苏科版2025年新八年级数学暑假衔接讲义第1部分-复习-专题01平面图形的认识(二)(学生版+解析)

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【考点1 ：探索直线平行的条件】 【考点2：探索平行线的性质】
【考点3 ：图形的平移】 【考点4：认识三角形】
【考点5 ：多边形的内角和与外角和】
一、三线八角
同位角：∠1与∠5、∠2与∠6、∠3与∠7、∠4与∠8；
内错角：∠3与∠6、∠4与∠5；
同旁内角：∠3与∠5、∠4与∠6.
二、平行线的判定
根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：
（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.
（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.
（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.
（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
三、平行线的性质
根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：
（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．
（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．
四、图形的平移性质
性质:①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等。
五、平移作图
平行线之间的距离性质：平行线间的距离处处相等
把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同（△ABC与△DEF相等）。
2.新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等（①AD=CF；②AC∥DF；④∠DAE=∠AEB）
六、认识三角形
（2）按边分：
1.三角形的分类
底和腰不等的等腰三角形
三角形
不等边三角形
等腰三角形
等边三角形
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
（1）按角分：
三角形
2.三角形的三边关系
三角形的任意两边之和大于第三边; 三角形任意两边之差小于第三边.
要点诠释：（1）判断给定三条线段能否构成一个三角形：看较小两边的和是否大于最长边.（2）已知三角形的两边长,确定第三边的范围：两边之差的绝对值＜第三边＜两边之和.
3.三角形的三条主要线段
4.三角形的角
（1）三角形的内角和为180°.
(2) 三角形的一边与他的邻边的延长线组成的角叫做三角形的外角.
要点诠释：（1）直角三角形的两个锐角互余；
（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角和；
（3）三角形的一个外角大于任意一个不相邻的内角.
七、多边形的内角和与外角和
1. 多边形的内角和：边形的内角和为(－2)·180°(≥3)．
要点诠释：(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数； (2)正多边形的每个内角都相等，都等于.
2. 多边形的外角和：任意多边形的外角和都为360°.
要点诠释：多边形的外角和为360°．边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.
考点剖析
【考点1：探索直线平行的条件】
1．下列图形中，与是同位角的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，下列条件中，①；②；③；④．能判断直线的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
3．在同一平面内，有12条互不重合的直线，，，，若， ，，，…，依此类推，则与的位置关系是 ．（填“平行”或“垂直”）
4．如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，，，射线、分别绕点，点以度/秒和度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间 ．
5．如图，直线交于点O，分别平分和，已知．

(1)试说明的理由；
(2)若，求的度数．
6．如图，点在上，已知，平分，平分，请说明的理由．
证明：因为（____________），
（____________），
所以（____________），
因为平分，
所以（____________），
因为平分，
所以，得（____________），
所以____________（____________）．
【考点2：探索平行线的性质】
1．如图，O是量角器的中心，点M是量角器上一点，直尺的一边与量角器的零刻度线重合， 与相交于点．若量角器上显示的读数为，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，有一张对边平行的纸片，三角板和三角板按如图方式放置，三角板的一条直角边与纸片的一边重合．已知，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点P．若，，则的度数是 ．
4．如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为 ．
5．已知如图，，被所截，平分，平分，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
6．【问题初探】（1）如图1，，，，若，，求的值．
【变式探究】（2）①如图2，，，，若，，求的值；
②若在图2中，，与为任意锐角，，，的值是否会改变？如果改变，求出新的结果；如果不改变，请给予证明．
【拓展延伸】（3）如图3，，与为锐角，，（n为整数，），直接写出的值．
【考点3：图形的平移】
1．如图，将沿着点到的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为（ ）
A．54B．42C．36D．24
2．如图，沿直线向右平移得到，已知，，则的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，道路的宽为2米，则绿化的面积为 ．

4．如图，将长为、宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则图中阴影部分的面积为 ．
5．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A，B，C都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．
(1)平移，使点A移动到点，请在网格纸上画出平移后的；
(2)在（1）的条件下，求平移过程中，线段扫过的面积．
6．【探究】
图1 图2 图3
（1）如图1，已知直线，点A在上，点C在上，点E在两平行线之间，则____________________；
【应用】如图2，已知直线，点A，B在上，点C，D在上，连接，；其中，分别是，的平分线，．
（2）求的度数；
（3）将线段沿方向平移，如图3所示，其他条件不变，求的度数．
【考点4：认识三角形】
1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在中，，平分，若，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，是的中线，点在中线上且，若的面积为，则的面积为 ．
4．如图，在中，E是的中点，点D在上，且，与交于点F，若，则的面积为 ．
5．在苏科版义务教育教科书数学七下曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：
(1)【问题再现】如图1，在中，、的角平分线交于点P，若．则______；
(2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，若，求的度数．
(3)如图3，在中，、的角平分线交于点P，将沿DE折叠使得点A与点P重合，若，则______；
(4)【拓展提升】在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接，、的角平分线交于点Q，若，，求和，之间的数量关系．
6．在我们华师版义务教育教科书数学七下第82页曾经研究过三角形角平分线的夹角问题．明明在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：
【问题改编】
（1）如图1，在中，、的角平分线交于点P，若．则________；
【问题推广】
（2）如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，求的度数；
（3）如图3，在中，、分别平分、，M、N、Q分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、．若，则的度数为________（结果用含n的代数式表示）；
【拓展提升】
（4）在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接，，、的角平分线交于点Q，若，，直接写出和α，β之间的数量关系．
【考点5：多边形的内角和与外角和】
1．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为（ ）
A．B．C．D．
2．若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．5B．6C．8D．10
3．如图，正八边形的对角线，交于点，则的度数是 ．
4．如图，是正五边形的外角的平分线，连接，则 ．
5．如图是正方形、正五边形、正六边形．
(1)观察上图各正多边形相邻两对角线相交所形成的较大的角，则______，______，______．
(2)按此规律，记正边形相邻两对角线相交所形成的较大的角为，请用含的式子表示______（其中为不小于4的整数）．
(3)若，求相应的正多边形的边数．
6．阅读与思考：请阅读下面小论文，并完成相应学习任务．
关于同一种正多边形的平面密铺
平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地把平面的一部分完全覆盖．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖．
对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，则一个内角的度数就是，若一个内角度数能整除，那么这样的正n边形就可以进行平面密铺．图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组密铺图案．如图3，按照平面密铺的条件，正五边形就不能进行平面密铺．
对于一些不规则的多边形，全等三角形或全等四边形也可以进行平面密铺．图4就是利用全等的四边形设计出的平面密铺图案．
对于不规则的凸五边形，迄今为止发现了15种能用于平面密铺的五边形．德国数学家莱因哈特（1895—1941）凭借其出色的平面几何功底与直觉，从1918年开始，陆续发现了前5种五边形密铺方式．2015年，美国华盛顿大学数学教授卡西·曼夫妇发现了第15种能用于平面密铺的五边形．图5就是利用不规则的凸五边形得到的一种密铺图案．

学习任务：
(1)填空：上面小论文中提到“对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是”，其中体现的数学思想主要是______．（填出字母代号即可）
A．数形结合思想；B．转化思想；C．方程思想
(2)图3中角1的度数是______．
(3)除“正三角形”“正四边形”外，请再写出一种可以进行密铺的正多边形：______．
(4)图6是图5中的一个基本图形，其中，，并且．求证．
过关检测
1．下列长度的三根小木棒，能搭成三角形的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
2．如图，在中，．把沿的方向平移到的位置，若，则下列结论中错误的是（ ）

A．B．C．D．
3．如图，直线，将一含有30°角的直角三角板的直角顶点置于直线n上，若，则的度数是（ ）
A．35°B．30°C．45°D．25°
4．光线在镜面上反射时，经过入射点与镜面垂直的直线是法线，反射光线与法线的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，两束光线，分别从不同方向射向镜面m，入射点为A，B，，是法线．，的反射光线相交于点C．若，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．已知的面积等于18，，则与的面积和等于（ ）
A．7B．7.5C．8D．9
6．如图，已知，平分平分，，则的度数为（ ）度．

A．55B．50C．40D．30
7．在三角形纸片中，，点D为边上靠近点C处一定点，点E为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点C落在点处，①如图1，当点落在边上时，；②如图2，当点落在内部时，；③如图3，当点落在上方时，；④当时，或，以上结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（ ）．
A．B．C．D．
9．一个正多边形的内角和是，则这个多边形的边数 ．
10．如图，点M，N分别在上，，将沿折叠后，点A落在点处，若，则 ．
11．如图，已知线段与直线的夹角，点在上，点是直线上的一个动点，将沿折叠，使点落在点处，当时，则 度．

12．如图①是长方形纸带，，将纸带沿EF折叠成图②，再沿BF折叠成图③，则图③中的的度数是 ．
13．如图，已知，点C在上，点A、B在上．在中，，，点E、F在直线上，在中，，．
(1)图中的度数是 °；
(2)将沿直线平移，当点D在上时，求的度数；
(3)将沿直线平移，当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等时，请直接写出的度数．
14．如图，已知直线，，点P是直线上的一个动点（不与点A重合），，分别平分和．

(1)当点P在点A左侧时，若，则________°．
(2)若点P为点A左侧运动时，求的度数是否会发生变化？若不变化，求出该度数；若变化，请说明理由．
(3)与之间存在怎样的数量关系？写出结论并说明理由．
15．如果三角形中任意两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”
(1)在中，若，，则______“准直角三角形”（填写是或不是）；
(2)如果是“准直角三角形”，那么是______，（从下列四个选项中选择，填写符合条件的序号）（①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形；④都有可能），请说明理由；
(3)如图，在中，，，平分交于点．
①若交于点，在①，②，③，④中“准直角三角形”是______（填写序号）；
②在直线上取一点，当是“准直角三角形”时，直接写出的度数．
线段名称
三角形的高
三角形的中线
三角形的角平分线
文字语言
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．
三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．
图形语言
作图语言
过点A作AD⊥BC于点D．
取BC边的中点D，连接AD．
作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．
标示图形
符号语言
1．AD是△ABC的高．
2．AD是△ABC中BC边上的高．
3．AD⊥BC于点D．
4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．
(或∠ADC＝∠ADB＝90°)
1．AD是△ABC的中线．
2．AD是△ABC中BC边上的中线．
3．BD＝DC＝BC
4．点D是BC边的中点．
1．AD是△ABC的角平分线．
2．AD平分∠BAC，交BC于点D．
3．∠1＝∠2＝∠BAC．
推理语言
因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．
(或∠ADB＝∠ADC＝90°)
因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC．
因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．
用途举例
1．线段垂直．
2．角度相等．
1．线段相等．
2．面积相等．
角度相等．
注意事项
1．与边的垂线不同．
2．不一定在三角形内．
—
与角的平分线不同．
重要特征
三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．
一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．
一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．