苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义第2部分-预习篇-第19讲图形的位似与用相似三角形解决问题(学生版+解析)

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1.如图，光源把一幅画投影到了墙面上，你发现了什么？
2.如图，连接OA、OB、OC，分别在线段OA、OB、OC
的反向延长线上取点A′、B′、C′，使得
，画出▲A′B′C′。
3.结合生活与实践发现，两个多边形的顶点A与A′，
B与B′，C与C′，所在的直线都经过同一点O，
并且=，像这样的两个多边形叫做
，点O为 。
小试牛刀：如图，在平面直角坐标系中，给出了格点△ABC（顶点均在正方形网格的格点上），已知点A的坐标为（﹣4，3）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．
（2）以点O为位似中心，在给定的网格中画△A2B2C2，使△ABC与△A2B2C2位似，且点A2的坐标为（8，﹣6）．
（3）△ABC与△A2B2C2的位似比是 ．
解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；
（3）△ABC与△A2B2C2的位似比是：1：2．
想一想：△ABC与△A2B2C2相似吗？
。
因此，两个位似多边形一定 ，并且它们的对应边 （或者在 ）；利用位似可以把一个图形按所给相似比 或 。
总结：位似多边形的性质：
（1） 位似多边形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 比；
（2）位似多边形上对应点和位似中心在 ；
（3）位似多边形上的对应线段 或在 ；
（4） 位似多边形是特殊的 图形，因此位似图形具有 图形的一切性质。
4.认识投影
①平行投影：一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的 .只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样在平行光的照射下，物体所产生的影称为 .由此我们可得出这样两个结论：
（1）等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.
（2）等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.
在同一时刻，不同物体的物高与影长成
②中心投影：若一束光线是从一点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为
.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论：
（1）等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.
（2）等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.
一般地，在点光源的照射下，同一物体在不同的位置，它的物高与影长不成 。
考点一:位似图形的识别
例1．下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】如图，在外任取一点，连接、、，并取它们的中点、、，连接、、得到，则下列说法错误的是（ ）
A．与是位似图形B．与是相似图形
C．与的周长比是D．与的面积比是
【变式1-2】如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为 ．

【变式1-3】如图，已知，，．

(1)求线段的长；
(2)把A、、三点的横坐标，纵坐标都乘2，得到，，的坐标，画出，并求的长；
(3)与是位似图形吗？若是，请写出位似中心的坐标，并求出位似比．
考点二：判断位似中心
例2．如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（ ）
A．点RB．点PC．点QD．点O
【变式2-1】如图，正方形网格图中的与位似，则位似中心是（ ）
A．点DB．点EC．点FD．点G
【变式2-2】如图，在边长为1的正方形网格中，两个三角形的顶点都在小正方形的顶点，且两个三角形是位似图形，点O和点P也在小正方形的顶点，则这两个三角形的位似中心是点 ．

【变式2-3】如图，与是位似图形，且位似比是．若，在图中画出位似中心，并求的长．
考点三：求位似比
例3.如图，是以点O为位似中心经过位似变换得到的，若，则的面积与的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】如图，和是以点为位似中心的位似图形，如果和的面积比为，则应将放大为原图形的（ ）倍．
A．1B．2C．3D．4
【变式3-2】如图，与位似，点为位似中心，与的面积之比为，若，则的长为 ．
【变式3-3】如图，以某点为位似中心，将进行位似变换得到，记与对应边的比为k，求位似中心的坐标和k的值．
考点四：求位似图形的对应坐标
例4．如图，在平面直角坐标系中，与的位似比是，若点，，则点的对应点的坐标为（ ）
A．B．
C．或D．或
【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，若，点的坐标是，则点的横坐标是（ ）
A．7B．8C．9D．10
【变式4-2】如图，与是以点O为位似中心的图形，且相似比为，若点B的坐标为，则点D的坐标为 ．
【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)把向左平移4个单位，再向下平移5个单位，画出平移后的；
(2)画出关于x轴对称的；
(3)画出以O点为位似中心的位似图形，使得与的位似比为，并写出各顶点的坐标．
考点五：在网格中画位似图形
例5．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以坐标原点O为位似中心作一条线段，使该线段与线段AB的相似比为，正确的画法是（ ）
A．B．
C．D．
【变式5-1】如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【变式5-2】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画出，使它与△ABC的相似比为2，且它与△ABC在位似中心O的两侧，并写出点B的对应点的坐标是 ．
【变式5-3】如图，已知在平面直角坐标系中，点、、．请按如下要求画图：
(1)将绕点逆时针旋转得到，请画出；
(2)以点为位似中心，位似比为，将在位似中心的异侧进行放大得到，请画出；
(3)内部一点的坐标为，写出在中的对应点的坐标．
考点六：相似三角形的应用
例6.如图是小孔成像原理的示意图，蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔O的距离为（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
【变式6-1】如图，课后服务课上，刘老师让王刚同学站在点处去观测外的位于点处的一棵大树（），所用工具为一个平面镜和必要的长度测量工具（、、在一直线上）．已知王刚身高（），大树高，将平面镜放置在离王刚（ ）处才能观测到大树的顶端．

A．B．C．D．
【变式6-2】物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ．
【变式6-3】在一个周末晚上，甲和乙两位同学借鉴课本中《海岛算经》所学的测量方法，利用灯光下的影子长来测量一路灯高度．如图，在一水平的人行道路上，当甲走到点处时，乙测得甲直立时身高的影子长是，然后甲从出发沿方向继续向前走到点处时，乙测得甲直立时身高的影子长是．已知甲同学直立时的身高为，求路灯离地面的高度．
1．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，的面积为1，则的面积为（ ）
A．1B．2C．4D．8
2．彭老师身高，在某一时刻测得她站在阳光下的影子长为，紧接着她把手臂竖直举起，测得影子长为，那么彭老师举起的手臂超出头顶的长度为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为（ ）
A．86B．84C．80D．78
4．如图，中，两个顶点在轴的上方，点 的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，若与的位似比是，设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，四边形与四边形位似，位似中心是点O，，则四边形与四边形的面积比为（ ）
A．B．C．D．
6．算经之首《九章算术》中有这样一题：“今有邑方不知大小，各中开门． 出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？”其大意为“今有正方形小城，不知其大小，东南西北城墙正中央各开有一城门．出北城门20步处有一棵树，出南城门14步，转而西行1775步恰好能看见那棵树．问正方形小城的边长是多少？”若设正方形小城的边长为步，则所列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为米的竹竿的影长为米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为米，一级台阶高为米，如图所示，若此时落在地面上的影长为米，则树高为（ ）
A．11.5米B．11.75米C．11.8米D．12.25米
8．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE关于原点O成位似关系，相似比为1：3，∠ACB＝∠CED＝90°，A、C、E是x轴正半轴上的点，B、D是第一象限的点，BC＝2，则点D的坐标是（ ）
A．（9，6）B．（8，6）C．（6，9）D．（6，8）
9．如图，在正方形网格图中，以为位似中心，若点是点的对应顶点，则点的对应顶点是点 ．
​
10．如图，同一时刻在阳光照射下，树的影子，小明的影子，已知小明的身高，则树高 ．
11．清朝《数理精蕴》里有一首小诗《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立．又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？如图所示，诗的意思是：有正方形的城池一座，四面城墙的正中有门，从南门口（点）直行8里有一塔（点），自西门（点）直行2里至点，切城角（点）也可以看见塔，问这座方城每面城墙的长是 里．
12．如图，与，点为位似中心，位似比为2：3．若的周长和面积都是4，则的周长是 ，面积是 ．
13．《墨子・天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为的正方形的中心为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为 ．
14．台球是用球杆在台上击球，依靠计算得分确定比赛胜负的室内高雅体育运动．如图是一张宽为m米，长为米的矩形台球桌，某球员击位于的中点E处的球，球沿射向边，然后反弹到C点的球袋，球的反弹规律满足光的反射定律．若球的速度为v米/秒，则球从出发到入袋的时间等于 （用含m和v，的式子表示）
15．西安鼓楼，位于古都西安市的中心，是全国重点文物保护单位，也是西安的标志性建筑．学校某实践小组根据课堂所学知识，想实地测量西安鼓楼的高度．如图，测量小组在点F处直立一个高的标杆，随后小组成员沿直线移动测量．成员小王从点F后退到达点G处，此时鼓楼顶端A、标杆顶端E、点G恰好在一条直线上；小王从点G继续后退到达点H处．这时，他在点H处的地面上水平放置一个平面镜．成员小李沿方向移动到点N处时，小李刚好在平面镜内看到鼓楼顶端A的像．此时测得，小李眼睛与地面的距离．已知点B、F、G、H、N在同一水平直线上，且均垂直于，求鼓楼的高度（平面镜的大小忽略不计）
16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为．
(1)将先向右平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度得到，请画出；
(2)以点B为位似中心，在所给的平面直角坐标系内，将放大为原来的2倍得到，请画出；
(3)请直接写出（2）中点的坐标．
17．已知：在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度）．
(1)若关于轴的轴对称图形为，则点的坐标是 ；
(2)以点为位似中心，在网格内画出；使与位似，且位似比为，则点的坐标是 ；
(3)的面积是 平方单位．
18．赵玲和张羽计划合作完成测量凤凰雕塑顶端到地面的高度这一任务．如图，赵玲在点处竖立一根高的标杆，张羽测出地面上的点、标杆上的点和点在一条直线上，利用皮尺测出，．张羽向后退，又测出地面上的点、标杆顶点和点在一条直线上，利用皮尺测出．已知，，点在同一水平线上，点在上，图中所有点都在同一平面内，请你根据测量过程和数据，求出凤凰雕塑顶端到地面的高度．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．了解位似图形、位似中心、位似比的概念；
2．掌握位似图形的性质，会画位似图形。
3.学会用相似三角形解决实际问题。