苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义第2部分-预习篇-第18讲相似三角形的性质(学生版+解析)

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1.回顾相似三角形的判定

2.我们知道，当D、E、F分别是三角形各边中点时，▲DEF~▲ABC，相似比是，这两个三角形的周长、面积分别有什么关系？
由题意得
所以，,它们的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方。
3.验证猜想
如果△ABC∽△A′B′C′相似比为k，那么k，
于是，，，
所以，
如图，△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比是k，AD、A′D′是对应高．
∵ △ABC∽△A'B'C'，∴∠B＝∠_B′___，∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，
∴∠ADB＝∠_A′D′B′_＝90°，∴△ABD∽△_A′D′B′______，∴
＝__k__，
k*k=k²
所以
相似三角形周长之比等于相似比，同理可得，相似多边形周长之比等于相似比；
相似三角形面积之比等于相似比的平方，同理可得，相似多边形面积之比等于相似比的平方。
4.在证明相似三角形面积的比等于相似比的平方过程中，我们发现相似三角形对应高之比等于相似比，那么对应中线、对应的角平分线之比呢？
探究一（中线）：
△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，设相似比为k，那么
∵
∴ ,
∵AD和A′D′分别是▲ABC和▲A′B′C′的中线
∴ , ,
∴
∴
∴▲ABD~
∴
结论：相似三角形对应中线的比等于__相似比_________．
探究二（角平分线）：
△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线，设相似比为k，那么
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠BAC＝∠_B′A′C′______，∠B＝__B′_______．
∵AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线，
∴ ∠BAC ， ∠B′A′C′ ;
∴∠BAD＝∠_B′A′D′_，∴△ABD∽△_A′B′D_′_，
∴ k ．
结论：相似三角形对应角平分线的比等于___相似比________．
一般地，如果△ABC∽△ A'B'C'，相似比为k，点D、D'分别在BC、B'C'上，且 ，那么 。你能类比刚才的方法说理吗？
总结：相似三角形对应____线段____的比等于相似比．
5.射影定理：母子三角形
Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
①AD²=BD•DC；②AB²=BD•BC；AC²=CD•BC．
考点一：重心的性质
例1．如图，在中，是边上的中线，是重心．如果，那么线段的长为（ ）
A．1B．2C．3D．6
【变式1-1】如图所示，在中，，点D是斜边的中点，点G是的重心，于点E，若，那么的长为（ ）．
A．1B．2C．3D．
【变式1-2】如图，在中，、分别是，的中点，与相交于点，若，则 ．
【变式1-3】阅读与思考：
(1)任务一，在小明的证明过程中，依据1和依据2的内容分别是：
依据1：______________________依据2：______________________
(2)应用
①如图，在中，点G是中的重心，连接并延长交与点E，若，求长．
②在中，中线、相交于点O，若的面积等于30，求的面积．
考点二：相似三角形的性质求解
例2.若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】如果两个相似三角形的周长比为，那么这两个相似三角形的面积比为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】已知，若与的对应边之比为，则与的面积之比为 ．
【变式2-3】如图，四边形中，，P为边上的一个动点，连接
(1)若与相似，且的长为方程的两根，求的长；
(2)若点P在线段上运动时恰好存在两个位置使得与相似，求的长．
考点三：相似三角形的性质求坐标
例3. 如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（ ）
① ② ③ ④

A．①③B．②④C．①②③D．①②③④
【变式3-1】如图，已知点A（1，0），点B（b，0）（b＞1），点P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的P点个数是（ ）

A．0B．1C．2D．3
【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点，已知点，，，是线段上一点，连接，若与相似，则的长为 ．
【变式3-3】如图，矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为，双曲线的图象经过BC的中点，且与交于点，连接
(1)求的面积
(2)若点是边上一点，且∽，求点坐标．
考点四：相似三角形的性质与判定
例4．如图，在平行四边形中，为对角线，，，，则长为（ ）
A．B．3C．9D．
【变式4-1】如图，在中，平分，交于点，作，交于点，若，，则的长为（ ）
A．B．9C．D．8
【变式4-2】如图，菱形的边在轴上，点的坐标为．分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点．连接，交于点．则点的坐标为 ．
【变式4-3】如图，在下列的正方形网格中，的顶点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中，在边上找中点P，连接，则与的数量关系是________；
(2)在图2中，在边上找一点Q，连接，使．
考点五：网格中画相似三角形
例5.如图在的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式5-1】如图，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），点都是格点，下列三角形中与相似的是（ ）

A．以点为顶点的三角形B．以点为顶点的三角形
C．以点为顶点的三角形D．以点为顶点的三角形
【变式5-2】如图，若点，，，，，，，，都是方格纸中的格点，为使，则点应是，，，四点中的 点．

【变式5-3】如图，在的方格纸中，已知格点与格点P，请按要求画与相似的格点三角形（顶点均在格点上），要求图1与图2所画的三角形不全等．
(1)在图1中画，使点M，N均落在的边上．
(2)在图2中画，使点P在的内部（不包括边上），且与组成一幅轴对称的图形．
考点六：相似三角形的动点
例6.如图所示，在中，，，是线段上任意一点，过点作，与交于点，设，，则能反映与之间关系的图象为（ ）
A．B．
C．D．
【变式6-1】如图，在矩形中，，，点P从C点出发沿对角线以1cm/s的速度向点A作匀速运动，点Q从A点出发沿以的速度向点B作匀速运动，若假设运动时间为t，则当时，t的值为（ ）
A．2sB．sC．sD．s
【变式6-2】如图，在中，，，，点Q从B出发，沿方向以的速度移动，点P从C出发，沿方向以的速度移动． 若Q、P分别同时从B、C出发，试探究∶
（1）经过 s ，的面积是面积的；
（2）经过 s，以点C、P、Q为顶点的三角形与相似．
【变式6-3】如图，已知菱形，对角线、相交于点，，．点从点A出发，以每秒4个单位的速度沿线段向点运动，同付，点从点出发，以每秒3个单位的速度沿折线向点运动，当点P、Q中有一个点达到终点时，两点同时停止运动．连接、、，设点的运动时间为秒．
(1)求线段的长；
(2)在整个运动过程中，能否成为直角三角形？若能，请求出符合题意的t的值；若不能，请说明理由；
(3)以为圆心，为半径作，当与线段只有一个公共点时，求的值或的取值范围．
1．如图，在边长为1的小正方形网格中，，相交于点O，点A，B，C，D都在这些小正方形网格的格点上，为的周长，为的周长，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．，且相似比为，则它们的面积比等于（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平行四边形中，点在上，连接，且交于点，若 ，则 与的周长之比是（ ）

A．B．C．D．
4．如图，已知内接于，为直径，点D在上，连接交于点E，再连接，此时，，若，，则的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
5．如图，正方形的边长为3，点E、F分别是边、上的点，且，，则的长是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，中，、、分别为、、的中点，为上任一点，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．无法确定
7．如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（ ）
A．B．3C．D．4
8．如图，中，，，，以点C为顶点在外部作，连接，若，则长为（ ）
A．B．C．D．
9．两个相似三角形的面积之比为，则它们的相似比为 ．
10．如图，四边形是的内接四边形，，对角线、相交于点，是直径，于点，． 若，则 的值是 ．
11．在平行四边形中，，，E是的中点，在上取一点F，使，则的长为 ．
12．如图，在平行四边形中，，对角线，相交于点，点为延长线上一点，直线分别交，于点，，若，，则的长为 ．
13．如图，在正方形中，为的中点，为的中点，的延长线与的延长线交于点，与相交于点．若，则的长为： ．
14．如图，将平行四边形绕点A逆时针旋转得到平行四边形 ，使点E落在边 上， 且点 D 巧合是的中点， 若 则 的值为 ．
15．如图，在的方格纸中，有，仅用无刻度的直尺，分别按要求作图：
(1)在图1中，找到一格点，使与全等；
(2)在图2中，在上找一点，使得．
16．如图，在等腰中，，以为直径的与交于点D，，垂足为E，的延长线与的延长线交于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为，，求的长．
17．如图所示，在矩形中，为边上一点，且．
(1)求证：；
(2)为线段延长线上一点，且满足，求证：．
18．【感知】如图1，在正方形中，、分别在边、上，于点．猜想线段与的数量关系为______；
【探究】数学小组的同学在此基础上进行了深入的探究：
（1）如图2，在正方形中，若点、、、分别在边、、、上，于点，求证：；
（2）如图3，将中的条件“在正方形中”改为“在矩形中，，”，其他条件不变，则线段与的数量关系是______；
（3）如图4，在四边形中，，，点在上，且，连结，过点作交于点，交于点，直接写出线段的长．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．了解相似三角形的性质；
2．能用相似三角形的性质解决简单问题。
三角形的重心
定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心．
三角形重心的一个重要性质：
重心与一边中点的连线的长是对应中线长的．
下面是小明证明性质的过程．
如图，在中，D、E分别是边、的中点，、相交于点G，
求证：
证明：连接，
∵D，E是边，的中点，
∴，（依据1）
∴
∴（依据2）
∴