苏科版2025年新八年级数学暑假衔接讲义第2部分-预习-第13讲立方根与近似数(学生版+解析)

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1.如图，棱长为1时，正方体的体积为1，
那体积为2的棱长等于多少？
设棱长为x，x³=2
x
1
一般地，如果x³=a，那么x叫做a的立方根，a的立方很记作，读作三次根号a。和平方根相似的地方是求一个数的立方很的运算叫做开立方。
2.计算
（1）若，则 ；
（2）若，则 ；
（3）若，则 ；、
（4）若，则= ；
因此，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
3.立方根的性质
4.平方根和立方根小数点平移
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.
被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.
例如，，，，.
5.近似数
取一个数的近似值有多种方法，四舍五入是最常用的一种方法。用四舍五入法取一个数的近似数时，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。
6.例如，圆周率=3.1415926…
取π≈3， 就是精确到 1 位（或精确到 个位 ）
取π≈3.1， 就是精确到 0.1 位（或精确到 十分位 ）
取π≈3.14， 就是精确到 0.01位（或精确到 百分位 ）
取π≈3.1416，就是精确到 0.0001位（或精确到 万分位 ）
小试牛刀：小亮用天平称得罐头的质量为2.0296kg,,按下列要求取近似数：
精确到十分位， 2.0296≈ 2.0
精确到0.001kg， 2.0296≈ 2.030
精确到1kg， 2.0296≈ 2
考点一：求一个数的立方根
例1．化简的结果为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】D
【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：D．
【变式1-1】27的立方根是（ ）
A．3B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查立方根，根据，得出27的立方根是3即可．
【详解】解：∵，
∴27的立方根是3．
故选：A．
【变式1-2】1的平方根是 1的立方根是 的算术平方根是
【答案】 1 2
【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，根据平方根、算术平方根、立方根的定义计算即可得出答案．
【详解】解：1的平方根是，1的立方根是，
，
∴的算术平方根是，
故答案为：，，．
【变式1-3】已知一个正数的两个不同的平方根分别为和，的立方根是．
(1)求，的值；
(2)求这个正数；
(3)求的算术平方根．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数及立方根的定义计算即可；
（2）把的值代入计算即可；
（3）先把、的值代入求解，再计算算术平方根即可．
【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别为和，的立方根是，
∴，，
∴，；
（2）解：∵，
∴这个正数为；
（3）解：∵，
∴，
∴的算术平方根为．
【点睛】本题主要考查了平方根的性质，算术平方根的计算，立方根的性质以及求代数式的值，准确计算是解题的关键．
考点二：立方根与平方根结合
例2．已知的立方根是3，的算术平方根是4，则（ ）
A．25B．23C．21D．19
【答案】B
【分析】本题考查了立方根，算术平方根，代数式求值，正确求出、的值是解题关键．根据立方根和算术平方根的定义，求出，，再代入计算求值即可．
【详解】解：的立方根是3，的算术平方根是4，
，，
，，
,
故选：B．
【变式2-1】下列说法正确的是（ ）
A．5是25的一个平方根B．8的立方根是
C．9的平方根是3D．的平方根是
【答案】A
【分析】本题考查平方根和立方根，根据平方根与立方根的定义进行逐项判断即可．
【详解】解：25的平方根为，则5是25的一个平方根，故A符合题意；
8的立方根是2，故B不符合题意；
9的平方根是，故C不符合题意；
，它的平方根是，故D不符合题意；
故选：A．
【变式2-2】已知的立方根是2，的算术平方根是4，则的平方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查了立方根、平方根和算术平方根，先根据题意得出，，求出a、b的值，再计算的值，最后求其平方根即可．
【详解】∵的立方根是2，的算术平方根是4，
∴，，
解得，
∴，
∴的平方根是，
故答案为：．
【变式2-3】已知的算术平方根是3，的立方根是4，求：
(1)a、b的值；
(2)的平方根．
【答案】(1)，
(2)的平方根是
【分析】本题主要考查了算术平方根、平方根和立方根的定义，解题的关键是熟练掌握相关的定义，准确计算．
（1）根据的算术平方根是，的立方根是，得出，，求出结果即可；
（2）把，代入求出，然后求出的平方根即可．
【详解】（1）解：∵的算术平方根是，的立方根是，
∴，，
解得：，；
（2）解：∵，，
∴，
∴的平方根是．
考点三：利用立方根解方程
例3. 实数的立方根是（ ）
A．4B．C．8D．
【答案】B
【分析】本题考查立方根，理解立方根的定义是正确解答的关键．
根据立方根的定义进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴实数的立方根是，
故选：B．
【变式3-1】计算：（ ）
A．3B．C．9D．
【答案】B
【分析】本题考查了立方根定义，掌握立方根的定义是解题关键．本题利用立方根定义开立方即可．
【详解】∵，
∴，
故选：B．
【变式3-2】若，则x的值为 ．
【答案】，
【分析】本题考查了立方根，熟悉掌握立方根等于本身的数有0，是解题的关键．
根据立方根等于本身的数有0，，依此即可求解．
【详解】解：
x的值为0，．
故答案为：0，．
【变式3-3】求下列式中的x值：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题主要考查了平方根，立方根的意义，
（1）利用立方根的意义解答即可；
（2）利用平方根的意义解答即可．
【详解】（1），
，
．
（2），
，
，，
，．
考点四：用科学记数法表示近似数
例4．新华社消息，2024年春节假期我国国内旅游出游4.74亿人次． 先将数据“4.74亿”精确到亿位，再用科学记数法可表示为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了科学记数法，以及近似数，先将数据“4.74亿”利用四舍五入精确到亿位，再根据科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，为整数（确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位）表示该数即可．
【详解】解：“4.74亿”精确到亿位为5亿，
5亿，
故选：A．
【变式4-1】某市城市轨道交通6号线工程的中标价格是元，精确到，用科学记数法可表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
此题考查科学记数法的表示方法、近似数．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】
把精确到为
=．
故选：C．
【变式4-2】据统计，2023年中国财政一般收入达到了216784亿元，同比增长了，将216784保留3个有效数字并用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】本题考查了近似数与科学记数法；先改写为科学记数法的形式，再保留3个有效数字即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【变式4-3】按要求完成下列各题
(1)完成下列各数的近似数
（精确到十分位） （精确十位）
（精确到百分位） （精确到百分位）
(2)光年是天文学中的距离单位，1光年大约是，用科学记数法表示为 ．
(3)截至年底，我国已建立的国家级自然保护区总面积约，用科学记数法表示为 ．
(4)据工信部数据显示，年我国移动电话用户总数达到亿户，用科学记数法表示为 户．
(5)地球上已发现的生物约种，用科学记数法表示为 种．
【答案】(1)，，，
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）根据精确到哪一位即对这一位的下一位数字进行四舍五入进行求解即可；
（2）（3）（4）（5）根据科学记数法的表示方法求解即可．
【详解】（1）解：（精确到十分位）
（精确十位）
（精确到百分位）
精确到百分位）；
（2）解： ，
故答案为：；
（3）解：，
故答案为：；
（4）解：亿户户，
故答案为：；
（5）解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了科学记数法和近似数，熟知科学记数法的表示方法和近似数的求解方法是解题的关键．
考点五：近似数精确到几位
例5．某会议参会人数准确数为人，新闻报道参会人数约为百人，下列说法正确的是（ ）
A．人数统计精确到百位B．人数统计精确到十位
C．人数统计精确到个位D．人数统计精确到十分位
【答案】A
【分析】本题考查了近似数，熟练掌握近似数精确到哪一位是解题的关键，近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．
运用近似数概念的定义解答即可．
【详解】解：∵报道参会人数约为百人，末位数字为，
∴在人中，在百位上，则精确到了百位，
故选：．
【变式5-1】某市参加中考的学生人数约为人．对于这个近似数，下列说法正确的是（ ）
A．精确到百分位，有3个有效数字B．精确到百位，有3个有效数字
C．精确到百分位，有5个有效数字D．精确到百位，有5个有效数字
【答案】B
【分析】本题考查的是科学记数法与有效数字，先把科学记数法表示的数还原，看6在原数中的位置就是精确到的数位，而有效数字是9，0，6，从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴它有3个有效数字，9，0，6，精确到百位．
故选B．
【变式5-2】下列命题中：①近似数精确到十分位；②近似数精确到十分位；③近似数千万和近似数万的精确度一样；④近似数和近似数的精确度一样．正确的是 ．（填序号）
【答案】①④/④①
【分析】本题考查的知识点是判断命题真假、指出一个近似数精确到哪一位，解题关键是熟练掌握近似数的精确度的判断方法．
根据近似数精确度的定义对命题进行逐一判断即可求解．
【详解】解：：①近似数精确到十分位，命题①正确；
②中近似数精确到百分位，命题②错误；
③近似数千万和近似数万的精确度不一样，近似数千万精确到千万位，近似数万精确到万位，命题③错误；
④近似数和近似数的精确度一样，命题④正确；
命题中①④正确．
故答案为：①④．
【变式5-3】下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？
(1)600万
(2)7.03万
(3)5.8亿
(4)3.30×105
【答案】(1)万位
(2)百位
(3)千万位
(4)千位
【分析】（1）根据近似数的精确度求解；
（2）根据近似数的精确度求解；
（3）根据近似数的精确度求解；
（4）根据近似数的精确度求解．
【详解】（1）解：∵600万的末尾为万位，
∴600万精确到万位；
（2）解：∵7.03万的末尾为百位，
∴7.03万精确到百位；
（3）解：∵5.8亿的末尾为千万位，
∴5.8亿精确到千万位；
（4）解：∵3.30×105的末尾为千位，
∴3.30×105亿精确到千位；
【点睛】本题考查了近似数和有效数字∶近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示，一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法，熟练掌握近似数的意义是解题的关键．
1．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了算术平方根与立方根的性质，掌握负数的立方根是负数，正数的立方根是正数，一个数的算术平方根是非负数是解题的关键．
根据算术平方根与立方根的性质进行逐项分析即可．
【详解】A．，故该选项错误；
B．，故该选项错误；
C．，故该选项错误；
D．，故该选项正确；
故选D．
2．精确到个位，则近似值为（ ）
A．1080B．C．1079D．1070
【答案】C
【分析】本题主要考查了求一个数的近似数，精确度个数即对十分位上的数字进行四舍五入，据此求解即可．
【详解】解：精确到个位，则近似值为1079，
故选：C．
3．下列说法正确的是（ ）
A．近似数6与表示的意义相同B．4.320万精确到千分位
C．小华身高1.7米是一个准确数D．将7.996精确到百分位得近似数8.00
【答案】D
【分析】本题考查了近似数的精确度问题，熟记并理解精确度的概念是解题关键．
根据近似数的精确度的概念逐项判断即可．
【详解】解：A、近似数6与表示的意义不同，说法错误；
B、4.320万精确到十位，说法错误；
C、小华身高1.7米是一个近似数，说法错误；
D、将7.996精确到百分位得近似数8.00，说法正确．
故选：D．
4．下列结论正确的是（ ）
A．64的立方根是B．没有立方根
C．平方根等于本身的数是0D．
【答案】C
【分析】本题考查了平方根与立方根的性质，算术平方根的意义，根据平方根与立方根的性质，算术平方根的意义，逐项判断即可得．
【详解】A、64的立方根是4，故该选项错误；
B、的立方根是，故该选项错误；
C、平方根等于本身的数是0，故该选项正确；
D、，故该选项错误；
故选：C．
5．已知的立方根是，则的算术平方根是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了立方根、算术平方根，根据立方根的定义可得，得到，进而得到，再根据算术平方根的定义即可求解，掌握立方根和算术平方根的定义是解题的关键．
【详解】解：∵的立方根是，
∴，
∴，
∴，
∴的算术平方根是，
故选：．
6．年月，中国三峡集团发布消息显示，年，三峡工程全年运行情况总体良好，三峡枢纽通过货运量万吨，同比增加，再创历史新高．请将万精确到千万位，并用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了科学记数法和精确度，先把万转化为，再根据精确度和科学记数法：（，为整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可，根据科学记数法和精确度确定和的值是解题的关键．
【详解】解：万，
故选：．
7．近似数 是精确到（ ）
A．千分位B．千位C．百位D．十位
【答案】C
【分析】先将换算为，再判断的0在百位上，即可得到答案．
【详解】解：
∵的0在百位上，
∴近似数是精确到百位，
故选C．
【点睛】本题考查了近似数，解题的关键是掌握近似数的概念：经过四舍五入得到的数叫近似数．
8．用计算器探索：已知按一定规律排列的20个数：1，，，…，，．如果从中选出若干个数，使它们的和＜1，那么选取的数的个数最多是（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
【答案】A
【详解】用计算器对上述各数进行计算，部分计算结果列于下表中. (计算值精确到0.001)
由计算结果可知，这20个数按题目中给出的顺序依次减小. 由于选出的数的和应小于1，所以应该从最小的数开始依次选取若干个数才能满足选取的数的个数最多的要求.
因为，
而，
所以选取的数最多是4个.
故本题应选A.
点睛：
本题综合考查了计算器的使用和规律的分析与探索. 本题解题的关键在于结合各个数的计算值总结出这一系列数的变化规律. 在解决这一类型题目的时候，要注意先分析规律再利用所得的规律和题意寻找突破口. 盲目尝试不仅费时费力而且容易出错.
9．计算： ．
【答案】6
【分析】本题考查了立方根，算术平方根，先算出根号，再相乘即可，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：6．
10．2022年，泰安市全年实现地区生产总值（）亿元，比上年增长 ，增速居全省第6位，将亿用科学记数法表示 （保留3位有效数字）．
【答案】
【分析】本题考查了科学记数法，有效数字，解题关键是熟记从左边第一个不是0的开始，后面所有的数都是有效数字．用科学记数法表示的数，有效数字只与前面a有关，而与n的大小无关．
【详解】解：亿元元，
故答案为：．
11．用科学记数法表示101000并保留两个有效数字为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查科学记数法的表示方法，有效数字．正确确定的值以及的值是本题的关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．因此据此可得出结果．
【详解】解：，
故答案为：．
12．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了算术平方根和立方根，根据算术平方根和立方根的定义求解．
【详解】解：，
故答案为：．
13．的绝对值是 ；的立方根是 ；的算术平方根是 ；
【答案】
【分析】此题主要考查了实数的相关性质，灵活准确的利用绝对值，立方根、算术平方根是关键．根据算术平方根、立方根、绝对值的概念进行求解．
【详解】解：的绝对值是；
的立方根是；
，
的算术平方根是，
故答案为：，，．
14．95号汽油8.01元，小红家的汽车加95号汽油，平均每耗油大约，按照这个耗油量，请你算一算小红家的汽车行驶大约需要 元．（保留两位小数）
【答案】
【分析】本题考查了近似数和有效数字，先求出小红家的汽车行驶的耗油量，再乘95号汽油的单价，再保留两位小数即可求解．
【详解】
（元）．
故答案为：．
15．用四舍五入法，按要求对下列各数取近似值：
(1)38063（精确到千位）；
(2)（精确到百分位）：
(3)（精确到）；
(4)（精确到十分位）．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了求一个数的近似数，精确到哪一位，即对该位的下一位数字进行四舍五入，据此求解即可．
【详解】（1）解：（精确到千位）；
（2）解：（精确到百分位）
（3）解：（精确到）
（4）解：（精确到十分位）．
16．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘．
你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：
①，，又，
，能确定59319的立方根是个两位数．
②的个位数是9，又，能确定59319的立方根的个位数是9.
③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3.因此59319的立方根是39
(1)现在换一个数17576，按这种方法求立方根，请完成下列填空．
①它的立方根是___________位数；
②它的立方根的个位数是__________；
③它的立方根的十位数是__________；
④17576的立方根是__________．
(2)根据计算步骤，请计算，并书写详细过程．
【答案】(1)①两，②6，③2，④26
(2)78；过程见解析
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，解题的关键是理解题意，熟练掌握立方根定义．
（1）仿照例题，进行推理得结论；
（2）先判断它们的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，得结论．
【详解】（1）解：①∵，，
又∵，
∴，
∴能确定17576的立方根是个两位数，
②∵17576的个位数是6，
又∵，
∴能确定17576的立方根的个位数是6．
③如果划去17576后面的三位576得到数17，
而，则，可得，
由此能确定17576的立方根的十位数是2，
④因此17576的立方根是26．
（2）解：∵，，
又∵，
∴，
∴能确定的立方根是个两位数．
∵的个位数是2，
又∵，
∴能确定的立方根的个位数是8，
如果划去后面的三位552得到数474，
而，则，可得，
由此能确定的立方根的十位数是7，
因此的立方根是78．
17．阅读理解，观察下列式子：
①；
②；
③；
；
…
根据上述等式反映的规律，回答如下问题：
(1)根据以上式子的规律，写出一个类似的等式：______．
(2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数，，若______，则；反之也成立．
(3)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值．
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)
(3)
【分析】本题考查了立方根的应用，解一元一次方程，观察并总结规律是解题的关键．
（1）观察规律，写出一个类似的等式即可；
（2）用含、的式子表达规律即可得答案；
（3）根据题意列出一元一次方程，解方程求出的值即可．
【详解】（1）解：观察规律可写出类似的等式，如，
故答案为：（答案不唯一）．
（2）解：由规律可得：对于任意两个有理数、，若，则，
故答案为：．
（3）解：若与的值互为相反数，则，
解得：．
18．请认真阅读下面的材料，再解答问题．
依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义．
比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根．
(1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义：______；
(2)625的四次方根为______；的五次方根为______；
(3)求下列的值：
①；
②．
【答案】(1)若，那么叫做的五次方根
(2)，
(3)①或；②
【分析】本题考查了四次方根和五次方根的意义，解题的关键是熟练掌握四次方根和五次方根的意义，准确进行计算．
（1）依照平方根和立方根的定义即可得出答案；
（2）根据四次方根和五次方根的定义求解即可；
（3）根据四次方根和五次方根的意义求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：若，那么叫做的五次方根，
故答案为：若，那么叫做的五次方根．
（2）解：∵，
∴625的四次方根是．
∵，
∴的五次方根是．
故答案为：，．
（3）解：①，
或．
②
．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根；
2．了解开立方与立方是互逆的运算，会用立方运算求一些数的立方根；
3.了解近似数的概念，体会近似数的意义及在生产、生活中的作用；
原数
1
…
计算值
1.000
0.707
0.577
…
0.236
0.229
0.224