苏科版2025年新八年级数学暑假衔接讲义第2部分-预习-第10讲勾股定理(学生版+解析)

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1.如图，若将每个小正方形的面积看作1，以B′C′为边的正方形的面积是9，以A′C′为边的正方形的面积是16，那以A′B′的面积为多少呢？
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2.如图一，使用的方法是？如图二，使用的方法是？
图一的方法是拼补法；图二是分割法。
图二
图一
图一
3.上图求完后，可以发现三个正方形的面积关系是？
两个小正方形的面积相加=大正方形的面积
而由于正方形的面积公式为边长²，所以可以得出 ²+ ²= ²。
因此，直角三角形的斜边、直角边有如下关系：
直角三角形两个 的平方和等于 的平方，这个定理称为 。也称为 。在古代我们把较短的直角边称为“ ”，较长的直角边称为“ ”，斜边称为“ ”。因此有了 的结论。
几何语言：∵∠C=90°∴a²+b²=c²
注：在使用勾股定理的时候，可以灵活运用公式，，，
4.勾股定理的证明
图一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．
证明： ，所以．
证明名称：
图二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．
证明： ，所以．

证明名称：
图三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．

证明： ，所以．
证明名称：
图四：如图（4）所示
证明：证▲ACI≌▲ADB，由同底等高可以得出
，由，得出
同理可得，，所以AB²+BC²=AC²
（4）
证明名称：
考点一：用勾股定理求解三角形
例1．已知直角三角形的两直角边长为3和4，则这个直角三角形的斜边长为（ ）
A．5B．7C．10D．12
【变式1-1】在中，，，，则正方形的面积为（ ）
A．81B．144C．225D．169
【变式1-2】如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，再以点为圆心，为半径画弧，交于点，则的长为 ．
【变式1-3】在中，，，，求．
考点二：用勾股定理求图形面积
例2．如图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每个正方形中的数字及字母表示所在正方形的面积，其中的值为（ ）
A．6B．5C．8D．7
【变式2-1】如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形的面积依次为，则正方形的面积为（ ）
A．4B．6C．8D．12
【变式2-2】如图，在中，．若，则正方形和正方形的面积差为 ．
【变式2-3】如图，在△ABC中，，于点D，，，．请求出△ABC的面积和CD的长．
考点三：勾股定理的证明方法
例3. 下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现了数形结合的思想．下列选项中的图形，不能证明勾股定理得是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】到目前为止，勾股定理的证明已超过 种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，两个直角三角形如图摆放，已知，点F落在上，点C与点E重合，斜边与斜边交于点M，连接，，若，，则四边形的面积为 ．
【变式3-3】课本再现：（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理，请证明：．
类比迁移（2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，求空白部分的面积．
考点四：赵爽弦图
例4．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若大正方形的面积为16，小正方形的面积是3，则是（ ）
A．19B．13C．42D．29
【变式4-1】用四个全等的直角三角形围成一个如图1大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国三国时期赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现用如图2的两种直角三角形各两个围成一个如图3的四边形，若知道图3中阴影部分的面积，则一定能求出图3中（ ）
A．四边形的面积B．四边形的面积
C．的面积D．的面积
【变式4-2】如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ．
【变式4-3】现有个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为，斜边长为，将它们拼合为如图的形状．
(1)添加如图辅助线，根据该图，可以用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，通过面积相等，从而证明勾股定理，请你将下面的证明过程补充完整：
整个组合图形面积表示，方法一：以为边的正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为______；方法二：以和为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为______；根据面积相等，直接得等式______，化简最后结果是______，从而证明勾股定理．
(2)当，时，求空白部分的面积．
考点五：用勾股定理证明线段平方关系
例5．如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（ ）

① ②
③ ④
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式5-1】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ）

A．B．C．D．
【变式5-2】如图，在直线l上依次摆放着7个正方形，斜放置的三个正方形的面积分别是4，6，8，正放置的四个正方形的面积分别是，则 ．
【变式5-3】如图，是等腰直角三角形，，求证：．
1．某城市中有如图所示的公路，它们互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，的长为，则两点间的距离为（ ）
A．B．C．D．
2．探究勾股定理的思路是：先从等腰直角三角形入手，发现等腰直角三角形三边有特殊数量关系“两直角边的平方和等于斜边的平方”，再探究一般的直角三角形是否也具有这样的性质．从等腰直角三角形到一般直角三角形的研究过程中主要体现的数学思想是（ ）
A．从特殊到一般思想B．从一般到特殊思想
C．方程思想D．归纳思想
3．如图是第七届国际数学教育大会会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形．若，，则的值为（ ）

A．B．C．D．
4．如图，在中，，把沿直线向右平移个单位长度得到，则四边形的周长为（ ）

A．20B．19C．18D．17
5．如图，在中，，于，若，，则（ ）
A．B．C．D．5
6．如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则的周长是（ ）
A．12B．13C．14D．15
7．如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论：① ；② ；③ 过点B作于点I，延长B交于点J，则．④ 若，则．其中正确的结论个数是( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．主要内容为“将一个几何圈形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”．如图，在等腰中，，，点D为边上一动点，过D作，，则根据出入相补原理，我们可发现，一定为定值，则（ ）
A．B．C．D．
9．如图，正方形的边长分别为直角三角形的三边长，若正方形的边长分别为4和8，则正方形的面积为 ．
10．如图所示，是一块由花园小道围成的边长为12米的正方形绿地，在离处5米的绿地旁边处有健身器材，为保护绿地，不直接穿过绿地从到，而是沿小道从，这样多走了 米．
11．如图，在中，，分别以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示．若，，则的值是 ．
12．如图是一张直角三角形纸片，两直角边，将折叠，顶点与点重合，折痕为，则的长为 ．

13．在中，，，，分别是，，的对边，若，则的面积为 ．
14．如图，在中，，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，再用尺规作图作出于点E，则的长为 ．
15．如图，直线，垂足为，线段，以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点．求的长．
16．如图，在中，，，，于．求：

(1)的长和的面积；
(2)的长．
17．把一张长方形的纸片沿对角线折叠，折叠后，边的对应边交于．
(1)求证：长方形各内角均为；
(2)若，，求的长．
18．如图，分别以，，，为边长作正方形，已知且满足，．
（1）若，，则图阴影部分的面积是 ；
（2）若图阴影部分的面积为，图四边形的面积为，则图阴影部分的面积是 ．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．经历探索勾股定理的过程，发展合情推理的能力，体会数形结合的思想；
2．能应用勾股定理求直角三角形中未知边的长；
3. 能应用已有的数学知识验证勾股定理。