苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义第2部分-预习篇-第20讲正切、正弦、余弦(学生版+解析)

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1.认识正切的概念
在Rt▲ABC中，∠C=90°，我们把∠A的对边与
邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA，
即
（1）那么tanB等于什么呢？有tanC这个值吗？

（2）那么tanA与tanB是什么关系呢？

因此，如果有两个角 ，那么这两个数的正切值 。
2.在Rt▲ABC中，∠C=90°，我们把∠A的对边与
斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即
我们把∠A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作csA，即
（1）那么sinB和csB等于什么呢？有sinC和csC这个值吗


（2）那么sinA与csB有什么关系？sinB与csA呢？

因此，如果两个角 ，那么其中一个数的 等于另一个数的 。
（3）观察一下sinA、csA、tanA的结果，总结它们的关系。

（4）根据sinA与csA的值，求出sin²A+cs²A。

考点一：正切、正弦、余弦的概念理解
例1．如图，在中，，为边上一点，过点作，垂足为，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】如图，在中，于点，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】如图，在 中，．（1）斜边 ；（2） 的对边 ；（3） 的邻边 ；（4） ．
【变式1-3】如图，在中，，，，，的对边分别是，，．
(1)利用锐角三角函数的定义求证：；
(2)若，求的值．
考点二：求正切、正弦、余弦的值
例2．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，则的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】如图，在中，延长斜边到点D，使，连接，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】如图，在中，的垂直平分线交于点D，连接，若，则的长是 ．
【变式2-3】如图，在中，．
(1)求作分别与，相切，使得圆心O落在上，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，已知，，求的值．
考点三：由正切、正弦、余弦的值求边长
例3.如图，的半径为5，切于点B，连接交于点C，交于点D，连接，若，则的长为（ ）
A．5B．C．D．
【变式3-1】如图是等边三角形，点是边的三等分点，连接．若的周长为9，则点到的距离为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-2】如图，在正方形中，，将绕点顺时针旋转得到，此时与交于点，则的长度为 ．

【变式3-3】如图，在矩形中，为边上一点，连结．若，过点作于点．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
1．在中，，，，那么的长为（ ）
A．B．C．D．
2．在中，，，，则的值为（ ）
A．8B．9C．10D．7.5
3．如图，在中，，是边上的中线，，，则的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，点在正方形网格的格点上，则是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在正方体中，的正切值为（ ）

A．B．C．1D．
6．如图，、、是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
7．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在中，，，点是的中点，将绕着点顺时针旋转至，连接，交于点，交于点，则的值是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在矩形中，，，与的平分线相交于点．直线是边AD的垂直平分线，连接AE交直线于点，则 ，线段PE的长为 ．
10．在中，，，，则的值是 ．
11．如图，半径为6的扇形中，，C，D分别是半径的中点，连接，则图中阴影部分面积为 ．（用含的式子表示）
12．6个全等的小正方形如图放置在中，则的值是 ．
13．如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么 ．

14．如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值等于 ．
15．如图，在中， ，求的值．
16．如图，在中，，点在边上，，．

(1)求的长；
(2)求的值．
17．如国，在中，，点是边的中点，点在边上，经过点，且与边相切于点，与相切于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的直径．
18．给出一个新定义：有两个等腰三角形，如果它们的顶角相等、顶角顶点互相重合且其中一个等腰三角形的一个底角顶点在另一个等腰三角形的底边上，那么这两个等腰三角形互为“友好三角形”．
(1)如图①，和互为“友好三角形”，点D是边上一点（不与点B重合），，，，连接，则________（填“”），________°；
(2)如图②，和互为“友好三角形”，点D是边上一点，，，，M、N分别是底边的中点，请探究与的数量关系，并说明理由；
(3)如图③，和互为“友好三角形”，点D是边上一动点，，，，M、N分别是底边的中点，请直接写出与的数量关系（用含的式子表示）
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．掌握正切、正弦、余弦的概念，知道锐角三角函数；
2．会运用公式求边长或角度。