苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义第2部分-预习篇-第17讲探索三角形相似的条件(学生版+解析)

这是一份苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义第2部分-预习篇-第17讲探索三角形相似的条件(学生版+解析)，文件包含苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义第2部分-预习篇-第17讲探索三角形相似的条件教师版docx、苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义第2部分-预习篇-第17讲探索三角形相似的条件学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共53页， 欢迎下载使用。

1.如右图，画出一个▲ABC，使得∠A=∠1，∠B=∠2，可以画出多少个？
无数个
2.已知在△ABC和△A′B′C′中。∠A=∠A′，∠ B=∠B′。求证：△ABC∽△A′B′C′
证明：在△ABC的边AB（或延长线）上截取AD=A′B′.过点D作DE∥BC.交AC于点E.则有
△ADE∽△ABC
∵∠ADE=∠B ∠B=∠B′
∴∠ADE=∠B′
又∵∠A=∠A′ AD=A′B′
∴△ADE≌△A′B′C′（ASA）
∴△A′B′C′∽△ABC
3.如图，已知▲ABC，作▲A′B′C′，使得∠A=∠A′，
,这两个三角形相似吗？
如果呢？
在▲ABC和▲A′B′C′中，∠A=∠A′
，证▲ABC~▲A′B′C′。
在AB上截取一个点D，使得AD=A′B′，过点D作DE∥B′C′，交AC与点E。
由定理1，可以证▲ABC~▲ADE，所以
，又因为AD=A′B′，、
所以AE=A′C′，所以▲ADE≌▲A′B′C′，
∴▲ABC~▲A′B′C′
因此，两边成比例且夹角相等得两个三角形相似。
几何语言：在▲ABC和▲A′B′C′中
∴▲ABC~▲A′B′C′
5.已知▲ABC，作▲A′B′C，使得,这两个三角形相似吗?
如果呢？
6.在▲ABC和▲A′B′C′中，，我们可以证明▲ABC~▲A′B′C′吗？
用上图相同得方法可证▲ABC~▲ADE，所以，
因为，AD=A′B′，所以AE=A′C′，DE=B′C′。
所以▲ADE≌▲A′B′C′，所以▲ABC~▲A′B′C′。
因此，三边成比例得两个三角形相似。
几何语言：在▲ABC和▲A′B′C′中，
∴▲ABC~▲A′B′C′
7.在三角形中，三角形中的角平分线、垂直平分线、高线都交于一点，那三角形的三条中线交于一点吗？如图，点D是AB中点，点E是AC中点，
BC上的中线经过点F吗？
连接DE，
∵点D是AB中点，点E是AC中点
∴DE∥BC，
∴
取BC中点为点G，连接AG，EG，
同理可得EG∥AB，
∴
∴A、F、G三点共线
∴BC上的中线经过点F
因此，三角形的三条中线相较于一i但，这点叫做三角形的重心。
几何语言：∵F是▲ABC的重心
∴
考点一：判定1证明相似
例1．如图所示，在中，，垂足分别为D、E两点，则图中与相似的三角形有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
根据相似三角形的判定作答即可．
【详解】解：∵，
∴，，，
∴，
∵，，
∴
同理可得，，，，
∴共有四个三角形与相似．
故选：A．
【变式1-1】如图，在中，点D、E分别在边、上，，，那么下列判断中，不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键；若是两个三角形中两组角对应相等，那么这两个三角形相似，根据此判定作判断即可．
【详解】解：∵点D、E分别在边、上，，
∴，故A正确；
∵，
∴，
∵，
∴，故B正确；
∵，，
∴，
∴，故C正确；
与不一定相似，故D不正确；
故选：D．
【变式1-2】如图，已知，则图中相似三角形是 ．

【答案】
【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握两角对应相等的两个三角形相似是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
【变式1-3】如图，在钝角中，，请用尺规作图法，在上求作一点，使得．(保留作图痕迹，不写作法)
【答案】见解析
【分析】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握作线段垂直平分线的方法．
作的垂直平分线交于点即可．
【详解】解∶如图，点即为所作．
如图，作的是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
考点二：判定2证明相似
例2．如图，在纸片中，，将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，由于点D，得，则，而，即可证明，可判断A不符合题意；由，得，则，可证明，可判断B不符合题意；由，得，而，可证明，可判断C不符合题意；由，得，，则，而，所以与不相似，可判断D符合题意，于是得到问题的答案．
【详解】解：如图1，
∵于点D，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故A不符合题意；
如图2，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故B不符合题意；
如图3，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故C不符合题意；
如图4，
∵，
∴，，
∴，
假设，
∵，
∴，与已知条件不符，
∴与不相似，
故D符合题意，
故选：D．
【变式2-1】如图，已知，，，．将沿图中的DE剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据相似三角形的判定逐一判断即可．
【详解】解：A、，，
，
故A不符合题意；
B、，，
，
故B不符合题意；
C、由图形可知，，
，
，，
，
又，
，
故C不符合题意；
D、由已知条件无法证明与相似，
故D符合题意，
故选：D．
【变式2-2】在和中，如果，那么这两个三角形是否相似？答： ，理由是 ．
【答案】 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
【分析】根据相似三角形的判定方法，判定即可．
【详解】解：∵，
∴，理由为：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
故答案为：，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
【点睛】此题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
【变式2-3】如图，是的边上的一点，，，，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的证明，根据相似三角形的判定方法，两边对应成比例和夹角相等即可得出结论．
【详解】证明：，，
，
，
，
为公共角，
．
考点三：判定3证明相似
例3.如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与相似的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】此题考查了相似三角形的判定，根据网格中的数据求出的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
【详解】解：根据题意得：，，，
∴，
A、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与相似；
B、三边之比，图中的三角形（阴影部分）与不相似；
C、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似；
D、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似．
故选：A．
【变式3-1】如图，在4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
A．①和②B．②和③
C．①和③D．无法确定
【答案】C
【分析】此题考查的是相似三角形的判定，掌握其判定定理是解决此题的关键．
根据两三角形相似的判定定理，三边对应成比例的两个三角形相似，即可解答．
【详解】解：设网格中每个小正方形的边长为1，
①中的三角形的各边长分别为2，，，
③中的三角形的各边长分别为，2，，
，
这两个三角形的三边对应成比例
①中的三角形和③中的三角形相似，
故选C.
【变式3-2】如图，在正方形网格中：①；②；③；这3个斜三角形中，能与相似的是 ．（点、、、、均在格点上）

【答案】
【分析】分别求出三个三角形的三边的比（按边长的大小顺序），所求三边之比等于的三边之比就是与相似的三角形．
【详解】解：∵的三边之比是，
的三边之比是
的三边之比是，
的三边之比是．
∴与相似，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，勾股定理与网格，掌握“三边对应成比例，两三角形相似”是解题的关键．
【变式3-3】如图，在中，，，，求证：．

【答案】证明见详解；
【分析】本题考查三角形相似的判定，根据得到，从而得到，结合，得到，即可得到证明；
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
考点四：相似综合运用
例4．如图，为的直径，C为延长线上一点，过点C作的切线，切点为E，作于点D，连结，下列结论正确的是（ ）
A．B是中点B．
C．D．平分
【答案】D
【分析】证明是等腰三角形，可判断A；运用反证法可证明可判断B；无法证明和相似，故可判断C；证明即可判断D．
【详解】解：连接如图，
∴
∴
∵，
∴是等腰三角形，
，不一定等于，
∴不一定成立，即点不一定是中点，故选项A错误，不符合题意；
假设，则有
∵
∴，
∴
∵
∴，即
∴
而
∴，故选项B错误，不符合题意；
在和中，
是直角三角形，是钝角三角形，
故和不相似，则，
∴，故选项C错误，不符合题意；
∵，
∴
∴
∵
∴，
∴，
∴平分，故选项D正确，
故选：D．
【点睛】本题主要考查切线的性质，直角三角形的性质，平行线的判定与性质相似三角形的判定定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
【变式4-1】如图，把边长为3的正方形绕点O逆时针旋转得到正方形，与交于点P，的延长线交于点Q，交的延长线于点M．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据图形旋转的性质及正方形的性质，可证明，得到，设，则，再根据勾股定理列方程，并求解方程，即得答案．
【详解】，
，
把边长为3的正方形绕点O逆时针旋转得到正方形，
，，
，
又，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得或0（舍去），
，
故选C．
【点睛】本题考查了图形旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握相似三角形的判定及根据勾股定理列方程求解是解题的关键．
【变式4-2】如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则 ．
【答案】
【分析】先根据平行线分线段成比例证，进而得，，再证明，得，从而即可得解．
【详解】解：∵，过点作，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质，熟练掌握三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质是解题的关键．
【变式4-3】（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．
【问题解决】
（2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形中，，分别在边，上，，，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3
【分析】（1）证明，结合，利用“两角对应相等，两个三角形相似”证明结论即可；
（2）首先证明，由全等三角形的性质可得，进而证明，易得，结合，即可证明结论；
（3）延长到点，使，连接，结合菱形的性质可证明，易得，，进而证明是等边三角形，然后计算的长即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）证明：∵四边形是正方形，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵点在的延长线上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图，延长到点，使，连接，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
1．如图，中，，，，，则的长度为（ ）
A．2B．6C．3D．4
【答案】B
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
运用平行线分线段成比例定理即可求解．
【详解】解：，
,
又，，，
，
，
∴，
故选：B．
2．如图，已知，直线m分别交直线a，b，c于点A，C，E，直线n分别交直线a，b，c于点B，D，F，若，则等于（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】
本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：B．
3．如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的一点，点是轴负半轴上一点，连接上轴正半轴交于点．若，的面积为3，则的值为（ ）

A．12B．8C．4D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，根据三角形面积公式和反比例系数k列式可得结论．设，则，由的面积为3即可求解．
【详解】解：作轴于点D，

∵轴，
，
，
，
，
∴，
设，则，
∴，
∴，
故选：A．
4．如图，点D在的边上，添加一个条件，使得．以下是天翼和往琛的做法．下列说法不正确的是（ ）

A．天翼的做法证明过程没有问题B．往琛的做法证明过程没有问题
C．天翼的做法添加的条件没有问题D．往琛的做法添加的条件有问题
【答案】B
【分析】根据题意已知，故添加两组对应边成比例夹角为或者添加一组对应角相等，即可求解．本题考查了相似三角形的判定，正确记忆相关知识点是解题关键．
【详解】解：依题意，，添加一组对应角相等，可以使得，故天翼的做法以及过程没有问题，往琛的做法添加的条件有问题，应为，证明过程中用到两组对应边成比例夹角相等，故B选项符合题意，
故选：B．
5．如图，在矩形中，，对角线、相交于点，为的中点，交于，交于，若，则的值为（ ）
A．4B．C．D．6
【答案】B
【分析】由三角形中位线定理可得，，可得，由矩形的性质可得，再利用勾股定理可得答案．
【详解】解：如图，
∵M为的中点，，，
∴，，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理的应用等知识，证明是解题的关键．
6．如图1，在矩形中，点P从A出发沿对角线运动到点C，连接，设点P运动的路程为x，线段与的差为y，图2是y随x变化的图象，则矩形的周长为（ ）
A．5B．7C．12D．14
【答案】D
【分析】本题考查了矩形性质及函数图象、平行线分线段成比例定理及勾股定理的应用，正确理解题意是解题关键，首先得出，和当时，，进而求出，根据勾股定理求出即可求出周长．
【详解】解：由图可知，当点P与点A重合时，，
此时，，
，
在矩形中，，
由图2可知，当时，，
点P在线段的垂直平分线上，
过点P作于点E，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
矩形的周长为14，
故选：D．
7．如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点A、B及的中点M，轴，与y轴交于点N．则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质等知识，找到坐标之间的关系是解题的关键．
作辅助线如图，利用函数表达式设出、两点的坐标，利用，是中点，找到坐标之间的关系，利用平行线分线段成比例定理即可求得结果．
【详解】解：作过作的垂线垂足为，与轴交于点，如图，
在等腰三角形ABC中，，是中点，
设，，
由中点为，，故等腰三角形中，
∴，
∴，
∵AC的中点为M，
∴，即，
由在反比例函数上得，
∴，
解得：，
由题可知，，
∴．
故选：B．
8．已知正方形的边长为，延长到点，使，取的中点，连接、，与的延长线相交于点，则的长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过点作，交于点，连接，根据平行线等分线段定理的推论证得，在中，根据勾股定理可求出，，再在中根据勾股定理即可求出．
【详解】解：过点作，交于点，连接，
∵，
∴，
∴，
∵点是的中点，，
∴，
∴，
∴，
∵正方形的边长为，，
∴，，
∴，
，
，
∴，，
∴．
故选：B．

【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，正方形的性质，等边对等角，勾股定理，中点的定义等知识．通过作辅助线并根据平行线等分线段定理证明是解题关键．
9．如图，与相交于点，连接，，添加一个条件，使．你添加的条件是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定等知识点，由图可知，所以要使，只需再添加一个对应角相等或其对应边成比例即可得解，熟练掌握相似三角形的判定定理是解决此题的关键．
【详解】∵（对顶角相等），
∴要使，只需再添加一个对应角相等或其对应边成比例即可，
∴可以添加，
故答案为：（答案不唯一）．
10．如图，在中，，分别与相交于点D、E，若，，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该定理是解题的关键，根据，由平行线分线段成比例定理可得，将已知条件代入即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴．
故答案为．
11．如图，与相切于点．点分别在，上，四边形为正方形，若，则 ．
【答案】
【分析】根据切线的性质和正方形的性质证得，，，进而得到，由勾股定理求出由平行线等分线段定理得到是的中位线，根据三角形中位线定理即可求出．
【详解】解：如图：
四边形为正方形，
，，，，
与相切于点，
∴，
∴，
∴，
∵，，
，
∴，
，，
是的中位线，
，
在中，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，切线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，平行线等分线段定理，三角形中位线定理等知识，综合运用这些知识是解决问题的关键．
12．如图，在中，分别交于点D，E．交于点F，，，则的长为 ．

【答案】
【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，平行线截线段成比例，正确理解平行线截线段成比例是解题的关键．先证得四边形是平行四边形，得到，再利用平行线截线段成比例列式求出即可．
【详解】∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13．如图，点是反比例函数上的点，过作轴，连接交于点，若，且的面积为5，则的值为 .

【答案】20
【分析】本题考查反比例函数的性质，数形结合思想以及运算求解能力，过点A作轴于点E，设，分析可知，结合的面积为5，可得，进而得解．
【详解】解：如图，过点A作轴于点E，

∵轴，轴，
∴，
∵，
∴，则，
∵点A是反比例函数上的点，
∴设，
∴，则，
将代入得：，
解得：，
∴，
∵的面积为5，
∴，整理得，，
解得．
故答案为：20．
14．如图，点、在反比例函数的图象上，连接，，过点作轴于点，交于点，若，的面积为8，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是反比例函数的的几何意义，平行线分线段成比例，如图，连接，过作轴于，而轴于，证明，设，则，再利用面积列方程求解即可．
【详解】解：如图，连接，过作轴于，而轴于，
∴，而，的面积为8，
∴，，
设，
∴，
∴
∴，
解得：，
故答案为：
15．如图，是以等腰的腰为直径所作的圆，点是与底边的交点，自点作，垂足为点，过点作的切线，交于
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为5，，求此时的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质得，再根据“同角的余角相等”得，然后根据等腰三角形的性质得，即可得，进而得出答案；
（2）作，根据等腰三角形的性质得平分，再根据角平分线的性质得，接下来根据勾股定理求出，进而得出，，再根据勾股定理求出，最后根据平行线分线段成比例得出答案．
【详解】（1）∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵是的直径，
∴，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）过点D作，交于点G，
∵，，
∴平分．
∵，，
∴．
在中，，，
∴，
∴，．
在中，，，
根据勾股定理，得．
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
即，
解得．
【点睛】本题主要考查了切线的性质和判定，等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，平行线分线段成比例，勾股定理，角平分线的性质等，勾股定理是求线段长的常用方法．
16．在的正方形网格中，四边形的顶点都在格点上．请仅用无刻度的直尺，按要求完成下列作图．
(1)在图1中作的平分线；
(2)在图2中，连接交于点O，在上确定点M，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的性质，勾股定理：
（1）在上取点F，使，连接，取的中点，然后作射线，即可；
（2）取的中点H，取格点，使，连接交于点M，即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，点M即为所求．
17．下图是由边长为的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上．按如下要求利用无刻度的直尺作图（保留痕迹，不写作法）．
(1)图①中，画出的中线；
(2)图②中，在的边上找一点，使得；
(3)图③中，在的边上找一点，连接，使的面积为1．
【答案】(1)作图见详解
(2)作图见详解
(3)作图见详解
【分析】本题主要考查网格作图，掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中线平分面积的方法是解题的关键．
（1）根据矩形的性质，对角线相互平分的性质即可求解；
（2）根据全等三角形的性质作图即可求解；
（3）根据中位线的判定和性质，中线平分面积的方法作图即可求解；
【详解】（1）解：如图所示，
根据格点的特点，四边形是矩形，是对角线，且交于点，
∴即为所求的中线；
（2）解：如图所示，作，
根据格点特点可得是平行四边形，于交于点，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴即为所求点的位置，
（3）解：如图所示，
根据图示，点分别是中点，且交于点，连接并延长交于点，过点作，交于点，
∴，，
∴，
设点到的距离为，
∴，，
∴，
∴，
∴即为所求位置．
18．如图1，等腰直角和等腰直角的直角顶点C重合，连接，．
(1)求证：；
(2)如图2，过A作，且（点B，点F在同侧），连接，求的值；
(3)如图3，M是的中点，的延长线与交于点N，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）证明，即可得到；
（2）作于G，得到四边形为矩形，在中，由勾股定理可得，据此求解即可；
（3）过A作，与的延长线交于P，利用平行线分线段成比例求得，证明，求得，即可证明．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：如图1，作于G，
∵，，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，即点G是的中点，
在中，由勾股定理可得，
∴；
（3）证明：如图2，过A作，与的延长线交于P，
∵M为的中点，，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，勾股定理等，正确引出辅助线解决问题是解题的关键
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．能利用两个角分别相等来判定相似；
2．归纳并运用判定2和3；
3.理解并掌握三角形的重心。
天冀的做法：添加条件．
证明：∵，．
∴（两组角对应相等的两个三角形相似）
往琛的做法：添加条件．
证明：∵,．
∴（两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似）