苏科版2025年新八年级数学暑假衔接讲义第2部分-预习-第01讲全等图形与全等三角形(学生版+解析)

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1.观察下面图片，会发现什么？
图片中的图案形状、大小都相同。
2.全等图形：能完全重合的图形叫做全等图形。一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.
3.观察下面两个三角形，可以发现什么？
这两个三角形是全等图形。
4.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
对应顶点，对应边，对应角定义：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.
注：如上图：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.
5.全等三角形的性质
（1）全等三角形的对应边相等；（2）全等三角形的对应角相等.
注：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等
几何语言：∵△ABC≌△DEF
∴AB=DE BC=EF AC=DF（边）∠A=∠D ∠B=∠E，∠C=∠F。
考点一：全等图形
例1．下列各组中的两个图形中，属于全等图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查全等图形的定义，根据能够完全重合的两个图形称为全等图形进行逐项判断即可．
【详解】解：A中两个图形不是全等图形，故不符合题意；
B中两个图形不是全等图形，故不符合题意；
C中两个图形是全等图形，故符合题意；
D中两个图形不是全等图形，故不符合题意；
故选：C．
【变式1-1】下列叙述中错误的是（ ）
A．能够完全重合的两个图形称为全等图形
B．全等图形的形状和大小都相同
C．所有正方形都是全等图形
D．平移、翻折、旋转前后的图形全等
【答案】C
【分析】本题考查了旋转的性质，全等形的性质，由全等图形的性质和平移，折叠，旋转的性质依次判断可求解．
【详解】解：A、能够完全重合的两个图形称为全等形，故A选项不符合题意；
B、全等形的形状和大小都相同，故B选项不符合题意；
C、所有正方形不一定是全等形，故D选项符合题意；
D、平移、翻折、旋转前后的图形全等，故D选项不符合题意；
故选：C．
【变式1-2】图中有①～⑤ 5个条形方格图，每个小方格的边长均为1，则②～⑤中由实线围成的图形与①中由实线围成的图形全等的有 ．（只填序号即可）
【答案】②④⑤
【分析】本题考查全等图形，根据能够完全重合的图形叫做全等图形，进行判断即可．
【详解】由全等形的概念可知，②④⑤中由实线围成的图形与①中由实线围成的图形能够完全重合，
故答案为：②④⑤．
【变式1-3】找出下列图形中的全等图形．
【答案】（1）和（10），（2）和（12），（4）和（8），（5）和（9）是全等图形
【分析】根据能够完全重合的两个图形是全等形即可判断出答案．
【详解】解：由题意得：（1）和（10），（2）和（12），（4）和（8），（5）和（9）是全等图形．
【点睛】本题考查了全等形的定义，属于基础题，注意掌握全等形的定义．
考点二：全等三角形的概念
例2．下列说法中正确的是（ ）
A．全等三角形是指形状相同的两个三角形B．全等三角形的面积相等
C．全等三角形是指面积相等的两个三角形D．等边三角形都全等
【答案】B
【分析】
本题考查的是全等三角形的定义和性质，掌握全等形的概念、全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的定义和性质判断即可．
【详解】解：A、全等三角形是指形状和大小相同的两个三角形，该选项错误；
B、全等三角形的面积相等，该选项正确；
C、面积相等的两个三角形不一定都是全等三角形，该选项错误；
D、等边三角形不一定都是全等三角形，该选项错误．
故选：B．
【变式2-1】下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个三角形全等B．周长相等的两个三角形全等
C．面积相等的两个三角形全等D．形状、大小相同的两个三角形全等
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的定义，根据两个三角形全等的定义即可判断．理解定义是判断的关键．
【详解】解：A、形状相同的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意；
B、周长相等的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意；
C、面积相等的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意；
D、形状、大小相同的两个三角形全等，正确，符合题意．
故选：D．
【变式2-2】如图，，若 ，则 ， ．
【答案】 5 4
【分析】已知△ABD≌△CDB，根据全等三角形的对应边相等从而求解．
【详解】解：∵△ABD≌△CDB．
∴BC＝AD，CD＝AB．
∵AB＝4，AD＝5．
∴BC＝5，CD＝4．
故答案为5，4．
【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的边对应相等的理解及运用．
【变式2-3】如图，，请写出图中的对应角，对应边．

①的对应角为（ ）；②的对应角为（ ）；③的对应角为（ ）；④的对应边为（ ）；⑤的对应边为（ ）．
【答案】，，，，
【分析】根据全等三角形的定义可直接得出答案．
【详解】解：∵，
∴①的对应角为；
②的对应角为；
③的对应角为；
④的对应边为；
⑤的对应边为；
故答案为：，，，，．
【点睛】本题考查了全等三角形，找准对应边、对应角是解题的关键．
考点三：全等三角形的性质
例3. 如图，点在同一直线上，若，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的性质和线段和差，根据全等三角形的性质得出，，再由线段和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选：．
【变式3-1】如图，若，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和，三角形的外角定理，解题的关键是掌握全等三角形对应角相等，三角形的内角和是180度，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
先根据三角形的外角定理得出，再根据全等三角形的性质得出，最后根据三角形的内角和定理和对顶角相等，即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【变式3-2】如图，已知，点是上一点，交于点．
（1）与CF的位置关系是 ；
（2）若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
（1）由，得到，即可得出；
（2）由，得到，即可求解．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
【变式3-3】如图，已知△，、、在同一直线上，试探究当时，与的位置关系，并证明．
【答案】，证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质；根据全等三角形的性质可得根据平行线的性质可得，则，进而根据平角的定义，即可得出，即可得证．
【详解】解：．证明如下：
，
．
，
，
．
，
，
．
考点四：网格中的全等图形
例4．如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（ ）．
A．30°B．45°C．55°D．60°
【答案】B
【分析】根据网格特点，可得出，，，进而可求解．
【详解】解：如图，则，，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查网格中的全等图形、三角形的外角性质，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键．
【变式4-1】如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（ ）
A．30°B．45°C．60°D．135°
【答案】B
【分析】首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠3=∠ACB，再由∠ACB+∠1=∠1+∠3=90°，可得∠1+∠3-∠2．
【详解】
∵在△ABC和△DBE中
，
∴△ABC≌△DBE（SAS），
∴∠3=∠ACB，
∵∠ACB+∠1=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵∠2=45°
∴∠1+∠3-∠2=90°-45°=45°，
故选B．
【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角相等．
【变式4-2】如图，在的正方形网格中，求 度．
【答案】45
【分析】连接，根据正方形网格的特征即可求解．
【详解】解：如图所示，连接

∵图中是的正方形网格
∴，，
∴
∴，
∵
∴，即
∴
∵
∴
∵
∴
故答案为：45．
【点睛】本题考查了正方形网格中求角的度数，利用了平行线的性质、同角的余角相等、等腰直角三角形的性质等知识点，解题的关键是能够掌握正方形网格的特征．
【变式4-3】作图题
将的棋盘沿格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种（约定某种划分法经过旋转、轴对称得到的划分法与原划分法相同）．

【答案】见解析
【分析】能够完全重合的两个图形叫做全等形，可以利用图形的轴对称性和中心对称性来分割成两个全等的图形．
【详解】解：如图所示，（答案不唯一）

【点睛】本题主要考查了全等图形，解题的关键是掌握全等图形的定义：形状和大小完全相同的两个图形叫全等形．
考点五：分割全等图形
例5．如图，下面4个正方形的边长都相等，其中阴影部分的面积相等的图形有（ ）
A．0个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】观察图形可发现：四个正方形是全等的，面积相等；a，b，d三个图形中中空白部分可以组成一个完整的圆，根据圆的面积相等可得这三个图形中阴影部分的面积相等，得出答案．
【详解】由图可知：（a）、（b）、（d）的空白处均可组成一个完整的半径相等的圆，而正方形的面积相等，根据等量减去等量差相等的原理得这三个图形中阴影部分的面积相等．
故选：．
【点睛】本题既考查了全等图形的知识，还考查了整体与部分的关系．
【变式5-1】下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接利用全等图形的概念进而得出答案．
【详解】解：图形分割成两个全等的图形，如图所示：
故选B．
【点睛】此题主要考查全等图形的识别，解题的关键是熟知全等的性质.
【变式5-2】如图，已知正方形中阴影部分的面积为3，则正方形的面积为 ．
【答案】6
【分析】利用割补法，把阴影部分移动到一边.
【详解】把阴影部分移动到正方形的一边，恰好是正方形的一半，故正方形面积是6.
【点睛】割补法，等面积转换,可以简便运算，化复杂为简单.
【变式5-3】沿虚线，画出四种方案，分别将下面的正方形划分成两个全等的图形．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查作图，以及全等图形的定义．可以利用图形的对称性和互补性来分隔成两个全等的图形．
【详解】解：如图所示：
1．下列各组图形中，属于全等图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等图形．根据全等图形的定义（能够完全重合的两个图形叫做全等形）逐项判断即可得．
【详解】解：A、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；
B、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；
C、两个图形能够完全重合，是全等图形，则此项符合题意；
D、两个图形的形状不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；
故选：C．
2．如图，，B、C、D在同一直线上，且，，则长（ ）
A．12B．14C．16D．18
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等得到，则．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
3．下列说法中正确的是（ ）．
A．形状相同的两个图形一定全等B．两个长方形是全等图形
C．两个正方形一定是全等图形D．两个全等图形面积一定相等
【答案】D
【分析】此题主要考查了全等图形和全等图形的性质．直接利用全等图形以及全等图形的性质判断得出答案．
【详解】解：A、形状相同、大小相等的两个图形一定全等，故本选项不符合题意；
B、两个长方形不一定是全等图形，故本选项不符合题意；
C、两个正方形不一定是全等图形，故本选项不符合题意；
D、两个全等图形面积一定相等，故本选项符合题意；
故选：D．
4．如图，，如果，，那么度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，由全等三角形的性质可得出，，由角的和差关系即可得出，即可求出答案．
【详解】解：∵
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
5．如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（ ）

A．10.8B．9.6C．7.2D．4.8
【答案】B
【分析】本题考查了全等图形的性质，由图形知，所示的图案是由梯形和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等图形的性质有是解决问题的关键．
【详解】解：∵四边形为梯形，上底，下底，四边形是由8个全等梯形拼接而成，
∴．
故选：B．
6．如图，，，点B，E，C，F在一条直线上．已知，，，，则的面积为（ ）
A．24B．26C．32D．48
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得，，再利用三角形面积公式即可求解，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：，，，，，
，，
，
是直角三角形，
，
故选A．
7．下列四个图形中，有两个全等的图形，它们是（ ）
A．①和②B．①和③C．②和④D．③和④
【答案】B
【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．
【详解】解：①和③可以完全重合，因此全等的图形是①和③．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念．
8．如图，已知点在上，点在上，，且，若．则等于（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
本题考查全等三角形的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质，，，又，，在中根据内角和定理求解．
【详解】
解：，
，，
，
，
又，
，，，
，
故选：C．
9．如图，四边形与四边形是全等四边形，若，，，则 ．

【答案】/60度
【分析】本题考查了全等多边形的性质和四边形的内角和，先根据全等图形的性质求得和，再由四边形的内角和求得即可；
【详解】解：∵全等多边形的对应边和对应角相等，
∴，，
又∵四边形的内角和为，
∴，
故答案为：；
10．若，且的周长为20，，则 ．
【答案】7
【分析】此题考查了全等三角形的性质，先根据周长和已知边长求出的长，再根据全等三角形对应边相等即可得到答案．
【详解】∵的周长为20，，
∴，
∵，
∴，
答案为：7
11．如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为 .
【答案】/45度
【分析】观察图形可知与所在的直角三角形全等，则，根据外角的性质卡得，即可求解．
【详解】观察图形可知与所在的直角三角形全等，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用全等的性质求网格中的角度，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，得出是解题的关键．
12．如图，在长方形中，，，点P以的速度由点B向点C运动，同时点Q以的速度由点C向点D运动，若和全等，则a的值为 ．
【答案】3或
【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握分类讨论思想的应用是解决本题的关键．
分两种情况分别计算：当时；当时；分别根据全等三角形对应边相等的性质列方程求解即可．
【详解】解：设点运动的时间为，
由题意知：，，则，
当时，，即，
解得；
当时，，，
即，，
解得，
则，
解得，
综上，的值为3或．
故答案为：3或．
13．如图,长方形纸片的长为8，宽为6，从长方形纸片中剪去两个全等的小长方形卡片，那么余下的两块阴影部分的周长之和是 ．
【答案】24
【分析】设两个全等的小长方形卡片的长为a，宽为b，先用含a、b的代数式分别表示出两个阴影长方形的周长，再相加即得结果．
【详解】解：设两个全等的小长方形卡片的长为a，宽为b，
则左边的阴影长方形的周长=2(a+6－b)=12+2a－2b，
右边的阴影长方形的周长=2(b+6－a)=12+2b－2a，
∴两块阴影部分的周长之和=(12+2a－2b)+( 12+2b－2a)=24．
故答案为：24．
【点睛】本题考查了全等图形的概念和整式的加减运算，正确表示出两个阴影长方形的周长是解题的关键．
14．如图是的正方形网格，的顶点都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫做格点三角形，画与只有一条公共边且全等的格点三角形，在该网格中这样的格点三角形（不与重合）最多可以画出 个．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形、格点三角形的定义，可以以为公共边和以为公共边分别画出个三角形，以为公共边不可以画出三角形，即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：如图所示：
，
以为公共边可以画出、、三个三角形，
以为公共边可以画出、、三个三角形，
故可以画出个，
故答案为：．
15．沿图形中的虚线，分别把下面的图形划分为两个全等图形．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等图形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据全等图形的定义画出图形即可．
【详解】解：如图所示：
或
16．如图，已知，点E在上，与交于点F．
(1)若，，求的长；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和的定理．
（1）利用全等的性质即可求出，然后根据线段的和差即可求出．
（2）利用全等的性质求出，然后根据三角形的内角和定理即可求出，然后利用角的和差即可求出．
【详解】（1）（1）∵，，
∴，
∴．
（2）∵，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴.
17．图①，图②都是由一个正方形和一个等腰直角三角形组成的图形.
（1）用实线把图①分割成六个全等图形；
（2）用实线把图②分割成四个全等图形.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【分析】设正方形的面积为2，则等腰直角三角形的面积为1，
（1）根据题意，分成的每一个图形的面积为 ，分成六等腰个直角三角形即可；
（2）根据题意，分成的每一个图形的面积为 ，分成四个直角梯形即可．
【详解】解：如图所示：
【点睛】本题考查复杂作图，根据面积确定出分成的每一个图形的面积是解题的关键，难度中等，但不容易考虑．
18．如图，直线，平分，过点B作交于点C．动点E，D同时从点A出发，其中动点E以的速度沿射线运动，动点D以的速度在直线上运动．已知，设动点D，E的运动时间为．
(1)的度数为 ；
(2)当点D沿射线运动时，若，求t的值；
(3)当动点D在直线上运动时，若与全等，则t的值为 ．
【答案】(1)
(2)或4
(3)或
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识：
（1）根据角平分线的定义、直角三角形的锐角互余即可解决问题；
（2）作于H，于G．由平分，推出，由，可得，解方程即可解决问题．
（3）存在．由，可知当时，，列出方程即可解决问题．
【详解】（1）解：如图1中，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图2中，
①当E在线段上时，作于H，于G．
∵平分，
∴，
∵
∴，
∴.
②当点E运动到延长线上，同法可得时，也满足条件，
∴当或时，满足．
故答案为：或；
（3）解：∵，
∴当时，，
∴
∴
∴时，．
当D在延长线上时，，
综上所述，满足条件的t的值为2或6，
故答案为：或．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．认识全等图形，理解全等图形的概念和特征；
2．欣赏有关的图案，并能识别其中的全等图形；
3. 理解全等三角形的概念；
4. 掌握全等三角形的性质。