？（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48，lg7≈0.85.）
【交汇点：构造二次函数研究与三角函数有关的零点问题】
（2025年江苏省连云港市连云港高级中学高一下学期期中）
8．已知函数fx,gx是定在R上的函数，且满足关系gx=fx⋅fx+π2．
(1)若fx=sinx+csx，若x∈0,π2，求y=gx的值域；
(2)若fx=sinx+csx，存在x1,x2∈R，对任意x∈R，有gx1≤gx≤gx2恒成立，求x1−x2的最小值；
(3)若fx=csx+sinx，要使得Fx=asinx+gx在0,nπn∈N∗内恰有2022个零点，请求出所有满足条件的a与n．
【原创点：“三斜求积术”研究三角形的面积】
（2025年安徽省安庆市示范高中高一下学期期中）
9．中国宋代数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个边长分别为a,b,c的三角形，其面积S可由公式S=p⋅(p−a)⋅(p−b)⋅(p−c)求得，其中p=12（a+b+c)，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的三边长满足a+b=14,c=6，则此三角形面积的最大值为（ ）
A．6B．610C．12D．1210
【原创点：建筑物背景研究高度测量问题】
（2025年广东省清远市四校联盟高一下学期期中）
10．如图1，这是雁鸣塔，位于贵州省遵义娄山关景区，塔身巍然挺拔，直指苍穹，登塔可众览娄山好风光．某数学兴趣小组成员为测量雁鸣塔的高度，在点O的同一水平面上的A，B两处进行测量，如图2．已知在A处测得塔顶P的仰角为30°，在B处测得塔顶P的仰角为45°，且AB=307米，∠AOB=150°，则雁鸣塔的高度OP=（ ）
A．30米B．302米C．303米D．305米
【原创点：引入“余弦距离”概念研究平面向量的运算】
（2025年广东省清远市四校联盟高一下学期期中）
11．某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）.“沙漏”是由一个圆锥体和一个四棱柱相通连接而成.某次计时前如图1所示，已知圆锥体底面半径是6cm，高是6.75cm；四棱柱底面边长为6cm和2πcm，液体高是6.5cm.计时结束后如图2所示，此时液体所形成的上底面半径为2cm，下底面半径为6cm.求此时“沙漏”中液体的高度为（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．4.5cm
【原创点：古代量器斛背景下的棱台体积的计算】
（2025安徽省安庆市第二中学高一下学期期中）
12．斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上､下底面边长分别为2，4，侧面积为24，则该正四棱台的体积为（ ）
A．56B．2243C．2833D．11253
【原创点：向量法推导正弦定理的应用】
（2025年河南省郑州市第一中学高一下学期期中）
13．用向量方法推导正弦定理采取如下操作：如图1，在锐角△ABC中，过点B作与BC垂直的单位向量j，因为BC+CA=BA，所以j⋅(BC+CA)=j⋅BA．由分配律，得j⋅BC+j⋅CA)=j⋅BA，即jBCcsπ2+jCAcsπ2−C=jBAcsπ2−B，也即bsinC=csinB．请用上述向量方法探究，如图2，直线l与△ABC的边AB，AC分别相交于D，E．设AB=c，BC=a，CA=b，∠ADE=θ，则θ与△ABC的边和角之间的等量关系为（ ）
A．asin(B−θ)+bsin(A+θ)=csinθB．asin(B+θ)+bsin(A−θ)=csinθ
C．acs(B−θ)+bcs(A+θ)=ccsθD．acs(B+θ)+bcs(A−θ)=ccsθ
【原创点：取整函数研究三角函数的范围】
（2025年上海市普陀区曹杨二中高一下期中）
14．对于实数x，记x表示不超过x的最大整数，例如π=3，−1.08=−2．已知fx=2sinx+sinx，gx=fx．有下列三个命题：①y=fx是周期函数；②函数y=fx的图象关于x=3π2对称；③方程fx⋅gx=x有且仅有2个实根．则真命题的个数为（ ）．
A．0B．1C．2D．3
【原创点：棣莫弗定理结合余弦定理研究复数的运算】
（2025年浙江省A9协作体高一下期中）
15．任意一个复数z都可写成复数的三角形式，即z=a+bi=r(csθ+isinθ)，r=|z|=a2+b2≥0，θ∈[0,2π)．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗创立．设两个复数用三角函数形式表示为z1=r1csθ1+isinθ1，z2=r2csθ2+isinθ2，则z1z2=r1r2csθ1+θ2+isinθ1+θ2（ ）
A．−1+i=2cs3π4+isin3π4
B．ω0是方程ω3=1的虚数根，则ω02=ω0
C．|z|=1，则z2+z+1的范围为34,3
D．满足z2025=(z+1)6=1的复数z有且只有2个
【原创点：“祖暅原理”研究“球缺”的表面积以及体积】
（2025年浙江省丽水发展共同体高一下学期期中）
16．祖暅是南北朝时期伟大的数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.“意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等，现有以下三个几何体：半径为R的半球，底面半径和高均为R的圆锥与圆柱，体积分别记为V半球，V圆锥，V圆柱.
(1)写出V半球，V圆锥，V圆柱三者之间的关系；
(2)过半径上一点A，且平行于半球大圆的平面将半球分割成两部分，位于上方的部分称为“球缺”.根据祖暅原理，其体积为一个圆柱的体积减去一个圆台的体积.当点A为半径中点时，求解下面两个问题：
（i）求截得的“球缺”的体积；
（ii）求截得的“球缺”的表面积.
【原创点：体育运动比赛中的动作模型研究多边形的面积】
（2025年江苏省无锡市宜兴市第一中学高一下学期期中）
17．北京时间2024年8月8日凌晨，中国花样游泳队以遥遥领先的得分优势，历史性地登上巴黎奥运会最高领奖台．赛后采访中，主教练透露自己在编排动作时，特别融入了中国元素，以甲骨文“山”字为造型（图1），体现了中国花游不畏艰难险阻，逐梦不止的精神．某公司也以此为创意，设计了本公司的LOGO，如图2．在△ABC中，AB=AC=10，csA=45，点B，H，C在线段MN上，且MB=BH=HC=CN，△PMH和△QNH都是等腰直角三角形，∠M=∠N=90°，PH交AB于点D，QH交AC于点E．

(1)求BC；
(2)求sin∠AEQ；
(3)求四边形QECN的面积．
【改编点：平面向量模的几何意义】
（2025年江苏省锡山高级中学高一下学期期中）
18．在△ABC中 ，AB⋅AC=0，且CB−CA=BC−BA，BC=6，若m∈R，则mAB−13BC+mAB−12BC的最小值为（ ）
A．13B．23C．4D．10
【改编点：引入新指标，研究对数运算】
（2025年上海市杨浦区高一下学期期中）
19．生物丰富度指数d=S−1lnN是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2提高到3，则（ ）
A．3N2=2N1B．2N2=3N1C．N22=N13D．N23=N12
【改编点：欧拉公式研究复数的运算】
（2025年广东省广州市真光中学高一下期中联考）
20．欧拉公式exi=csx+isinx是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列说法中正确的是（ ）
A．e2i对应的点位于第二象限B．eπi为纯虚数
C．exi3+i的模长等于12D．eπ3i的共轭复数为12−32i
【改编点：“等腰四面体”性质的研究】
（2025年浙江省金兰教育合作组织高一下期中）
21．数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中一个，所谓等腰四面体就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”下列说法正确的（ ）
A．“等腰四面体”各个面都是全等的锐角三角形
B．若“等腰四面体”三组对棱长度分别为5，6，7，则四面体的体积是95
C．若“等腰四面体”三组对棱长度分别为5，6，7，则四面体的内切球半径为57024
D．若“等腰四面体”三组对棱长度分别为a，b，c，则四面体的外接球半径为24a2+b2+c2
【改编点：换元法研究三角函数的最值】
（2025年福建省部分优质高中高一下学期期中）
22．如图，正三棱台ABC−A1B1C1的上下底面边长分别为3和6，侧棱长为3，则下列结论中正确的有（ ）
A．过AC的平面截该三棱台所得截面三角形周长的最小值为63+6
B．棱长为52的正四面体可以在该棱台内随意转动
C．直径为6的球可以整体放入该三棱台内（含与某面相切）
D．该三棱台可以整体放入直径为43的球内
【改编点：数形结合法研究向量加法运算】
（2025年浙江省金兰教育合作组织高一下学期4月期中）
23．正六边形的边长为1，顶点依次为A1,A2,⋅⋅⋅,A6，若存在点P满足PA1⋅PA2=0，则PA1+PA2+⋅⋅⋅+PA6的最大值为 .
【改编点：引入狄利克雷函数以及符号函数，研究函数的性质】
（2025年上海市杨浦区高一下学期期中）
24．已知狄利克雷函数 Dx=1，x为有理数0，x为无理数 ，符号函数 Sx=1，x>00，x=0−1，x0时，辅助角φ=arctanba
B．当a>0,b200，所以(32)x>494，
不等式两边同时取常用对数得，x⋅lg(32)>lg494，
所以x>lg494lg32=2lg7−2lg2lg3−lg2=2×0.85−2×−0.3=559≈6.1，
即按（i）中求得的函数模型变化，估计最快到2027年，
该视频号运营团队能被评为“优秀文化传播集体”.
8．(1)−1,1
(2)3π4
(3)当a∈−1,1时，n=1011；当a=±1时，n=1348；当a∈−∞,−1∪1,+∞时，n=2022.
【分析】（1）求出函数y=gx的解析式，即可得出在x∈0,π2上的值域；
（2）化简函数y=gx，通过对应图像即可得出gx1≤gx≤gx2恒成立，求x1−x2的最小值；
（3）化简函数y=gx，设t=sinx将y=gx转化为二次函数，将零点问题转化为图像与x轴的交点问题，通过讨论二次函数的周期性，即可得出在0,nπn∈N∗内恰有2022个零点，所有满足条件的a与n．
【详解】（1）由题意，
在fx=sinx+csx中，fx+π2=sinx+π2+csx+π2=csx−sinx，
在gx=fx⋅fx+π2中，
gx=fx⋅fx+π2=sinx+csxcsx−sinx=sinxcsx−sinxcsx−sinxsinx+csxcsx，
当x∈0,π2时，gx=sinxcsx−sinxcsx−sinxsinx+csxcsx=cs2x−sin2x=cs2x∈−1,1，
∴y=gx的值域为：−1,1.
（2）由题意及（1）得，x∈R
在gx=sinxcsx−sinxcsx−sinxsinx+csxcsx中，
①当x∈2kπ,2kπ+π2k∈Z即sinx>0,csx>0，
gx=sin2x−cs2x=−cs2x，
函数在定义域上单调递减
gxmin=g2kπ+π2=−1，gxmax=g2kπ=1，
②当x∈2kπ+π2,2kπ+πk∈Z即sinx>0,csx