苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义第2部分-预习篇-第22讲解直角三角形(学生版+解析)

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1、填空
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C，a、b、c这五个元素之间有怎样的数量关系？
（1）三边之间的关系
a2+b2=c2(勾股定理)
（2）锐角之间的关系
∠A+∠B=90°
（3）边、角之间的关系
，，， ，，.
注：在计算边、角过程中，在已知面积的情况下，还常用到等积分法。
，h为斜边上的高
因此，直角三角形的2个锐角和3条边共5个元素中，需要知道哪几个元素的值，你就确定其余的未知元素的值；而由直角三角形的边、角中的已知元素，求出所有边、角中的未知元素的过程，叫做解直角三角形。
小试牛刀：
如图，在中，，，，求的面积．
【答案】
【详解】解：如图，过点C作于点D．
在中，，，
∴，∴．在中，∵，
∴，．∴．∴．
3.解直角三角形的常见类型及解法
考点一：已知两边解直角三角形
例1．已知中，，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，正确把握锐角三角函数关系是解题关键．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴．
故选B．
【变式1-1】如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交于点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意以及矩形的性质，勾股定理求得，进而根据得出即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，，，
∴，，
∵对角线的垂直平分线分别交于点，
∴，，
∵，则，
∴，
∴，
解得：，
故选：D
【点睛】本题考查了矩形的性质，正切的定义，勾股定理，垂直平分线的性质，得出是解题的关键．
【变式1-2】在Rt△ABC中，AB是斜边，AB＝10，BC＝6，tanA＝ ．
【答案】
【分析】根据勾股定理，计算AC=8，根据正切的定义计算即可．
【详解】如图，
∵Rt△ABC中，AB是斜边，AB＝10，BC＝6，
∴∠C=90°，AC==8，
∴tanA==，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角函数，勾股定理，熟练掌握三角函数的定义，灵活运用勾股定理是解题的关键．
【变式1-3】在中，，，，解这个直角三角形．
【答案】，，．
【分析】本题考查了解直角三角形，首先根据和的长度得出，继而求出，从而得出和的度数．
【详解】解：如图，在中，，，，
∴
∵，
∴，
∴．
考点二：已知一边一角解直角三角形
例2．如图，在中，，，，则的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
本题考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握锐角三角形的定义．
根据余弦的定义解答即可．
【详解】解：在中，，
，
，
，
故选：C
【变式2-1】在直角中，，，，求为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据锐角三角函数的概念和勾股定理求解，根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据角的正弦值与三角形边的关系及勾股定理，然后再代入三角函数进行求解，最后求出面积及的值．
【详解】解：由，，
得出：，
由勾股定理得出：，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的能力，还考查解直角三角形的定义，由直角三角形已知元素求未知元素的过程，还考查了直角三角形的性质．
【变式2-2】如图，中，，，若，，则的长度为 ．
【答案】
【分析】本题考查余弦的定义，掌握表示和的长是解题的关键，根解直角三角形的方法求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
故答案为：．
【变式2-3】如图所示，在RtABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，b＝20，解这个直角三角形．
【答案】∠A＝60°，，c＝40
【分析】直角三角形的两个锐角互余，并且Rt△ABC中，∠C=90°则∠A=90-∠B=60°，解直角三角形就是求直角三角形中除直角以外的两锐角，三边中的未知的元素．
【详解】由∠C＝90°知，∠A+∠B＝90°，而∠B＝30°，
∴∠A＝90°-30°＝60°，
，
∴，
∴c＝40，
由勾股定理知，
∴，
解得：．
【点睛】考查了解直角三角形的条件，已知三角形的一边与一个锐角，就可以求出另一个锐角与三角形的另外两边．
考点三：综合解直角三角形
例3.如图，是的直径，弦，垂足为点E，若，，则的半径为（ ）
A．B．4C．D．5
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，邻补角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据垂径定理，可知的长度，根据圆周角定理，可以知道的度数，从而推出，再利用求得半径．
【详解】是的直径，弦，垂足为点E，
则的半径为4．
故选：B．
【变式3-1】如图，在平行四边形中，，，，以点C为圆心，适当的长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点E，连接，则的面积为（ ）
A．5B．4C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，角平分线的作法，平行四边形的性质，过点作交于点，求得，根据题意可得是的平分线，即可证明为等腰三角形，求得，即可求得的面积．
【详解】解：如图，过点作交于点，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
由题意可得是的平分线，
，
，
，
，
，
的面积为，
故选：D．
【变式3-2】如图，，，，，则的面积为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了一线三等角全等模型和面积法，构造全等三角形和求边上的高是解题的关键．利用，求出，，的长度，再构造一线三等角全等模型，利用面积法得出和面积，从而得出的面积．
【详解】解：过点作于点，过点作于点，过点作于点，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4．
【变式3-3】如图，中，，D为中点，，，是的外接圆．
(1)求的长；
(2)求的半径．
【答案】(1)
(2)的半径为
【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，解直角三角形，圆周角定理．
（1）易证，得到，即可解答；
（2）过点A作，垂足为E，连接CO，并延长交⊙O于F，连接AF，在中，通过解直角三角形得到，，由得到．设，则，，在中，根据勾股定理构造方程，求得，，由得到，根据正弦的定义即可求解．
【详解】（1）解：，，
．
，即
，D为AB中点，
，
∴
．
（2）解：过点A作，垂足为E，连接CO，并延长交⊙O于F，连接AF，
在中，．
又，
．
∴在中，．
，
．
设，则，．
∵在中，，
，即，
解得，（舍去）．
，．
∵，
．
CF为⊙O的直径，
．
．
，即⊙O的半径为．
1．如果中各边的长度都扩大到原来的2倍，那么锐角的三角比的值（ ）
A．都扩大到原来的2倍B．都缩小到原来的一半
C．没有变化D．不能确定
【答案】C
【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握理清锐角的三角函数值与角度有关，与三角形中所对应的边的长度无关是解题的关键．根据三边对应成比例，两三角形相似，可知扩大后的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答．
【详解】解：各边的长度都扩大两倍，
扩大后的三角形与相似，
∴扩大后的三角形三个角与原来三角形三个角分别相等，
锐角A的各三角函数值都不变．
故选：C．
2．如图是一款桌面可调整的学习桌，桌面宽度为60cm，桌面平放时高度为70cm，若书写时桌面适宜倾斜角的度数为，则桌沿（点A）处到地面的高度h为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：由题意得：，
在中，，
∴，
∵，
∴桌沿（点A）处到地面的高度．
故选：A．
3．如图，在菱形中，，，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理和锐角三角函数的知识，正确得出的长是解题关键．
先根据锐角三角函数定义得出的长，再利用勾股定理求出的长，然后利用菱形的的性质得的长，进一部即可求出结果．
【详解】解：，
，
解得：．
四边形是菱形，
．
故选：B．
4．如图，点是直径的延长线上一点，是的切线，过切点作弦于，连接．若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求得，根据垂径定理可得，最后解即可．
【详解】解： 如图：
由题意得：，
∴，
∴，
∵，过圆心，
∴，
在中，，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质，垂径定理，直角三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握知识点是解题的关键．
5．如图，菱形的边长为6，对角线，相交于点O，交的延长线于E，若，则的长为（ ）
A．B．2C．D．1
【答案】B
【分析】首先根据菱形的性质得到，，然后勾股定理求出，得到，然后利用代数求出，然后利用勾股定理求解即可．
此题考查了菱形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
【详解】∵菱形的边长为6，
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
解得
∴．
故选：B．
6．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O为坐标原点，边在x 轴正半轴上，反比例画数的图象经过点A，交菱形对角线 于点D，轴于点E，若，则长为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数图象上的点的特征、菱形的性质等知识，作于，分别求出、即可求解．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
【详解】解：作于．
设，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，则，
∴，，
∴，
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴或（舍去），
∴，
∵四边形是菱形，
∴，设，则，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴，
∴，
故选：C．
7．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点在原点上，边在轴的正半轴上，轴，，，，将四边形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了图形的旋转，坐标与图形，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，连接，过点作，垂足为，可证，得出，通过解直角三角形得到点的坐标为，由每旋转次为一个循环，即可得出第次旋转结束时点的位置和第次旋转结束时点的位置相同，从而得出第次旋转结束时，点的坐标为，即可求解，通过旋转角度找到旋转规律，从而确定第次旋转后点的位置是解题的关键．
【详解】解：连接，过点作， 垂足为，如图所示，
∵，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴点的坐标为，
∵每次旋转，，
∴每旋转次为一个循环，
∵，
∴第次旋转结束时点的位置和第次旋转结束时点的位置相同，
∴第次旋转结束时，点的坐标为，
故选：．
8．如图，线段，点为的中点，动点到点的距离是1，连接，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段长度的最大值是（ ）
A．3B．4C．D．
【答案】D
【分析】以为斜边向上作等腰直角，连接，．利用相似三角形的性质证明，推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，根据，可得结论．
【详解】解：以为斜边向上作等腰直角，连接，．
，
，
是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，
∴
，同理，
，，
，
，
，
，
点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，
，
，
故线段长度的最大值为．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是旋转的性质、相似三角形的性质和判定，解直角三角形，点与圆的位置关系，三角形三边关系，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
9．如图，有一斜坡，此斜坡的坡面长，斜坡的坡角是，若，则坡顶离地面的高度为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正弦三角函数，熟练掌握正弦三角函数为角的对边比邻边是解题的关键．由正弦三角函数定义即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：．
10．在中，，，，则的值为
【答案】/
【分析】先由勾股定理求出的长，再由求解即可．
【详解】如图
∵中，，，，
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形，熟记余弦的定义是解题的关键．
11．如图，在等腰中，，过点A作，交的延长线于点D，若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，以及三角形外角的性质，熟练掌握锐角三角函数的概念是解答本题的关键．根据等腰三角形的性质得，，求出，然后利用的正切求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴
故答案为：．
12．如图，内接于⊙O，已知，，则的半径为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了圆周角定理，等边对等角，解直角三角形的相关计算，连接，，由圆周角定理可得出，由等边对等角可得出，然后解即可求出答案．
【详解】解：连接，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，
∴，
∴的半径为5，
故答案为：5．
13．如图，矩形的边，点E、H分别是上的点，．将四边形沿直线折叠到四边形的位置，使恰好经过点B，且于点P，则 ， ．
【答案】 4
【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理与折叠的性质，解一元二次方程．先求得，证明四边形和是矩形，设，则，，利用，列出一元二次方程，据此计算即可求解．
【详解】解：∵矩形的边，，
∴，，
由折叠的性质知，，，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵矩形，，
∴四边形和是矩形，
∴，，
设，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
整理得，
解得(舍去负值)，
∴，
故答案为：4，．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在反比例函数的图像上，轴于点C，，将沿翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图像上，则k的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
如图，过点作轴于点．根据，，设，则，由对称可知，，即可得，，解得，根据点B的对应点D落在该反比例函数的图像上，即可列方程求解；
【详解】解：如图，过点作轴于点．
∵点A的坐标为，
∴，
∵，，
设，则，
由对称可知，，
∴，
∴，，
∴，
∵点B的对应点D落在该反比例函数的图像上，
∴，
解得：，
∵反比例函数图象在第一象限，
∴，
故答案为：．
15．如图，是的直径，内接于，已知C是的中点，过点C作的延长线于点E．
(1)证明：为的切线；
(2)若且，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】（1）连接，由已知条件可得出，由圆周角定定理可得出， ，进一步得出，再由平行线性质可得出，进一步即可证明为的切线．
（2）连接，由直径所对的圆周角等于得出，由同弧所对的圆周角相等得出，然后解，即可得出，进一步即可得出半径的长，
【详解】（1）证明：如图，连接，
点C是的中点，
∴
，
，
．
，
，
点C在上，
是的切线．
（2）如图，连接，
是的直径，
，
∵
∴，
在中，，，
设，，
，
，
，
的半径为5．
【点睛】本题主要考查了证明某直线是圆的切线，圆周角定理，平行线的判定以及性质，解直角三角形的相关计算等知识，掌握这些性质是解题的关键．
16．如图，在平行四边形中，．
(1)尺规作图：过点C作，交于点E．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)连接，若，．求平行四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了垂线段的基本作图，平行四边形的性质，特殊角的三角函数值，
（1）根据线段垂直平分线的基本作图完成即可；
（2）先求出，利用平行四边形的性质，特殊角的三角函数值，求得的长，问题随之得解．
【详解】（1）如图
就是所求作的图形；
（2）如图，∵，，，
∴，
∵四边形是平行四边形
∴
∴，，
∴，
又∵在中，，
∴
∴．
17．如图，菱形的两条对角线交于点，为线段上一点，与相切于点．
(1)求证：是的切线．
(2)若经过点，，且的半径为，则菱形的边长为________．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）过点作于点，由切线的性质得，由菱形的性质得，进而得，根据切线的判定即可得证；
（2）由，的半径为，得，根据勾股定理得，从而，在中，利用边角关系得．利用勾股定理即可得解．
【详解】（1）解：过点作于点，
∵与相切于点，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）解：如图，
∵四边形是菱形，
∴，
由（1）得，
∵，的半径为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，即，
∴．
∴，
∴菱形的边长为．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了切线的性质及判定，勾股定理，解直角三角形，菱形的性质，角平分线的性质，熟练掌握切线的性质及判定，勾股定理以及解直角三角形是解题的关键．
18．图、图、图都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的三个顶点都在格点上．在图、图、图给定的网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹．
(1)在图中的的边，上分别找到点D，E，连接，使．
(2)在图中的的边上找到点F，连接，使．
(3)在图中的的边上找到点G，连接，使．
【答案】(1)图见解析；
(2)图见解析；
(3)图见解析；
【分析】本题主要考查了作图——应用与设计作图、勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形和正方形的性质等知识，掌握利用数形结合的思想是解答本题的关键．
（1）取，格点，连接交于点，连接交于点，连接，则即为所求点；
（2）取格点，连接交于点，则点为所求点；
（3）连接交于点，则点为中点，连接相交于点，连接交于点，则为所求作点，．
【详解】（1）如图，取，格点，连接交于点，连接交于点，连接，则即为所求点， ．
四边形为正方形，点为对角线交点，四边形为矩形，点为对角线交点，
点为中点，点为中点，
．
（2）取格点，连接交于点，则点为所求点，
，
为等腰三角形，
，
，
，又，
，即，
为等腰直角三角形，
，
，
．
（3）如图所示，连接交于点，则点为中点，连接相交于点，连接交于点，则为所求作点，．
四边形为矩形，为对角线交点，
点为中点，
四边形为正方形，为对角线交点，连接，
，，
，即为等腰三角形，根据三线合一，
为中垂线，
点为与交点，
．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．知道解直角三角形的概念、理解直角三角形中各元素的关系；
2．通过综合运用勾股定理及直角三角形边角关系，掌握解直角三角形，逐步形成分析问题、解决问题的能力。
30°
45°
60°
sin α
cs α
tan α
1
已知条件
解法步骤
Rt△ABC
两 边
两直角边(a，b)
由 求∠A，∠B=90°－∠A，
斜边，一直角边(如c，a)
由求∠A，∠B=90°－∠A，
一边一角
一直角边和
一锐角
锐角、邻边(如∠A，b)
∠B=90°－∠A，，
锐角、对边(如∠A，a)
∠B=90°－∠A，，
斜边、锐角(如c，∠A)
∠B=90°－∠A，，