苏科版2025年新八年级数学暑假衔接讲义第1部分-复习-专题06证明(学生版+解析)

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【考点1：】定义与命题
【考点2：】证明
【考点3：】互逆命题
一、定义与命题
命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．其中命题的题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以，即只需列出一个具备条件而不具备结论的例子即可.要说明一个真命题，则要从命题的条件出发，根据已学过的基本事实、定义、性质和定理等，进行有理有据的推理,证明它的正确性.
二、证明
证明过程必须做到言必有据.证明过程通常包含几个推理，每个推理都应包括因、果和有因得果的依据.其中，“因”是已知事项，“果”是推出的结论；“有因得果的依据”是基本事实、定义、已学过的定理以及等式性质、不等式性质.
证明的步骤：
1.根据题意，画出图形；
2.根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证；
3.写出证明过程.
推理和证明是有区别的，推理是证明的组成部分，一个证明过程往往包含多个推理.
三、三角形的内角和定理及其推论
三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°.
推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和.
(1)三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
(2)三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
(3)三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（4）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（5）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
四、互逆命题
每一个命题都有对应的逆命题，一个真命题的逆命题不一定是真命题，同样一个假命题的逆命题也不一定仍为假命题.
反例就是复合命题的条件，但不符合命题的结论的例子，它可以是数值、图形，也可以是文字说明.一个命题的反例可以有很多个，解题时只需要举出其中最易懂的一个即可.

考点剖析
【考点1：】定义与命题
1．下列命题中：①有理数和数轴上的点一一对应；②有公共点的两个角是对顶角；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④两个无理数的和一定是无理数；⑤任何一个数都有平方根和立方根．其中真命题的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．下列命题中，真命题的个数有（ ）
A．从直线外一点向直线引垂线，这条垂线段就是这个点到这条直线的距离
B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D．实数与数轴上的点是一一对应的
3．命题“在同一平面内，如果，那么”是一个 （填“真”或“假”）命题．
4．在同一平面内，有三条直线a，b，c，下列说法：①若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；②若，，则；③若，，则．其中正确命题是 ．（填序号）
5．请指出下列命题的条件和结论，并判断它们的真假．
(1)如果两个角是直角，那么这两个角相等；
(2)绝对值相等的两个数相等；
(3)两个钝角的和一定大于．
6．命题：绝对值相等的两个数相等．
(1)请将上述命题改写成“如果……，那么……”，并指出这个命题的条件与结论；
(2)判断这个命题是真命题还是假命题．

【考点2：】证明
1．在第届全国中学生物理竞赛决赛中，华师一物理竞赛团队有位同学获金牌，并全部进入国家集训队．五位同学猜谁是第一名，说：是，说：是，说：是，说：说错了，说：不是我．教练说：你们中只有一人说对了，那么第一名是（ ）
A．BB．CC．DD．E
2．下列选项中，能说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ）
A．B．C．D．
3．把命题“等边对等角”改写为“如果…，那么…”的形式为： ．
4．用反证法证明“如果，那么．”是真命题时，第一步应先假设 ．
5．命题：直角三角形的两锐角互余．

(1)将此命题写成“如果…，那么…”：______；
(2)请判断此命题的真假．若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明过程．
6．如图，有如下四个论断：①；②；③平分；④平分，请你选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，构成一个正确的数学命题并证明它．
【考点3：】互逆命题
1．下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．对顶角相等B．两直线平行，同位角相等
C．若，则D．若，则
2．已知命题“正方形的四条边均相等”，则下列说法不正确的是（ ）
A．该命题的题设是正方形B．该命题是真命题
C．其逆命题的题设是四边形的四条边相等D．其逆命题是真命题
3．命题“等边三角形是锐角三角形”的逆命题是 ，该逆命题是 命题．（填“真”或“假”）
4．下列命题中，其逆命题成立的是 （填序号）
①同旁内角互补，两直线平行；
②如果三角形的三边长a，b，c（c为最长边）且满足，那么这个三角形是直角三角形．
③如果两个角是直角，那么它们相等；
④如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
5．写出下列命题“若p，则q”的形式，写出它的逆命题并判断它们的真假．
(1)全等三角形的对应边相等；
(2)互为相反数的两个数的和为零．
6．已知命题“如果，那么．”
(1)写出此命题的条件和结论；
(2)写出此命题的逆命题；
(3)判断此命题的逆命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明．
过关检测
1．下列命题中，真命题的个数是（ ）
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
④两直线平行，同位角相等．
A．4B．3C．2D．1
2．为说明命题“若，则”是假命题，所列举反例正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列命题中，说法正确的个数有（ ）
①等角的补角相等；
②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③相等的角是对顶角；
④两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
⑤过直线外一点作这条直线的垂线段，则这条垂线段叫做这个点到这条直线的距离．
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．下列命题中是真命题的有（ ）．
①如果，，则；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直；
④过一点画已知直线的垂线可以画而且只能画一条；
⑤有理数和数轴上的点一一对应．
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．有下列命题：①点到直线的距离是这一点到直线的垂线段；②两条直线被第三条直线所截，同旁内角相等；③在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直；④对顶角相等；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中，真命题有（ ）
A．个B．个C．个D．个
6．有下列四个命题：一条直线的垂线只有一条；在同一平面内，从一点到某直线的垂线段叫这点到这条直线的距离；如果两条直线垂直，那么他们相交成的四个角都相等；在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．其中假命题的个数是（ ）
A．个B．个C．个D．个
7．“内错角相等”是 命题．（填“真”、“假”）
8．“如果a是无理数，b是无理数，那么a与b之积仍是无理数”是 （填“真”或“假”）命题．
9．将命题“互补的两个角是邻补角”改写成“如果那么”的形式： ，
这是一个 ．
10．“如果，则”是 （填写“真命题”或“假命题”）
11．已知命题“如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对同位角的平分线互相平行”．
(1)如图为符合该命题的示意图，请你把该命题用几何符号语言补充完整：
已知：______，、分别平分______和______，则_______．
(2)试判断这个命题的真假，并说明理由．
12．如图，①，②平分，③，④平分．
(1)若以②③④为条件，①为结论组成一个命题，则这个命题是_______（“真”或“假”）命题；
(2)证明（1）中的结论．
13．【阅读理解】
如果把一个命题（记作）的题设和结论交换位置，得到另一个命题（记作），那么这两个命题叫做互逆命题，其中命题称为原命题，命题称为原命题的逆命题．
例如：原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”．
【解决问题】
给出命题“如果，那么．”
(1)写出命题的题设和结论，及逆命题．
(2)判断命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明．