苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义第2部分-预习篇-第21讲特殊角的三角函数、由三角函数值求锐角(学生版+解析)

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根据三角形的三边比例求出30°、45°、60°的三角函数值
我们在初二上学期轴对称图形的时候，结合30°对应的直角边等于斜边的一半，
可以得出来最短的直角边与斜边的比例为1：2，学习了勾股定理
之后知道了三边的平方为1+3=4，而三边长比例表示到了
实数的时候才可以表示出.
同理可知，等腰直角三角形的比例为.
因此可以根据三角函数的边比例得出下列各角的三角函数值
30°
45°
60°
sin α
cs α
tan α
1
考点一：根据特殊三角函数值求角的度数
例1．如图，五边形内接于，，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查圆内接四边形的性质，解直角三角形．连接，由，求出，判定，推出，由圆内接四边形的性质推出，即可求出．
【详解】解：连接，如图，
，，
，
，
，
∴，
，
四边形是圆内接四边形，
，
．
故选：C．
【变式1-1】如图，是的两条弦，的半径为5，连接交于点．若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了垂径定理、特殊角的三角形函数、等腰直角三角形、圆周角定理等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键.
如图：连接,即，过作，先根据勾股定理可得，再根据垂径定理以及余弦函数可得、即，从而得到，再根据圆周角定理可得、，最后根据三角形外角的性质即可解答.
【详解】解：如图：连接,即，过作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴,即,
∵，
∴,
∴,
∴,
∴,，
∴.
故选D.
【变式1-2】在中，若，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，非负数的性质，三角形内角和定理，先根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0得到，则，进而得到，再由三角形内角和定理即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式1-3】人教版初中数学八年级下册第页数学活动告诉我们一种折纸得特殊角的方法：
①对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
②再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段．请你根据提供的材料完成下面的问题．
(1)填空： ；
(2)求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查折叠的性质， 三角函数的应用，理解折叠的性质是解本题的关键；
（1）根据折叠判断线段关系即可计算比值；
（2）由（1）可知，可得到，继而得到，即可得解；
根据折叠得到对应的边角关系是解题的关键．
【详解】（1）解：由折叠可知：，，
∴，
故答案为：；
（2）由折叠可知：，
在中，，
∴，
∴，
∴．
考点二：特殊三角形的三角函数
例2．的值等于（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的减法、特殊角的三角函数值，先计算特殊角的三角函数值，再计算二次根式的减法即可得出答案．
【详解】解：，
故选：C ．
【变式2-1】如图所示的网格是正方形网格，和的顶点都是网格线交点，则的正弦值是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】此题考查了勾股定理，求正弦值，等腰直角三角形的性质和判定，解题的关键是得到是等腰直角三角形．
连接，首先证明出是等腰直角三角形，，得到，然后利用特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】如图所示，连接
设正方形网格中每个小正方形的边长为1
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴．
故选：C．
【变式2-2】 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据特殊角的三角函数值，算术平方根定义，零指数幂运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【变式2-3】计算：．
【答案】3
【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【详解】解：
．
考点三：由特殊三角函数值判断三角形的形状
例3. 在中，若，则么一定是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
【答案】D
【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得A、B的值，根据直角三角形的判定，可得答案．
本题考查了特殊角三角函数值，直角三角形的判定，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
【详解】解：∵
∴，
∴，
∴，
∴．
∴一定是等腰直角三角形，
故选：D．
【变式3-1】在中， ，那么是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键，根据特殊角的三角函数值即可求出的大小，即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
是等腰三角形
故选：A．
【变式3-2】在中，若满足，则是 三角形．
【答案】等边/正
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值；非负数的性质，等边三角形的判定．熟知特殊角的三角函数值是关键．先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值和，即可作出判断．
【详解】解：根据题意得：且，
则，
∴，
∴是等边三角形．
故答案为：等边．
【变式3-3】如图，在中，，，，求：的面积和的度数．
【答案】；
【分析】根据勾股定理解答即可求出的面积，利用三角函数求出的度数．
【详解】解：过A作AD⊥BC于D，设BD=x，DC=8-x，
由勾股定理可得：

即
解得:x=
∴AD=
∴△ABC的面积=BC·AD=
在Rt△ACD中，
∵sinC=
∴∠C=60°
答：的面积为， 为60°．
【点睛】本题考查了勾股定理和锐角三角函数，解题的关键是根据勾股定理得出AD的长．
考点四：特殊三角函数值的混合运算
例4．的值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查特殊角的三角函数的混合运算．熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
把特殊角的三角函数值代入计算即可．
【详解】解：原式
．
故选：D．
【变式4-1】的值等于（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，熟知30度角的正切值，60度角的正弦值是解题的关键．
【详解】解：
，
故选：C．
【变式4-2】计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合运算、化简绝对值、零指数幂，熟练掌握知识点，正确计算是解题的关键．
先按照特殊角三角函数值的混合运算、化简绝对值、零指数幂，再按照运算顺序计算即可．
【详解】
．
故答案为．
【变式4-3】计算：
【答案】
【分析】本题考查了含三角函数的混合运算，先算零指数幂，二次根式化简，三角函数值，负整数指数幂，再算加减即可，掌握相关的运算法则及应用是解题的关键．
【详解】解：
．
考点五：根据度数比较三角函数的大小
例5．如果，那么与的差（ ）．
A．大于B．小于C．等于D．不能确定
【答案】D
【分析】利用锐角三角函数的增减性分类讨论，即可得到答案．
【详解】解：当时，，
，
，
；
当时，，
，
，
；
当，，
，
，
，
综上所述，与的差不能确定，
故选：D．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，解题关键是掌握在之间（不包括和），角度变大，正弦值、正切值也随之变大，余弦值随之变小．注意分类讨论．
【变式5-1】已知，关于角α的三角函数的命题有：①，②，③，④，其中是真命题的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据结合三角函数的增减性求解即可．
【详解】解：由，得，故①正确；
∵，，∴，∴，故②错误；
当时，，故③错误；
，故④正确；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的性质，记住特殊角的三角函数值和掌握锐角三角函数的性质是解题的关键．
【变式5-2】 （填“或”）．
【答案】
【分析】本题考查三角函数值大小的比较，掌握正切值随角度的增加而增加是解题关键．
利用正切的增减性解答．
【详解】解：在锐角三角函数中，正切值随角度的增加而增加，
，
；
故答案为：．
【变式5-3】如图，已知和射线上一点（点与点不重合），且点到、的距离为、．
(1)若，，，试比较、的大小；
(2)若，，，都是锐角，且．试判断、的大小，并给出证明．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据三角函数的定义，分别表示出，进而根据角度比较函数值的大小即可求解；
（2）同（1）的方法，即可求解．
【详解】（1）解：在中，，
，
在中，，
，
又，
；
（2）解：由（1）得，，
，
，
．
【点睛】本题考查了正弦的定义，掌握三角函数的定义是解题的关键．
1．的值等于（ ）
A．B．C．2D．1
【答案】A
【分析】本题主要考查了求特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值进行计算即可．
【详解】解：，
故选：A．
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查特殊角三角函数值，根据特殊角三角函数即可求出角度，即可得到答案．
【详解】解：，
，
故选：C．
3．在中，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查特殊角三角函数值和三角形内角和定理，根据特殊角三角函数值求出的度数，再根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，，
∴
∴，
故选：D．
4．的值等于（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【详解】解：
，
故选：C．
5．如图所示的两个转盘分别被均匀地分成3个和4个扇形如图所示的两个转盘分别被均匀地分成3个和4个扇形，每个扇形上都标有一个实数．同时自由转动两个转盘，转盘停止后（若指针指在分格线上，则重转），两个指针都落在无理数上的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查的是画树状图或列表法求解随机事件的概率，实数的混合运算，特殊角的三角函数值，根据题意画好树状图，得到所有的等可能的结果，再得到指针两次都落在无理数上的机会，从而可得结论．
【详解】解：画树状图如下：
所有的等可能的结果有种，两个指针都落在无理数上的机会有种，
所以两个指针都落在无理数上的概率是
故选：C．
6．如图，在等腰三角形中．，．点D，E在边上，点F，G分别在和边上．若四边形为正方形，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
作于，设正方形的边长为，证明，根据相似三角形的性质得，根据锐角三角函数的定义得，求出，表示出正方形和的面积，即可求解．
【详解】解：作于，设正方形的边长为，
四边形是正方形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
设，
在中，，
，
∵
，
，
，
，
．
故选：B．
7．如图，在菱形中，过顶点作，，垂足分别为，，连接，若，的面积为，则菱形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点作，交的延长线于点，证明，得到，推出，设，由可得，进而根据锐角三角函数得到，则，根据三角形的面积公式求出，再根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，
，，
，
四边形是菱形，
，，，
在和中，
，
，
，
，
即，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，灵活运用相关知识是解题的关键．
8．将一块含角的三角板按如图所示摆放在平面直角坐标系中，直角顶点C在x轴上，轴．反比例函数的图象恰好经过点A，且与直角边交于点D．若，，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】过点A作轴，交x轴于点E，过点D作轴，交x轴于点F，交于点H，利用平行线的性质可知，再分别用三角函数解得长、长、长，设点A坐标为，可知点D坐标为，根据反比例函数图像上的点的特征解出x的值，k值即可求．
【详解】解：如图过点A作轴，交x轴于点E，过点D作轴，交x轴于点F，交于点H，
∵轴，
∴，
∵，
∴ ，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设点A坐标为，可知点D坐标为，
∵点A与点D都在反比例函数上，
∴，
解得，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上的点的坐标特征、特殊角的三角函数、平行线的性质等知识点、熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
9．计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，零指数幂，先计算特殊角三角函数值和零指数幂，再计算减法即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
10．为锐角，且，则 ．
【答案】30
【分析】本题考查了特殊的三角函数值，根据条件，可以推出，再根据特殊的三角函数值即可解出．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
11．在中，若，，都是锐角，则是 三角形．
【答案】等腰直角
【分析】此题考查了已知三角函数值求角，涉及了绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值．
根据绝对值和平方的非负性可得，，求得，即可求解．
【详解】解：由可得
，
即，
解得：，则，
∴为等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角．
12．计算： ．
【答案】3
【分析】本题主要考查实数的混合运算，首先计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂、开平方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【详解】解：
．
故答案为：3．
13．如图，在矩形中，，，以点B为圆心，为半径画弧，交于点E，交于点F，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】/
【分析】连接，过E作于H，解直角三角形得到，求得是等边三角形，得到，推出，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接，过E作于交于点H，
在矩形中，，，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查扇形面积的计算，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握割补法解决问题．
14．如图，在矩形中，，，为边上一点，连接，过点作，垂足为，交边于点，连接．若，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】过点作的垂线，交于点，先证明出，计算出的长度，根据同角的三角函数相等，可求得，利用线段关系得到的值，最后通过勾股定理即可求解
【详解】过点作的垂线，交于点
是矩形
在与中，
故答案为：
【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理以及三角函数，解题的关键在于画出辅助线
15．已知α是锐角，且，计算∶
【答案】
【分析】题目主要考查特殊角的三角函数的运算，根据题意得，然后代入计算即可得出结果，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键
【详解】解：∵α是锐角，且，
∴，
∴，
∴
16． 计算:
【答案】
【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，先计算乘方，化简绝对值，二次根式，代入特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零次幂，再合并即可．
【详解】解：
17．如图点为中边上的一点，
(1)请利用无刻度直尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）
①过点D作于点E；
②在上画出点，使得（标出所有符合条件的点）；
(2)若为等边三角形且当满足（1）中条件的点有且只有一个时，则_________．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)
【分析】（1）①按尺规作图作垂线的方法作出图形即可；
②按尺规作图作线段垂直平分线的方法作出图形即可；
（2）连接；设，由题意得，则，由切线长定理得，且，由正切函数建立等式，即可得a与x的关系，从而求得结果．
【详解】（1）解：①如图，于点E；
②作的垂直平分线，以垂直平分线与的交点为圆心，长为半径作圆，与交于两点，则有，点即为所求作；
（2）解：如图，连接；设；
在等边中，，；
，
，；
由题意知，与相切，切点分别为E，P，则，
，，
是的角平分线，
；
在中，，
即，
，
即；
故答案为：．
【点睛】本题考查了尺规作图：作垂线与作圆，切线长定理，角平分线的判定定理，三角函数，等边三角形的性质，有一定的综合性．
18．如图，在中， ，垂足为，，垂足为，与，分别相交于点，，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，．
①求；
②求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，相似三角形的判定及性质，三角函数的比值关系等知识点，灵活运用菱形的性质是解题的关键．
（1）利用平行四边形的性质寻找条件证出后，即可得到，从而可判定出四边形是菱形；
（2）①利用平行得到，再利用相似三角形的比值关系求解即可；
②利用三角函数的比值关系求出菱形的边长，再根据面积公式运算求解即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在和中
∴，
∴，
∴是菱形；
（2）①解：∵，
∴，
∴，
∵,，
∴，
∵在菱形中，，
∴，
∵，
∴；
②∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义；
2．会根据锐角函数中求锐角的度数并比较大小。