苏科版2025年新八年级数学暑假衔接讲义第1部分-复习-专题04二元一次方程组(学生版+解析)

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【考点1： 】 二元一次方程 【考点2：】二元一次方程组
【考点3： 】 解二元一次方程组 【考点4：】三元一次方程组
【考点5： 】 用二元一次方程组解决问题
二元一次方程
二元一次方程满足的三个条件：
（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.
（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.
（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.
二元一次方程的解：
(1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来，如：．
(2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．
二、二元一次方程组
组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例 也是二元一次方程组
三、解二元一次方程组
形式：
（1）二元一次方程组的解是一组数对，必须同时满足方程组中每一个方程一般写成的形式．
(2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个．
消元：
1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.
2.消元的基本思路：未知数由多变少.
3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.
代入：
(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为：用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．
(2)代入消元法的技巧是：
①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；
②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形较简便；
③若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数绝对值较小的方程变形比较简便．
加减：
(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；
(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．
四、三元一次方程组
方法：
（1）观察方程组中未知数的系数特点，确定先消去哪个未知数；
（2）利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程，与另外两个方程分别组成两组，消去同一个未知数，得到一个关于另外两个未知数的二元一次方程组；
（3）解这个二元一次方程组，求得两个未知数得值；
（4）将这两个未知数得值代入原方程组中较简单得一个方程中，求出第三个未知数得值，从而得到原三元一次方程组得解。
五、二元一次方程解决问题
1、年龄问题
（1）两个人的年龄差是不变的；
（2）两个人的年龄是同时增加或者同时减少的
（3）两个人的年龄的倍数是发生变化的。
常用的计算公式是：
成倍时小的年龄=大小年龄之差÷(倍数-1)
几年前的年龄=小的现年-成倍数时小的年龄
几年后的年龄=成倍时小的年龄-小的现在年
2、古文问题
只需看译文后即可，节约时间
3、倍分问题
增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量 总量＝倍数×倍量
4、几何问题
用未知数表示长与宽，用面积与周长构造等量关系
5、方案问题
在解决问题时，常常需合理安排．需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案．
方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案．
6、行程问题
速度×时间=路程.
顺水速度=静水速度+水流速度
逆水速度=静水速度-水流速度
7、工程问题
工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量，设工作总量为“1”。
8、利润问题
商品利润＝商品售价－商品进价
9、数字问题
已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．
10、解决应用题方法与步骤
1.列方程组解应用题的基本思路

2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤
设：用两个字母表示问题中的两个未知数；
列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；
解：解方程组，求出未知数的值；
验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；
答：写出答案．
要点诠释：
（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.

考点剖析
【考点1：】 二元一次方程
1．下列是二元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知是二元一次方程的解，则的值为（ ）
A．11B．5C．D．
3．二元一次方程的非负整数解有 组．
4．若是二元一次方程的一组解，则的值为 ．
5．如果是关于x、y的二元一次方程，求m的值．
6．对于二元一次方程（其中a，b是常数，x，y是未知数）当时，x的值称为二元一次方程的“完美值”，例如：当时，二元一次方程化为，其“完美值”为．
(1)求二元一次方程的“完美值”；
(2)是二元一次方程的“完美值”，求m的值；
(3)是否存在n，使得二元一次方程与（n是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出n的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由．

【考点2：】 二元一次方程组
1．已知二元一次方程组的解是，则☆表示的方程可能是（ ）
A．B．C．D．
2．关于x、y的方程组的解是，则的值是（ ）．
A．4B．9C．5D．11
3．若关于、的二元一次方程组的解是，则关于、的二元一次方程组的解是 .
4．小刚解出了方程组，解为，因不小心滴上了两滴墨水，刚好盖住了方程组中的一个数和解中的一个数，则 ．
5．解方程组时，小明本应该解出，由于看错了系数c，从而得到解，试求出的值
6．关于，的二元一次方程组，，是常数），，．
(1)当时，求c的值；
(2)若a是正整数，求证：仅当时，该方程有正整数解．
【考点3：】 解二元一次方程组
1．方程，用含y的代数式表示x为（ ）
A．B．C．D．
2．关于x．y的方程组的解为，则方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
3．若关于x， y的方程组 的解满足， 则的值为 ．
4．已知关于，的方程组的解的和是，则 ．
5．解方程组：
(1)
(2)
6．阅读探索：
知识累计：解方程组
解：设，，原方程组可变为，
解方程组得，即，解得，此种解方程组的方法叫换元法．
(1)拓展提高：运用上述方法解下列方程组：
(2)能力运用：已知关于，的方程组的解为，求出关于，的方程组的解．
【考点4：】 三元一次方程组
1．如图，两个天平都平衡，则与1个“●”质量相等的“□”的个数为（ ）

A．4B．3C．2D．1
2．三元一次方程组消去一个未知数后，所得二元一次方程组是（ ）
A．B．C．D．
3．已知、、是三个非负实数，满足，，若，则的最大值与最小值的差为 ．
4．利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度等于 ．
5．解方程组：．
6．有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得，这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．解决问题：
(1)已知二元一次方程组则______，______．
(2)某班级组织活动购买小奖品，买13支铅笔、5块橡皮、2本日记本共需31元，买25支铅笔、9块橡皮、3本日记本共需55元，则购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需多少元？
【考点5：】 用二元一次方程组解决问题
1．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺．下列符合题意的方程组是（ ）
A．B．C．D．
2．某班去看演出，甲种票每张25元，乙种票每张15元，如果38名学生购票恰好用去750元，设买了x张甲种票，y张乙种票，则所列方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有35张铁皮，则用 张铁皮做盒身， 张铁皮做盒底，恰巧配套．
4．某元宵生产商家受原料保质期影响，在购买元宵主要原料糯米粉和黄油时分三次购买，每次购买价格不变，购进原料价格和数量如下表所示：
若第三次购进糯米粉20千克，黄油5千克，则第三次购买的总金额为 元．
5．长郡开福中学在今年3月29日组织了一场有声有色的“爱心义卖”活动．在这次活动中，学生会组织的“衫衫来了，爱心义卖”成为活动焦点.活动前一个月左右学生会购进黑白两种纯色文化衫共200件，组织学校美术爱好者进行手绘设计，计划设计好后全部在义卖活动中售出（颜料由学校提供，不计入成本），预计获利3360元．
已知每种文化衫的成本和售价如下表：
(1)他们购进两种文化衫各多少件？
(2)由于活动时间有限，白色文化衫按原价售出后，剩余的七五折销售，黑色文化衫原价售出55件后，剩余的八折销售，最后全部卖出．他们将实际获利全部捐赠，求他们在这次“爱心义卖”活动中实际捐款多少元？
6．甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司人均捐款120元，乙公司人均捐款100元，如图是甲、乙两公司员工的一段对话．
(1)甲、乙两公司各有多少人？
(2)甲、乙两公司共捐款多少元？
(3)在第（2）问的情况下，现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买、两种防疫物资，种防疫物资每箱1500元，种防疫物资每箱1200元．若购买种防疫物资不少于20箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注、两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）．
过关检测
1．若关于x、y的方程的一组解是，则a的值为（ ）
A．B．C．D．
2．用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．《九章算术》中记载“今有共买羊，人出五，不足三十五；人出七，余五，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差35钱；若每人出7钱，多余5钱，问合伙人数、羊价各是多少？此问题中羊价为（ ）
A．110钱B．80钱C．125钱D．135钱
4．如果方程组的解也是方程的解，那么m的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．若关于x、y的方程组与有相同的解，则的值为（ ）
A．2024B．C．1D．
6．若关于，的方程组（其中，是常数）的解为，则方程组的解为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则k的值为（ ）
A．B．C．1D．2
8．如图，四边形面积为，，，则的面积等于（ ）

A．B．C．D．
9．若关于，的方程组的解满足，则的值为 ．
10．二元一次方程的正整数解为 （写出一个即可）
11．已知关于x，y的方程组的解满足，则 ．
12．若对于有理数x和y，定义一种运算“”，，其中a、b、c为常数．已知，求5△4的值 ．
13．如图，在中，已知，点E，F分别在边上．将沿直线折叠，使点B落在点D处，向右平移若干单位长度后恰好能与边重合，连接．若，则的值为 ．

14．如图，在中，D是边的中点，E、F分别是边上的三等分点，连接分别交于G、H点，若的面积为90，则四边形的面积为 ．

15．解方程组
(1)；
(2)．
16．阅读：某同学在解方程组时，运用了换元法，方法如下：设，，则原方程组可变形为关于m，n的方程组，解这个方程组得到它的解为．由，，求得原方程组的解为．请利用换元法解方程组：．
17．某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表：
(1)采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，判断污渍盖住地方对应金额是 __元；
(2)若后勤部购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1750元；
①求牛奶与咖啡每箱分别为多少元？
②超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价采购的咖啡有 箱（直接写出答案）．
18．把形状、大小完全相同，长为y，宽为x的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m，宽为n，且）的盒子底部，有如下两种摆法（如图②③），盒子底部未被卡片覆盖的部分用阴影表示．
(1)图②中阴影部分的周长为______（用含m，n的式子表示）；
(2)图③中，若，请直接写出m，n的长（用含x，y的式子表示）；
(3)若图②中阴影部分的面积为480，，且，在（2）的条件下，求图③中的长．
第一次
第二次
糯米粉/千克
10
12
黄油/千克
2
3
总金额/元
310
405
白色文化衫
黑色文化衫
成本（元/件）
10
12
售价（元/件）
26
30
牛奶（箱
咖啡（箱
金额（元
方案一
20
10
1100
方案二
30
15
__________