苏科版2025年新八年级数学暑假衔接讲义第2部分-预习-第12讲平方根(学生版+解析)

这是一份苏科版2025年新八年级数学暑假衔接讲义第2部分-预习-第12讲平方根(学生版+解析)，文件包含苏科版2025年新八年级数学暑假衔接讲义第2部分-预习-第12讲平方根教师版docx、苏科版2025年新八年级数学暑假衔接讲义第2部分-预习-第12讲平方根学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共32页， 欢迎下载使用。

1.如图，网格边长为1，可以算出下面线段长度吗？
AB²=25
DF²=41
2.在初一的时候我们有学过无理数，我们用数轴来表示出正方形的斜边长度。
正方形的边长为1时，斜边为多少？
设斜边为a，所以a²=2，那a等于多少呢？
带着疑问，我们看下面题目：
当x²=4时，因为2²=4，（-2）²=4，所以x=±2；
当x²=100时，因为10²=100，（-10）²=100，所以x=±10；
当x²=169时，因为13²=169，（-13）²=169，所以x=±13；
因此，x²=a（a＞0）成立的数有两个，它们互为相反数。如果x²=a（a≥0），那么x叫做a的平方根，也称为二次方根。一个正数a的正的平方根，记作“ EQ \R(,a) ”，；正数a的负的平方根记作“－ EQ \R(,a) ”．这两个平方根合起来记作“± EQ \R(,a) ”，读作“正、负根号a”。
所以当a²=2时，a＝±，∵a为边长，为正数 ∴a=。
3.填写括号里面的正确数字
（ ）²＝9，（ ）²＝16，（ ）²＝ EQ \F(9,25) ；
（ ）²＝0，（ ）²＝－ EQ \F(4,9) ，（ ）²＝－4．
有什么发现？
正数有两个平方根，它们互为相反数
0只有一个平方根，它是0本身
负数没有平方根
求一个数的平方根的运算叫做开平方。
4.我们发现，一个正数的平方根有 2 个，它们互为 相反数 ，我们把正的平方根叫做这个正数的算术平方根。比如： 10 叫做100的算术平方根， 13 叫做169的算术平方根。
填写下面横线上面的内容。
（1） 叫做a的平方根，也称为 二次方根 。
（2）.一般地，正数a的正的平方根记作 ，负的平方根记作 ，
正数a的平方根记作，读作 正、负根号a 。
（3）一个正数有 2 个平方根，它们互为相反数；0的平方根 0； 负数没有平方根。
（4）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方；开平方运算与平方运算是互逆的运算.
（5） 的算术平方根为
5.填空
（1）= （2） （3）
（4） （5） （6）
因此，可以得到
a a (a≧0)= -a (a≦0)
同时具有双重非负性，即：（1）a≥0 （2）≥0
考点一：求一个数的平方根
例1．实数的平方根是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴实数的平方根是，
故选：C．
【变式1-1】16的平方根是（ ）
A．B．4C．D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①被开方数是非负数；②算术平方根本身是非负数．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．根据平方根的定义即可得解．
【详解】解：∵，
∴16的平方根是：．
故选：C．
【变式1-2】若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查平方根，先根据有理数的乘方将已知转化为，再根据平方根定义求解即可．解题的关键是掌握平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根（或二次方根）， 即如果，那么叫做的平方根．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式1-3】已知一个正数的两个平方根分别为和，且．
(1)求和的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)和的值分别为1和；
(2)
【分析】本题考查平方根，掌握平方根的定义和性质，是解题的关键．
（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，结合，进行求解即可；
（2）根据平方根的定义进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，
解得
和的值分别为1和；
（2）解：，
，
，
，
，
的平方根为
考点二：求一个数的算术平方根
例2．9的算术平方根是（ ）
A．3B．81C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，两个实数a、b若满足且a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可．
【详解】解：9的算术平方根是3，
故选：A．
【变式2-1】64的算术平方根是（ ）
A．B．C．8D．32
【答案】C
【分析】此题考查了算术平方根，如果一个正数x的平方等于a，那么x叫做a的算术平方根，据此解答即可.
【详解】解：∵
∴，
即64的算术平方根是8，
故选：C
【变式2-2】已知实数a，b满足，则的算术平方根是 ．
【答案】2
【分析】本题考查用加减法解二元一次方程组．将方程组中两方程相加即可得，再方程两边同除以3，进一步计算即可求解．
【详解】解：
由，得，
∴，
∴的算术平方根是
故答案为：2．
【变式2-3】已知正数x的平方根分别是和，且．
(1)求x的值；
(2)求的算术平方根．
【答案】(1)49
(2)3
【分析】本题主要考查了平方根与算术平方根，熟记定义与性质是解题的关键．
（1）根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，列出方程求得a的值，从而即可求得x的值；
（2）根据算术平方根的定义求得b，再根据算术平方根的定义进行计算即可．
【详解】（1）解：依题意得：，
解得：，
；
（2），
，
，
，
∴9的算术平方根为3．
考点三：平方根与算术平方根结合
例3. 一个正数的两个平方根分别是与，则的值为（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】A
【分析】本题考查了平方根，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，据此列式计算，即可作答．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是与，
∴，
解得，
故选：A．
【变式3-1】若，则的值为（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】C
【分析】本题考查了算术平方根的概念，根据算术平方根的概念即可求解，正确理解算术平方根的概念解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
故选：．
【变式3-2】一个正数的两个平方根是和，则这个正数是 ．
【答案】36
【分析】本题考查的是平方根的概念，根据题意得到，求出，进而求解即可．掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，
解得，
所以，
∴这个正数是36．
故答案为：36．
【变式3-3】已知正实数的两个平方根分别是和．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查了平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（1）先根据平方根的定义，得，再化简即可；
（2）根据平方根的定义，得，代入，再利用平方根的定义解方程即可．
【详解】（1）解：正实数的两个平方根分别是和，
，
，
若，则；
（2）解：正实数的两个平方根分别是和，
，
，
，即，
，
是正实数，即，
．
考点四：利用平方根解方程
例4．若，则x的值为（ ）
A．3B．C．D．81
【答案】C
【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程，先把常数项移到方程右边，再根据求平方根的方法解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：C．
【变式4-1】已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了根据平方根的定义解方程，先移项，然后根据平方根的定义，解方程，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∴，
解得：，
故选：D．
【变式4-2】若与互为倒数， ．
【答案】
【分析】考查了倒数、平方差公式及解方程，解题的关键是根据互为倒数的两个数的乘积为1列出方程．根据倒数定义列出方程并解方程即可解决．
【详解】解：若与互为倒数，
，
，
，
故答案为：．
【变式4-3】求下列各式中的值．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)或
(3)
(4)或
【分析】本题考查了平方根解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先系数化1，再开平方根，即可作答．
（2）开平方根，然后再移项运算，即可作答．
（3）先系数化1，再开平方根，即可作答．
（4）先系数化1，再开平方根，移项运算，即可作答．
【详解】（1）解：
解得
（2）解：
解得或；
（3）解：
解得
（4）解：
解得或．
考点五：估算算术平方根
例5．估计18的算术平方根介于（ ）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
【答案】D
【分析】本题考查了估算无理数的大小，利用了算术平方根与被开方数的关系．
根据算术平方根越大被开方数越大，可得答案．
【详解】解：由，得，
即，
故选：D．
【变式5-1】估计的值应在（ ）
A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间
【答案】C
【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，利用算术平方根的性质可得．
【详解】解：，
，
故选：C．
【变式5-2】写出一个比大且比小的整数 ．
【答案】答案不唯一，如：1
【分析】先对进行估值，在找出范围中的整数即可．
【详解】解：∵1