苏科版2025年新八年级数学暑假衔接讲义第3部分-测试-新八年级暑期素养测评卷(学生版+解析)

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一、选择题（8×2=16）
1．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查轴对称图形，掌握轴对称图形的定义：如果一个图形沿某一条直线对折,对折后的两部分是完全重合的,那么就称这样的图形为轴对称图形是解题的关键．
【详解】解：A.不是轴对称图形；
B.不是轴对称图形；
C.是轴对称图形；
D.不是轴对称图形；
故选C．
2．下列各数： ，3.14，，中，无理数有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】本题考查了无理数，解题的关键是掌握无理数的定义以及常见形式．
根据无理数的定义：无限不循环小数，判断即可．
【详解】解：，
∴无理数是，共1个．
故选：A
3．下列线段能组成直角三角形的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，判断线段能否组成直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．根据勾股定理的逆定理进行判断．
【详解】A、 ，
不能构成直角三角形，故本选项错误；
B、，
不能构成直角三角形，故本选项错误；
C、，
不能构成直角三角形，故本选项错误；
D、，
能构成直角三角形，故本选项正确；
故选：D
4．小轩用如图所示的方法测量小河的宽度．他利用适当的工具，使，点在同一直线上，就能保证，从而可通过测量的长度得知小河的宽度．在这个问题中，可作为证明的依据的是（ ）
A．SAS或SSSB．AAS或SSS
C．ASA或AASD．ASA或SAS
【答案】C
【分析】本题主要考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法求解即可．
【详解】根据题意可知．
∵，
∴，．
方法一：
在和中
∴．
方法二：
在和中
∴．
故选：C
5．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查勾股定理的证明，先用不同方法表示出图形中各个部分的面积，利用面积不变得到等式，变形再判断即可．
【详解】解：A．大正方形的面积等于四个矩形的面积的和，
∴，
以上公式为完全平方公式，
∴A选项不能说明勾股定理，符合题意；
B．由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，
∴，
整理得，
∴B选项可以证明勾股定理，不符合题意；
C．大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
∴，
整理得，
∴C选项可以证明勾股定理，不符合题意；
D，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
∴，
整理得，
∴D选项可以说明勾股定理，不符合题意．
故选：A．
6．设的小数部分为b，那么b的值是（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查了估算无理数的大小．根据算术平方根的定义得到，即可求出b的值．
【详解】解：∵，
∴，
∴的整数部分为2，小数部分为，
故选：B．
7．如图，在中，，点在边上，，交于点．若点是边的中点，，，则四边形的面积等于（ ）

A．12B．14C．24D．48
【答案】C
【分析】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识．由，，，求得，由，得，而，，即可根据“”证明，则，即可推导出，于是得到问题的答案．
【详解】解：，，，
，
∵，
，
点是边的中点，
，
在和中，
，
，
，
∴，
故选：C．
8．如图，是等边三角形，以为边向外作等边三角形，点E，F分别在，上，且，连接，两直线相交于点G，连接，下列结论：①，②，③，④， ⑤．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．根据等边三角形的性质及全等三角形的判定可判断①；再由全等三角形的判定和性质及等边三角形的性质、三角形外角的性质即可判断②；延长到M，使，连接．继续利用等边三角形及全等三角形的判定和性质即可判断③④；再由等边三角形及三角形面积即可判断⑤．
【详解】解：∵是等边三角形，以为边向外作等边三角形，
∴，即与最长边不相等，
∴与不全等，故①错误；
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，选项②正确；

延长到点M，使，连接．
由②知，，
∴，
∵．
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，故④正确；
∴，故③正确；
根据条件无法证明，故⑤错误，
正确的有②③④，共3个，
故选：C．
二、填空题（8×2=16分）
9．若一个数的立方根就是它本身，则这个数是 ．
【答案】或或
【分析】本题考查立方根的概念和性质，熟练掌握立方根的性质是解题的关键．
【详解】立方根是它本身的数有个，分别是或或
故答案为：或或
10．如图，点E、F在上，，，相交于点G，请添加一个条件 使得．

【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了全等三角形的判定，利用即可求解，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
【详解】解：在和中，
，
，
故答案为：（答案不唯一）．
11．如图，中，垂直平分，交于，交于，连结．若，则的长为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得出，根据即可求解．解题关键是掌握线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
故答案为：3．
12．如图，在中，，平分，，则点D到边的距离是 ．

【答案】4
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等是解题的关键．过点D作于点E，根据角平分线的性质定理，即可求解．
【详解】解：过点D作于点E，

∵，平分，，
∴，
即点D到边的距离是4，
故答案为：4．
13．如图，在中，，，点为上一点，连接．过点作于点，过点作交的延长线于点．若，，则的长度为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，先证明，根据全等三角形的性质可得，，进一步可得的长．
【详解】，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
∴，
，，
，，
，，
，
故答案为：．
14．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是52，每个直角三角形的长直角边与短直角边的比是，则小正方形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理，设直角三角形的长直角边与短直角边的长为，，根据勾股定理得到，解方程求出x的值，然后计算小正方形的面积即可．
【详解】解：设直角三角形的长直角边与短直角边的长为，，
则，
解得：或（舍去）
∴小正方形的面积为，
故答案为：．
15．如图，已知长方形中，，P是边上的点，将沿折叠，使点A落在点E上，与分别交于点O、F，且，则 ．
【答案】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理的运用，关键在于折叠所对应的边角相等,利用方程的思想解题．根据题意证明，再设出未知数,利用勾股定理列出方程解出即可．
【详解】解：∵四边形是长方形，
∴，
由折叠的性质得：，
在和中，
，
∴
∴，
∴，
设，则
∴，
在中，，即
解得：．
故答案为：．
16．如图，在中，，，，以为边向左作等边，点为中点，连接，点分别为上的动点．求的最小值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的性质，直角三角形的性质，垂直平分线的性质．根据题意，连接，先证，，故，由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值．
【详解】解：如图，连接，
∵在中，，点为中点，
∴
∵
∴
∴是等边三角形
是等边三角形
，
垂直平分
同理可得：垂直平分
由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值，
故的最小值为4．
故答案为：4．
三、解答题（共64分）
17．计算：
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．先计算负整数指数幂、立方根、绝对值、零指数幂，再进行加减计算即可．
【详解】解：
18．求下列各式中实数x的值：
(1)
(2)
【答案】(1)或
(2)
【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程：
（1）利用平方根解方程即可；
（2）利用立方根解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴或；
（2），
∴，
∴，
∴．
19．已知：如图，．问：与全等吗？请说明理由．
【答案】与全等，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
由题意知，．证明即可．
【详解】解：与全等．理由如下；
∵，
∴，即．
∵，，
∴．
20．已知，点A，B，C都是格点，用无刻度直尺画图：
(1)作的中线；
(2)作的高；
(3)在上作点E，使；
(4)点F为与网格线的交点，在上作点D，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据三角形的中线的定义，利用数形结合的思想作出中线即可；
（2）取格点，，，得到，据此即可作出高；
（3）取格点，连接交于点，点即为所求（构造等腰直角三角形解决问题）；
（4）观察图形知，取格点，连接交于点，点即为所求（构造等腰直角三角形解决问题）．
【详解】（1）解：如图，线段，即为所求；
（2）解：如图，线段，即为所求；
（3）解：如图，点即为所求；
（4）解：如图，点即为所求，

21．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节，某校八年级（1）班的小明学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图1），进行了如下操作：
①牵线放风筝的小明手抓线的地方与地面的距离为1.5米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；
③测得小明手抓线的地方与风筝的水平距离的长为8米．
(1)求风筝的垂直高度；
(2)如图2，小明想让风筝沿方向下降9米到点M处，则他应该往回收线多少米？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查勾股定理的实际应用（1）利用勾股定理求得的值，再利用求解即可；
（2）根据勾股定理求得的值，再利用求解即可．
【详解】（1）解：在中，，，
∴，
∵，
∴，
答：风筝的垂直高度为；
（2）解：由题意得，，
∴，
在中，，
∴，
答：他应该往回收线．
22．数学张老师在课堂上提出一个问题：通过探究知道：…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答：
(1)的整数部分是________．
(2)a为的小数部分，b为的整数部分，求的值．
(3)已知，为的整数部分，y为的小数部分，求的值
【答案】(1)3
(2)
(3)17
【分析】此题主要考查无理数的估算及求代数式的值，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．
（1）根据无理数的估算方法求解即可；
（2）根据题意得出，，然后代入求解即可；
（3）根据题意得出，，然后代入计算即可．
【详解】（1）解：∵
∴
∴，
∴的整数部分是
（2）∵a为的小数部分，b为的整数部分，
，，
∴
；
（3），其中是一个正整数，，
，，
．
23．上海教育出版社七年级第二学期《练习部分》第60页习题14.6（2）第5题及参考答案．
小华在完成了以上解答后，对分割三角形的问题产生了兴趣，并提出了以下三个问题，请你解答：
【问题1】
如图1，中，，请设计一个方案把分割成两个小三角形，其中一个小三角形三个内角的度数与原三角形的三个内角的度数分别相等，另一个小三角形是等腰三角形．请直接画出示意图并标出等腰三角形顶角的度数（示意图画在答题卡上）；

【问题2】
如果有一个内角为的三角形被分割成两个小三角形，其中一个小三角形三个内角的度数与原三角形三个内角的度数分别相等，另一个小三角形是等腰三角形，那么原三角形最大内角的度数所有可能的值为______；
【问题3】
如图2，在中，，在中，，分别用一条直线分割这两个三角形，使分割成的两个小三角形三个内角的度数与分割成的两个小三角形三个内角的度数分别相等，请设计两种不同的分割方案，直接画出示意图并标出相应的角的度数（示意图画在答题卡上）．

【答案】(1)顶角，见解析(2) (3)见解析
【分析】(问题1)作的平分线，交于点D，则，，此时，是等腰三角形，此时顶角．
(问题2)根据(1)作较大内角的平分线，交于点D，则，此时，是等腰三角形．当最大解答即可．
(问题3)根据题意，利用构造角的平分线，构造等角等方法，解答即可．
【详解】(问题1)如图，作的平分线，交于点D，则，，此时，是等腰三角形，此时顶角．

(问题2) 根据(1)作较大内角的平分线，交于点D，则，此时，是等腰三角形．当，
最大，
故答案为：；
(问题3)根据题意，设计如下：
方案1：作的平分线，交于点M，根据题意，得，；
作，交于点N，根据题意，得，．

方案2：作，交于点Q，根据题意，得，；

作，交于点O，根据题意，得，．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角的平分线的作图，作一个角等于定角，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，角的平分线的作图，作一个角等于定角是解题的关键．
24．【阅读理解】
定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”．
【迁移运用】

(1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点 F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是 ；
(2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是 ；
(3)若是的“边垂角”，且．
①如图2，已知，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且 ，，求证：；
对于上述问题，小明有这样的想法：在上截取，连接，如图3．你明白小明的做法吗？接下来请你求证．
②如图4，若，直接写出四边形ABDC的面积．
【答案】(1)
(2)或
(3)①见解析；②
【分析】（1）根据“边垂角”的定义即可得到答案；
（2）分两种情况画出图形，根据四边形的内角和定理以及等角的余角相等即可得出结论；
（3）①延长交于点，先证明，再证明，依据题意得出，即可得到结论；
②连接，过点作与延长交于点，根据等腰三角形性质证明即可得到答案．
【详解】（1）解：根据“边垂角”的定义，的“边垂角”是；
（2）解：若是的“边垂角”，分两种情况
①如图，是的“边垂角”，
，
，
，
，

②如图，
是的“边垂角”，
，
，
，
，

综上所述，与的数量关系是或；
（3）解：①延长交于点，
是的“边垂角”，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点关于直线对称点为点，
，
，
；

②连接，过点作与延长交于点，
是的“边垂角”，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
过点作于点，
，
，
．

【点睛】本题主要考查新定义，四边形的内角和定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练理解“边垂角”的定义是解题的关键．
25．小普同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”，关于“布洛卡点”有很多重要的结论．小普同学对“布洛卡点”也很感兴趣，决定利用学过的知识和方法研究“布洛卡点”在一些特殊三角形中的性质．让我们尝试与小普同学一起来研究，完成以下问题的解答或有关的填空．
【阅读定义】如图1，内有一点P，满足，那么点P称为的“布洛卡点”，其中、、被称为“布洛卡角”．如图2，当时，点Q也是的“布洛卡点”．一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”．
【解决问题】（说明：说理过程可以不写理由）
问题1：等边三角形的“布洛卡点”有 个，“布洛卡角”的度数为 度；
问题2：在等腰三角形中，已知，点M是的一个“布洛卡点”，是“布洛卡角”．
（1）与的底角有怎样的数量关系？请在图3中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说理．
（2）当（如图4所示），时，求点C到直线的距离．
【答案】问题1：1，30；问题2：（1），（2），
【分析】问题1：根据等边三角形的性质和“布洛卡点”的定义即可知其“布洛卡点”个数和角度；
问题2：（1）根据等腰三角形的性质可得，结合题意可知，则有，利用三角形内角和定理可得，即可得到；
（2）过C点作与D，根据可得，且，由题意得，求得，，则有和，，继而证明，则有和，即可得到，可得点C到直线的距离．
【详解】解：问题1：
由题意知三角形中有两个“布洛卡点”，
∵等边三角形每个角为，
∴两个“布洛卡点”重合为一个，且每个角为，
故答案为：1，30．
问题2：（1），理由如下：
∵，
∴，
∵M是的“布洛卡点”，是“布洛卡角”，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴，
∵，
∴，
（2）过C点作与D，如图，
则，
∵，
∴，
∵，
∴
，
，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查新定义下的三角形角度理解，涉及等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质和三角形内角的应用，解得的关键是对新定义的理解，以及角度之间的转化．

5．过下面三角形的一个顶点画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形：
参考答案：