苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义第09讲圆周角(3种题型)(学生版+解析)

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1.理解并掌握圆周角相关概念
2.探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；
1.圆周角定义：
像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

2.圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
顶点在圆上,它们的两边在圆内的部分分别是圆的弦.
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
3、 圆心角定理：
圆心角的度数等于它所对弧的度数。
推论1： 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径,高考物理。
圆周角的特点: (1)角的顶点在圆上; (2)角的两边在圆内的部分是圆的弦.
4、圆周角和圆心角相对于圆心与直径的位置关系有三种: 解题规律:
5、解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理
3.圆周角定理的推论：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
【微点拨】
(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）
一．圆周角定理（共12小题）
1．（2023•亭湖区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，∠BCD＝40°，则∠ABD 的大小为（ ）
A．60°B．50°C．45°D．40°
【分析】由圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠BAD＝∠BCD＝40°，由直角三角形的性质，即可求出∠ABD的度数．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝∠BCD＝40°，
∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝50°．
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
2．（2023•溧阳市一模）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠ABD＝54°，则∠BCD的度数是（ ）
A．36°B．40°C．46°D．65°
【分析】连接AD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可求出∠DAB＝36°，从而利用同弧所对的圆周角相等，即可解答．
【解答】解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝54°，
∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝36°，
∴∠DAB＝∠BCD＝36°，
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
3．（2023•金坛区一模）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，若∠A＝40°，∠APD＝70°，则∠B的度数是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
【分析】由三角形外角的性质求出∠C＝30°，由圆周角定理得到∠B＝∠C＝30°．
【解答】解：∵∠APD＝∠C+∠A，∠A＝40°，∠APD＝70°，
∴∠C＝∠APD﹣∠A＝70°﹣40°＝30°，
∴∠B＝∠C＝30°．
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，三角形外角的性质，关键是掌握圆周角定理，三角形外角的性质．
4．（2023•天宁区模拟）如图，在⊙O中，AB∥OC，若∠OBA＝40°，则∠BAC的度数是（ ）
A．50°B．30°C．25°D．20°
【分析】先利用平行线的性质可得∠COB＝∠OBA＝40°，然后再利用圆周角定理，进行计算即可解答．
【解答】解：∵AB∥OC，∠OBA＝40°，
∴∠COB＝∠OBA＝40°，
∴∠BAC＝∠COB＝20°，
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
5．（2023•盐都区一模）用破损量角器按如图方式测量∠ABC的度数，让∠ABC的顶点恰好在量角器圆弧上，两边分别经过圆弧上的A、C两点．若点A、C对应的刻度分别为55°，135°，则∠ABC的度数为 140° ．
【分析】先图形抽象出来，然后应用圆周角定理和圆内接四边形的性质即可解答．
【解答】解：连接OA、OC、DA、DC，设⊙O的直径为EF，如图：
由题意可知，∠AOE＝55°，∠EOC＝135°，
∴∠AOC＝∠EOC﹣∠AOE＝135°﹣55°＝80°，
∴∠ADC＝∠AOC＝40°，
∵∠ABC+∠AOC＝180°，
∴∠ABC＝140°，
故答案为：140°．
【点评】本题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，根据题意抽象出图形是解题关键．
6．（2023•苏州模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交⊙O于点C，D，连接BD．若∠A＝34°，∠AED＝87°，则∠B＝ 53 °．
​
【分析】先根据三角形的外角性质可得∠C＝∠AED﹣∠A＝53°，然后利用同弧所对的圆周角相等可得∠C＝∠B＝53°，即可解答．
【解答】解：∵∠AED是△ACE的一个外角，∠A＝34°，∠AED＝87°，
∴∠C＝∠AED﹣∠A＝53°，
∴∠C＝∠B＝53°，
故答案为：53．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
7．（2022秋•南京期末）在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．
（1）如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，AB＝24，则CD的长为 4 ．
（2）如图②，大圆的另一条弦EF交小圆于G，H两点，若AB＝EF，求证CD＝GH．
【分析】（1）根据垂径定理和勾股定理即可求出答案；
（2）利用弦，弧、圆心角、弦心距之间的关系进行解答即可．
【解答】解：（1）如图①，过点O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE＝AB＝12，CE＝DE，连接OA，OC，
在Rt△AOE中，OE2＝OA2﹣AE2，
在Rt△COE中，OE2＝OC2﹣CE2，
∴OA2﹣AE2＝OC2﹣CE2，
即132﹣122＝72﹣CE2，
解得CE＝2，
∴CD＝2CE＝4，
故答案为：4；
（2）如图②，过点O作OM⊥AB，ON⊥EF，垂足分别为M、N．
∵AB＝EF，
∴OM＝ON，
∴CD＝GH．
【点评】本题考查垂径定理，圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系，掌握垂径定理，圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系是正确解答的前提．
8．（2023•南京模拟）如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，连接AC、BD，∠B＝75°，∠A＝45°，，则弦CD＝ 2 ．
​
【分析】连接OC，过点O作OH⊥CD，垂足为H，根据垂径定理可得CD＝2CH，再根据等腰三角形的性质可得∠A＝∠ACO＝45°，从而可得∠AOC＝90°，然后利用等腰直角三角形的性质可得OA＝OC＝2，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠ACD＝∠B＝75°，从而可得∠OCD＝30°，最后在Rt△OCH中，利用含30度角的直角三角形的性质可得OH＝1，CH＝，从而可得CD＝2CH＝2，即可解答．
【解答】解：连接OC，过点O作OH⊥CD，垂足为H，
∴CD＝2CH，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO＝45°，
∴∠AOC＝180°﹣∠A﹣∠ACO＝90°，
∵，
∴OA＝OC＝＝＝2，
∵∠B＝75°，
∴∠ACD＝∠B＝75°，
∴∠OCD＝∠ACD﹣∠ACO＝30°，
在Rt△OCH中，OH＝OC＝1，CH＝OH＝，
∴CD＝2CH＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
9．（2023•苏州模拟）如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，直径CD平分∠ACE，∠ACE的一边CE与⊙O和直径AB分别交于点E，F，连接BE，且AC＝AF．
​（1）证明：BE∥CD；
（2）若CF＝2，求BF的长．
【分析】（1）先利用∠OCA＝∠A和∠OCA＝∠OCF得到∠A＝∠OCF，再根据圆周角定理得到∠E＝∠A，所以∠E＝∠OCF，然后根据平行线的判定方法得到结论；
（2）先证明∠FOC＝∠OFC得到CF＝CO＝2，再证明△FCO∽△FAC，接着利用相似三角形的性质得到即2：（2+OF）＝OF：2，然后解方程求出OF，最后计算OB﹣OF即可．
【解答】（1）证明：∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠A，
∵CD平分∠ACE，
∴∠OCA＝∠OCF，
∴∠A＝∠OCF，
∵∠E＝∠A，
∴∠E＝∠OCF，
∴BE∥CD；
（2）解：∵∠FOC＝2∠A，∠ACF＝2∠OCA，
∴∠FOC＝∠ACF，
∵AC＝AF，
∴∠ACF＝∠OFC，
∴∠FOC＝∠OFC，
∴CF＝CO＝2，
∵∠OFC＝∠CFA，∠OCF＝∠A，
∴△FCO∽△FAC，
∴CF：AF＝OF：CF，即2：（2+OF）＝OF：2，
解得OF＝﹣1或OF＝﹣﹣1（舍去），
∴BF＝OB﹣OF＝2﹣（﹣1）＝3﹣．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质．
10．（2022秋•太仓市期末）如图，⊙O的直径AB＝5，弦AC＝4，连接BC，以C为圆心，BC长为半径画弧与⊙O交于点D，连接AD，BD，BD与AC交于点E．
（1）请直接写出图中与∠CAB相等的所有角 ∠CBD，∠CAD ；
（2）求AD的长．
【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系，由CB＝CD得到＝，然后根据圆周角定理得到∠CAB＝∠CBD＝∠CAD；
（2）先公交卡圆周角定理得到∠ACB＝∠ADB＝90°，则利用勾股定理可计算出BC＝3，再证明△CBE∽△CAB，利用相似比可求出CE＝，所以AE＝，利用勾股定理可计算出BE＝，然后证明△ADE∽△BCE，则利用相似比可求出AD的长．
【解答】解：（1）∵CB＝CD，
∴＝，
∴∠CAB＝∠CBD＝∠CAD；
故答案为：∠CBD，∠CAD；
（2）∵AB为直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
在Rt△ACB中，BC＝＝＝3，
∵∠CBE＝∠CAB，∠BCE＝∠ACB，
∴△CBE∽△CAB，
∴CE：CB＝CB：CA，即CE：3＝3：4，
解得CE＝，
∴AE＝AC﹣CE＝4﹣＝，
在Rt△BCE中，BE＝＝＝，
∵∠DAE＝∠CBE，∠D＝∠C，
∴△ADE∽△BCE，
∴AD：BC＝AE：BE，即AD：3＝：，
解得AD＝，
即AD的长为．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
11．（2022秋•鼓楼区期末）如图，AB为⊙O的直径，D是弦AC延长线上一点，AC＝CD，DB的延长线交⊙O于点E，连接CE．
（1）求证∠A＝∠D；
（2）若的度数为108°，求∠E的度数．
【分析】（1）连接BC，首先证明BA＝BD，即可解决问题；
（2）根据的度数为108°，可得∠EBA＝54°，又∠EBA＝∠A+∠D，∠A＝∠D，所以，即可求出答案．
【解答】（1）证明：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴即AD⊥BC，
又AC＝CD，
∴AB＝BD，
∴∠A＝∠D；
（2）解：∵的度数为108°，
∴∠EBA＝54°，
又∠EBA＝∠A+∠D，∠A＝∠D，
∴，
∴∠E＝∠A＝27°．
【点评】本题考查圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
12．（2022秋•建邺区期末）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，，∠CAB＝32°．求∠ACD的度数．
【分析】由圆周角定理得到∠ABC＝90°，∠ADB＝58°，由三角形内角和定理求出∠DBA的度数，由圆周角定理即可求出∠ACD 的度数．
【解答】解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠CAB＝90°﹣32°＝58°，
∴∠ADB＝∠ACB＝58°，
∵＝，
∴∠DAB＝∠DBA＝（180°﹣58°）＝61°，
∴∠ACD＝∠DBA＝61°．
∴∠ACD的度数是61°．
【点评】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦的关系，掌握以上知识点是解题的关键．
二．圆内接四边形的性质（共14小题）
13．（2023•高新区校级模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD＝2∠BAD，则∠DAE的度数是（ ）
A．20°B．30°C．40°D．45°
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠BAD＝60°，根据圆周角定理得到∠BAE＝90°，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD＝180°，
∵∠BCD＝2∠BAD，
∴∠BCD＝120°，∠BAD＝60°，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BAE＝90°，
∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°，
故选：B．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理的应用，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
14．（2023•兴化市二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度数为 110 °．
【分析】根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，进而求出∠A，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝20°，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝70°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣70°＝110°，
故答案为：110．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
15．（2023•建邺区一模）如图，点A，B，C，D在⊙O上．若∠O＝∠C＝130°，则∠BAO＝ 75 °．
【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等求解即可．
【解答】解：如图：连接AD，
∵∠O＝130°，OA＝OD，
∴∠OAD＝（180°﹣130°）＝25°，
∵∠C＝130°，
∴∠BAD＝180°﹣130°＝50°，
∴∠BAO＝∠BAD+∠OAD＝25°+50°＝75°．
故答案为：75．
【点评】考查了圆的内接四边形的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
16．（2023•沭阳县模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AO、CO，若∠AOC＝112°，则∠B的度数是 124° ．
【分析】首先利用圆周角定理求的∠ADC的度数，然后利用圆内接四边形的对角互补求的答案即可．
【解答】解：∵∠AOC＝112°，
∴∠ADC＝∠AOC＝×112°＝56°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠B＝180°﹣∠ADC＝180﹣56°＝124°，
故答案为：124°．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补，难度较小．
17．（2022秋•江阴市校级月考）如图，正方形ABCD四个顶点都在⊙O上，点P是在弧BC上的一点（P点与C点不重合），则∠CPD的度数是 45° ．
【分析】连接BD，根据正方形的性质求出∠DBC＝45°，根据圆周角定理解答即可．
【解答】解：连接BD，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DBC＝45°，
由圆周角定理得：∠CPD＝∠DBC＝45°，
故答案为：45°．
【点评】本题考查的是正方形的性质、圆周角定理，根据正方形的性质求出∠DBC＝45°是解题的关键．
18．（2022秋•靖江市期末）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O．求证：∠A+∠C＝180°．
【分析】连接OB、OD，根据圆周角定理得到∠A＝∠2，∠C＝∠1，进而证明结论．
【解答】证明：如图，连接OB、OD，
由圆周角定理得：∠A＝∠2，∠C＝∠1，
∵∠2+∠1＝360°，
∴∠A+∠C＝180°．
【点评】本题考查的是圆周角定理、圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
19．（2022秋•宿城区期末）如图，四边形ABCD内接于一圆，CE是边BC的延长线．
（1）求证∠DAB＝∠DCE；
（2）若∠DAB＝60°，∠ACB＝70°，求∠ABD的度数．
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠DAB+∠DCB＝180°，根据同角的补角相等证明结论；
（2）根据圆周角定理得到∠ADB＝∠ACB＝70°，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠DAB+∠DCB＝180°，
∵∠DCE+∠DCB＝180°，
∴∠DAB＝∠DCE；
（2）解：∵∠ACB＝70°，
∴∠ADB＝∠ACB＝70°，
∴∠ABD＝180°﹣60°﹣70°＝50°．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
20．（2022秋•宿豫区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB，若，AD＝1，求CD的长度．
【分析】根据AC为⊙O的直径，可得∠ABC＝∠ADC＝90°，然后根据同弧所对的圆周角相等可得∠ACB＝∠CAB＝45°，然后根据勾股定理进行计算即可．
【解答】解：∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∵∠ADB＝∠CDB，
∴∠ACB＝∠CAB＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
在Rt△ABC中，，
在Rt△ADC中，．
【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理，熟知直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等是解本题的关键．
21．（2022秋•镇江期中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠EAD＝∠BAC，BA、CD延长线交于点E．
求证：BD＝BC．
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠BCD+∠BAD＝180°，进而证明∠BCD＝∠EAD，根据圆周角定理得到∠BDC＝∠BAC，等量代换得到∠BCD＝∠BDC，根据等腰三角形的判定定理证明结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD＝180°，
∵∠EAD+∠BAD＝180°，
∴∠BCD＝∠EAD，
∵∠EAD＝∠BAC，
∴∠BCD＝∠BAC，
∵∠BDC＝∠BAC，
∴∠BCD＝∠BDC，
∴BD＝BC．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
22．（2022秋•建邺区期中）求证：圆内接四边形的对角互补．
已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O．
求证：∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°．
证明：作直径AE，连接BE、DE．
所以∠ABE＝∠ADE＝90°．
因为∠CBE＝∠CDE，（①）
所以∠ABC+∠CDA＝∠ABE+∠EDA＝180°．
同理∠DAB+∠BCD＝180°．
（1）证明过程中依据①是 在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等 ；
（2）请给出另一种证明方法．
【分析】（1）根据圆周角定理可得答案；
（2）连接BO，DO，根据圆周角定理证得∠A＝∠2，∠C＝∠1，进而根据∠1+∠2＝360°，证得∠A+∠C＝180°即可证得结论．
【解答】证明：连接BO，DO，
由圆周角定理得：∠A＝∠2，∠C＝∠1，
∵∠1+∠2＝360°，
∴∠A+∠C＝180°，
同理∠B+∠D＝180°．
即圆内接四边形的对角互补．
【点评】本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握运用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
23．（2023•苏州一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD＝2∠BOD，则∠A的度数是（ ）
A．30°B．36°C．45°D．60°
【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠BCD＝180°，根据圆周角定理得出∠BOD＝2∠A，再求出答案即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠BCD＝2∠BOD，∠BOD＝2∠A，
∴∠BCD＝4∠A，
∴4∠A+∠A＝180°，
解得：∠A＝36°，
故选：B．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
24．（2023•鼓楼区校级三模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝120°，则∠BOD的度数为（ ）
A．60°B．70°C．120°D．150°
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠C，根据圆周角定理解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠C＝180°﹣∠A＝60°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠C＝120°，
故选：C．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
25．（2022秋•栖霞区校级期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E．
（1）求证：∠BAC＝2∠DAC；
（2）若AB＝10，CD＝5，求BC的值．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论；
（2）过A作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质得到∠BAH＝∠CAH＝∠CAB，CH＝BH，过C作CG⊥AD交AD的延长线于G，根据全等三角形的性质得到AG＝AH，CG＝CH，根据相似三角形的性质得到＝，设BH＝k，AH＝2k，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵BD⊥AC，
∴∠AEB＝∠BEC＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠CBD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣∠CBD，
∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝2∠CBD，
∵∠DAC＝∠CBD，
∴∠BAC＝2∠DAC；
（2）解：过A作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC，
∴∠BAH＝∠CAH＝CAB，CH＝BH，
∵∠BAC＝2∠DAC，
∴∠CAG＝∠CAH，
过C作CG⊥AD交AD的延长线于G，
∴∠G＝∠AHC＝90°，
∵AC＝AC，
∴△AGC≌△AHC（AAS），
∴AG＝AH，CG＝CH，
∵∠CDG＝∠ABC，
∴△CDG∽△ABH，
∴，
∴＝，
设BH＝k，AH＝2k，
∴AB＝＝k＝10，
∴k＝2，
∴BC＝2k＝4．
【点评】本题考查了圆内接四边形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
26．（2022秋•高新区期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC＝DE．
（1）求证：∠A＝∠AEB；
（2）连接OE，交CD于点F，若OE⊥CD，求∠A的度数．
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可得∠A+∠BCD＝180°，根据邻补角互补可得∠DCE+∠BCD＝180°，进而得到∠A＝∠DCE，然后利用等边对等角可得∠DCE＝∠AEB，进而可得∠A＝∠AEB；
（2）首先证明△DCE是等边三角形，进而可得∠AEB＝60°，再根据∠A＝∠AEB，可得△ABE是等腰三角形，进而可得△ABE是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠DCE+∠BCD＝180°，
∴∠A＝∠DCE，
∵DC＝DE，
∴∠DCE＝∠AEB，
∴∠A＝∠AEB；
（2）∵∠A＝∠AEB，
∴△ABE是等腰三角形，
∵EO⊥CD，
∴CF＝DF，
∴EO是CD的垂直平分线，
∴ED＝EC，
∵DC＝DE，
∴DC＝DE＝EC，
∴△DCE是等边三角形，
∴∠AEB＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠A＝60°．
【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，以及圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形对角互补．
三．相交弦定理（共5小题）
27．（2021•盐都区二模）如图，在⊙O中，弦CD过弦AB的中点E，CE＝1，DE＝3，则AB＝ 2 ．
【分析】直接利用相交弦定理得出CE×DE＝AE×BE，求出即可．
【解答】解：∵弦CD过弦AB的中点E，CE＝1，DE＝3，
∴CE•DE＝AE•BE，
∴1×3＝AE2，
解得：AE＝，
∴弦AB的长为：AB＝2AE＝2，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了相交弦定理，正确记忆相交弦定理是解题关键．
28．（2022秋•滨湖区校级期中）如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，且PD＜PC．
（1）求证：△PAD∽△PCB；
（2）若PA＝3，PB＝8，CD＝10，求PD．
【分析】（1）根据圆周角定理得出∠A＝∠C，∠D＝∠B，再根据相似三角形的判定推出即可；
（2）根据相似得出比例式，再求出答案即可．
【解答】（1）证明：∵∠A＝∠C，∠D＝∠B（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），
∴△PAD∽△PCB；
（2）解：∵△PAD∽△PCB，
∴＝，
∵PA＝3，PB＝8，CD＝10，
∴＝，
解得：PD＝4或6，
当PD＝4时，PC＝6，
当PD＝6时，PC＝4，
∵PD＜PC，
∴PD＝4．
【点评】本题考查了相交弦定理，圆周角定理，相似三角形的性质和判定等知识点，能正确运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
29．（2021秋•锡山区校级月考）如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，AE＝5，BE＝1，CD＝4，求EC的长．
【分析】设EC＝x，则ED＝CD﹣CE＝4﹣x，根据相交弦定理x（4﹣x）＝5•1，然后解一元二次方程即可．
【解答】解：设EC＝x，则ED＝CD﹣CE＝4﹣x，
根据题意得AE•BE＝CE•DE，
所以x（4﹣x）＝5•1，
整理得x2﹣4x+5＝0，
解得x＝2±，
即EC的长为2+或2﹣．
【点评】本题考查了相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．
30．（2021秋•江阴市校级月考）如图，在⊙O中，弦AD，BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB．
（1）求证：AB＝CD；
（2）如果⊙O的直径为10，DE＝1，求AE的长．
【分析】（1）欲证明AB＝CD，只需证得＝；
（2）如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．构建正方形EFOG，利用正方形的性质，垂径定理和勾股定理来求AF的长度，则易求AE的长度．
【解答】（1）证明：如图，∵AD＝BC，
∴＝，
∴﹣＝﹣，即＝，
∴AB＝CD；
（2）如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．
则AF＝FD，BG＝CG．
∵AD＝BC，
∴AF＝CG．
在Rt△AOF与Rt△COG中，，
∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），
∴OF＝OG，
∴四边形OFEG是正方形，
∴OF＝EF．
设OF＝EF＝x，则AF＝FD＝x+1，
在直角△OAF中．由勾股定理得到：x2+（x+1）2＝52，
解得 x＝3．
则AF＝3+1＝4，即AE＝AF+3＝7．
【点评】本题考查了勾股定理，正方形的判定与性质，垂径定理以及圆周角、弧、弦间的关系．注意（2）中辅助线的作法．
31．（2021秋•滨湖区校级期中）如图，已知圆O，弦AB、CD相交于点M．
（1）求证：AM•MB＝CM•MD；
（2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM＝2，求AM•MB的值．
【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等，证明△ADM∽△CBM；
（2）连接OM、OC，由于M是CD的中点，由垂径定理得OM⊥CD，利用勾股定理可求出CM的值，根据（1）的结论，求出AM•BM．
【解答】解：（1）∵∠A＝∠C，∠D＝∠B，
∴△ADM∽△CBM
∴，
即AM•MB＝CM•MD．
（2）连接OM、OC．
∵M为CD中点，
∴OM⊥CD
在Rt△OMC中，
∵OC＝3，OM＝2
∴CM＝DM＝，
由（1）知AM•MB＝CM•MD．
∴AM•MB＝•＝5．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理及垂径定理，是综合性较强的题目．（1）利用相似、圆周角定理得到相交弦定理；（2）中利用垂径定理、勾股定理和相交弦定理得到了AM与BM的积．相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．
一．选择题（共10小题）
1．（2023•锡山区模拟）如图，A、B、C、D是⊙O上四点，且点D是弧AB的中点，CD交OB于E，∠AOB＝100°，∠OBC＝55°，则∠OEC的度数为（ ）
A．90°B．80°C．70°D．60°
【分析】根据等弧所对的圆心角相等以及圆周角定理，得∠BCD＝100°÷4＝25°．再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得∠OEC＝55°+25°＝80°．
【解答】解：连接OD，
∵点D是弧AB的中点，
∴，
∵∠AOB＝100°，
∴∠BOD＝∠AOB＝50°，
∴∠BCD＝∠BOD＝25°，
∴∠OEC＝∠OBC+∠C＝55°+25°＝80°．
故选：B．
【点评】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系定理、圆周角定理以及三角形的内角和定理的推论，解题的关键是掌握并熟练运用相关的性质和定理．
2．（2023•涟水县一模）如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOB＝108°，则∠ACB的度数是（ ）
A．54°B．27°C．36°D．108°
【分析】根据圆周角定理解答即可，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．
【解答】解：∵∠AOB＝108°，
∴∠ACB＝∠AOB＝54°．
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理并灵活运用．
3．（2023•南京二模）如图，AB是半圆O的直径，C，D在半圆O上．若∠CAB＝28°，则∠ADC的度数为（ ）
A．152°B．142°C．118°D．108°
【分析】先用直径所对的圆周角是直角求出∠ABC，再用圆的内接四边形对角互补，求出∠ADC即可．
【解答】解：连接BC，
∵AB是圆的直径，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∵∠CAB＝28°，
∴∠ABC＝62°，
∵点A，B，C，D四点共圆，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣62°＝118°，
故选：C．
【点评】此题是圆周角定理，主要考查了直径所对的圆周角是直角，圆的内接四边形对角互补，解本题的关键是圆的内接四边形的对角互补的应用．
4．（2023•如皋市一模）如图，A，B，C为⊙O上三点，∠AOC＝100°，则∠ABC的度数为（ ）
A．130°B．125°C．100°D．80°
【分析】首先在上取点D，连接AD，CD，由圆周角定理即可求得∠D的度数，然后由圆的内接四边形的性质，求得∠ABC的度数．
【解答】解：如图，在优弧上取点D，连接AD，CD，
∵∠AOC＝100°，
∴∠ADC＝∠AOC＝50°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝130°．
故选：A．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
5．（2023•铜山区一模）下列说法中，正确的是（ ）①对角线垂直且互相平分的四边形是菱形；②对角线相等的四边形是矩形；③同弧或等弧所对的圆周角相等；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．
A．①④B．②③C．①③④D．②③④
【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，对角线相等的平行四边形为矩形，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，弧分为优弧、劣弧、半圆弧分别判断即可．
【解答】解：①、对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形为菱形，故该项正确；
②、对角线相等的平行四边形为矩形，故该选项错误；
③、同弧或等弧所对的圆周角相等，故该选项正确；
④、弧分为优弧、劣弧、半圆弧，则半圆是弧，但弧不一定是半圆，故该项正确；
故选：C．
【点评】本题考查基本概念，熟记知识点是解题关键．
6．（2023•徐州模拟）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠ACB＝39°，则∠AOB的度数为（ ）
A．78°B．61°C．76°D．51°
【分析】根据圆周角定理即可得出答案．
【解答】解：∵∠ACB＝∠AOB，∠ACB＝39°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝2×39°＝78°．
故选：A．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
7．（2023•如东县一模）如图，AB，BC为⊙O的两条弦，连接OA，OC，点D为AB的延长线上一点，若∠CBD＝62°，则∠AOC的度数为（ ）
A．100°B．118°C．124°D．130°
【分析】根据∠CBD的度数可先求出弧AC所对应的圆周角的度数，进而可得答案．
【解答】解：如图，在优弧AC上取点P，连接PA，PC，
∵∠CBD＝62°，
∴∠CPA＝62°，
∴∠AOC＝2∠APC＝124°，
故选：C．
【点评】本题考查圆内接四边形的性质与圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
8．（2023•新华区校级模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝1，则⊙O的半径为（ ）
A．4B．C．D．
【分析】先根据圆内接四边形对角互补得出∠ADC＝45°，由圆周角定理得出∠AOC＝90°，根据OA＝OC可得出答案．
【解答】解：连接OA，OC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，
∴∠ADC＝45°，
∴∠AOC＝90°，
由勾股定理得：OA2+OC2＝AC2，
∵OA＝OC，AC＝1，
∴OA2+OC2＝12，
∴2OA2＝1，
∴OA＝，
∴⊙O的半径为．
故选：D．
【点评】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角与圆心角的关系，解题的关键是熟练运用相关定理．
9．（2023•连云港二模）小明用一个破损的量角器按照如图所示的方式测量∠ABC的度数，让∠ABC的顶点恰好在量角器的圆弧上，两边分别经过圆弧上的A、C两点．若点A、C对应的刻度分别为55°，135°，则∠ABC的度数为（ ）
A．135°B．140°C．145°D．150°
【分析】如图，连接OA，OC，DA，DC，设⊙O的直径为EF，可求出∠AOC＝80°，即可得∠ADC＝40°，进一步可求出∠ABC＝140°．
【解答】解：连接OA，OC，DA，DC，设⊙O的直径为EF，如图，
∵∠AOE＝55°，∠EOC＝135°，
∴∠AOC＝∠EOC﹣∠AOE＝135°﹣55°＝80°，
∴，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣40°＝140°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，从实际问题中抽象出圆周角定理模型是解题的关键．
10．（2023•鼓楼区校级二模）如图，点A，B，C都在⊙O上，∠C＝40°，则∠AOB的度数为（ ）
A．20°B．40°C．60°D．80°
【分析】根据圆周角定理的含义可得答案．
【解答】解：∵∠C＝40°，
∴∠AOB＝2∠C＝80°，
故选：D．
【点评】本题考查的是圆周角定理的应用，熟记在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是其所对的圆心角的一半．
二．填空题（共8小题）
11．（2023•姑苏区校级二模）如图，O、B两点是线段AC的三等分点，以AB为直径作⊙O，点E为⊙O上一点，连接CE，交⊙O于点D，连接BD、AE，若点D恰为线段CE中点且BD＝2，则△AEC周长为 12+6 ．
【分析】连接AD，交OE于F，如图，先证明BD为△OCE的中位线，则OE＝2BD＝4，再根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，则∠AFO＝90°，OF为△ABD的中位线，OF＝BD＝1，则EF＝OE﹣OF＝3，再利用勾股定理计算出AD＝2，则AF＝，再利用勾股定理求出AE，ED，即可求解．
【解答】解：连接OE、AD，如图，设⊙O的半径为r，
∵O、B两点是线段AC的三等分点，
∴OB＝CB，
∵点D恰为线段CE中点，
∴BD为△OCE的中位线，
∴OE＝2BD＝4，OE∥BD，
∵AB为直径，O、B两点是线段AC的三等分点，
∴∠ADB＝90°，AB＝2OE＝8，AC＝12，
在Rt△ABD中，AD＝＝＝2，
∵OA＝OB，OE∥BD，
∴∠AFO＝90°，OF为△ABD的中位线，
OF＝BD＝1，AF＝DF＝AF＝，
∴EF＝OE﹣OF＝3，
∴AE＝ED＝＝＝2，
∴CE＝2DE＝4，
∴△AEC周长为AE+CE+AC＝2+4+12＝12+6，
故答案为：12+6．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了勾股定理和三角形的中位线定理．
12．（2023•盐都区一模）如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝130°，则∠ABC＝ 115 °．
【分析】先作出弧AC所对的圆周角∠D，如图，根据圆周角定理得到∠D＝∠AOC＝65°，然后根据圆内接四边形的性质求∠ABC的度数．
【解答】解：∵∠D为弧AC所对的圆周角，
∴∠D＝∠AOC＝＝65°，
∵∠D+∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣65°＝115°．
故答案为：115．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆内接四边形的性质．
13．（2023•赣榆区一模）如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若∠ABC＝38°，则∠BDC的度数为 52° ．
【分析】连接AC．由直径所对圆周角为直角可得出∠ACB＝90°，从而可求出∠BAC＝52°．再结合同弧所对圆周角相等即得出∠BDC＝∠BAC＝52°．
【解答】解：如图，连接AC．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∵∠ABC＝38°，
∴∠BAC＝90°﹣38°＝52°．
∵，
∴∠BDC＝∠BAC＝52°．
故答案为：52°．
【点评】本题考查圆周角定理的推论．连接常用的辅助线是解题关键．
14．（2023•南京一模）如图，在⊙O中，C为上的点，．若∠ACB＝120°，则∠OBC＝ 50° ．
【分析】在优弧AB上取一点D，连接AD，BD，OC，根据圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：在优弧AB上取一点D，连接AD，BD，OC，
∵∠ACB＝120°，
∴∠D＝180°﹣∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝2∠D＝120°，
∵，
∴∠BOC＝2∠AOC，
∴∠BOC＝80°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查了圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
15．（2023•工业园区校级二模）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，，以AD为直径作⊙O，E为BC的中点，AE交⊙O于F，连CF，则CF的长为 2 ．
【分析】连接DF，如图，先根据圆周角定理得到∠AFD＝90°，再利用正切的定义求出∠BAE＝30°，则∠DAF＝60°，所以∠ADF＝30°，∠FDC＝60°，接着计算出DF＝AF＝2，然后证明△CDF为等边三角形，所以CF＝DF＝2．
【解答】解：连接DF，如图，
∵AD为直径，
∴∠AFD＝90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CD＝AB＝2，BC＝AD＝4，∠BAD＝90°，
∵E为BC的中点，
∴BE＝2，
在Rt△ABE中，∵tan∠BAE＝＝＝，
∴∠BAE＝30°，
∴∠DAF＝60°，
∴∠ADF＝30°，
在Rt△ADF中，∵AF＝AD＝2，
∴DF＝AF＝2，
∵∠FDC＝60°，DC＝DF＝2，
∴△CDF为等边三角形，
∴CF＝DF＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了圆周角定理：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了矩形的性质和解直角三角形．
16．（2023•姑苏区校级一模）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠OCD＝25°，连接AD，则∠BAD＝ 20 °．
【分析】由直角三角形的性质得出∠ADC＝45°，由等腰三角形的性质得出∠ODC＝∠OCD＝25°，求出∠ADO＝20°，得出∴∠BAD＝∠ADO即可得出答案．
【解答】解：连接OD，如图：
∵OC⊥AB，
∴∠AOC＝90°，
∴∠ADC＝∠AOC＝45°，
∵∠OCD＝25°，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD＝25°，
∵∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝45°﹣25°＝20°，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ADO＝20°，
故答案为：20．
【点评】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
17．（2023•溧阳市一模）如图，正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，与以CD为直径的半圆交于点F，
连接AF并延长交BC于点P，则的值 ．
【分析】连接CF，设正方形的边长是2a，可以证明△DCF∽△DEC，得到CD：DE＝FD：DC，因此2a：a＝FD：2a，即可求出DF＝a，得到EF的长，由△PEF∽△ADF，得到PE：AD＝EF：DF＝1：4，因此PE＝AD＝a，得到PB＝BE+PE＝a，即可求出＝．
【解答】解：连接CF，
设正方形的边长是2a，
∵CD是半圆的直径，
∴∠DFC＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCE＝90°，AD＝CD＝BC＝2a，
∵E是BC中点，
∴BE＝CE＝BC＝a，
∴DE＝＝a，
∵∠CDF＝∠CDE，∠DFC＝∠DCE，
∴△DCF∽△DEC，
∴CD：DE＝FD：DC，
∴2a：a＝FD：2a，
∴DF＝a，
∴EF＝DE﹣DF＝a，
∵EP∥AD，
∴△PEF∽△ADF，
∴PE：AD＝EF：DF＝1：4，
∴PE＝AD＝a，
∴PB＝BE+PE＝a，
∴＝．
故答案为：．
【点评】本题考查圆周角定理，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，关键是由以上知识点证明PE＝AD．
18．（2023•武进区一模）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边上一点，以AB为直径在正方形内作半圆O，将△DCE沿DE翻折，点C刚好落在半圆O的点F处，则CF的长为 ．
【分析】连接DO，OF，首先根据SSS定理，可以判定△DAO≌△DFO，从而可以得到∠DFO的度数，再根据折叠的性质可知∠DFE＝90°，从而可以得到点O、F、E三点共线，然后根据勾股定理，即可求得CE的长，再根据折叠的性质，可得DC⊥CF，利用解直角三角形，即可求解．
【解答】解：如图：连接DO，OF，DE与CF相交于点G，
∵四边形ABCD是正方形，将△DCE沿DE翻折得到△DEF，
∴DC＝DA，DC＝DF，DE垂直平分CF，
∴DA＝DF，
在△DAO与△DFO中，
．
∴△DAO≌△DFO（SSS），
∴∠A＝∠DFO，
∵∠A＝90°，
∴∠DFO＝90°，
又∵∠DFE＝∠C＝90°，
∴∠DFO＝∠DFE＝90°，
∴点O、F、E三点共线，
设CE＝EF＝x，则OE＝OF+EF＝1+x，BE＝2﹣x，OB＝1，
∵∠OBE＝90°，
∴OB2+BE2＝OE2，
∴12+（2﹣x）2＝（1+x）2，
解得，
即，
∵DE垂直平分CF，
∴CF＝2CG，∠DGC＝90°，
∵∠DCB＝90°，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理，求一个角的正弦值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
三．解答题（共7小题）
19．（2022秋•淮安区校级期末）如图，四边形ABCD的顶点都在同一个圆上，且∠A：∠B：∠C＝2：3：4．
（1）求∠A、∠B的度数；
（2）若D为的中点，AB＝4，BC＝3，求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质求出∠A、∠B的度数；
（2）连接AC，根据勾股定理求出AC，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理得到AD＝CD，根据勾股定理、三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：（1）设∠A、∠B、∠C分别为2x、3x、4x，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，
∴2x+4x＝180°，
∴x＝30°，
∴∠A、∠B的度数分别为60°、90°；
（2）连接AC，
∵∠B＝90°，
∴AC为圆的直径，AC＝＝5，△ABC的面积＝×3×4＝6，∠D＝90°，
∵点D为的中点，
∴AD＝CD＝AC＝，
∴△ADC的面积＝××＝，
∴四边形ABCD的面积＝6+＝．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆心角、弧、弦之间的关系定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
20．（2022秋•苏州期末）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D，连接BD．
（1）求证：∠CBD＝∠BAD；
（2）求证：BD＝DE；
（3）若，，求BC的长．
【分析】（1）根据AE平分∠BAC，可得∠BAD＝∠CAD，再由圆周角定理可得∠CBD＝∠CAD，即可；
（2）由直径所对圆周角为直角可知∠ADB＝90°．根据角平分线的性质可知∠BAE＝∠CAE，∠ABE＝∠CBE．根据同弧所对圆周角相等得出∠CAE＝∠CBD，最后由三角形外角性质结合题意即可证明∠BED＝∠EBD，得出BD＝ED，即说明△BDE为等腰直角三角形；
（3）连接OD，交BC于点F．由∠BAD＝∠CAD，说明，即可由垂径定理得出OD⊥BC．由（2）得△BDE为等腰直角三角形，，得出BD＝DE＝2，再由两次勾股定理建立方程得出，继续利用勾股定理即可求解．
【解答】（1）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠CBD＝∠CAD，
∴∠CBD＝∠BAD；
（2）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∵AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAE，∠ABE＝∠CBE．
∵，
∴∠CAE＝∠CBD．
∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠EBD＝∠CBD+∠CBE，
∴∠BED＝∠EBD，
∴BD＝ED；
（3）解：如图，连接OD，交BC于点F．
∵∠BAD＝∠CAD，
∴，
∴OD⊥BC，BF＝CF．
∵，
∴，
由（2）得△BDE为等腰直角三角形，，
∴BD2+DE2＝BE2，
解得：BD＝DE＝2，
在Rt△OBF中，BF2＝OB2﹣OF2，
在Rt△BDF中，，
∴
解得：，
∴，
∴．
【点评】本题考查圆周角定理，等腰直角三角形的判定，勾股定理，垂径定理等知识．熟练掌握圆的相关知识，并会连接常用的辅助线是解题关键．
21．（2022秋•高新区校级月考）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径作半圆O，分别交BC，AC于点D，E．
（1）求证：BD＝DC．
（2）若∠BAC＝40°，求所对的圆心角的度数．
【分析】（1）连接AD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，再利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答；
（2）连接OD，OE，利用等腰三角形的三线合一性质可得∠DAC＝20°，然后利用圆周角定理可得∠DOE＝2∠DAE＝40°，即可解答．
【解答】（1）证明：连接AD，
∵AB是半⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD；
（2）解：连接OD，OE，
∵AB＝AC，BD＝DC，
∴∠DAC＝∠BAC＝20°，
∴∠DOE＝2∠DAE＝40°，
∴所对的圆心角的度数为40°．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22．（2022秋•海陵区校级期末）如图，点A在y轴正半轴上，点B是第一象限内的一点，以AB为直径的圆交x轴于D，C两点．
（1）OA与OD满足什么条件时，AC＝BC，写出满足的条件，并证明AC＝BC；
（2）在（1）的条件下，若OA＝1，，求CD长．
【分析】（1）连接AD，当OA＝OD时，由圆周角定理，圆内接四边形的性质可以证明AC＝BC；
（2）由勾股定理求出AD的长，由圆周角定理，可以推出△AOC∽△ADB得到OC：DB＝AO：AD，即可求出DC的长．
【解答】解：（1）连接AD，
当OA＝OD时，AC＝BC，
证明：∵∠AOD＝90°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴∠ODA＝45°，
∴∠ODA＝∠ABC＝45°，
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝45°，
∴∠BAC＝∠ABC，
∴AC＝BC；
（2）∵AB是圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠AOC＝∠ADB＝90°，
∵∠ACO＝∠ABD，
∴△AOC∽△ADB，
∴OC：DB＝OA：AD，
∵AD＝OA＝，
∴OC：3＝1：，
∴OC＝3，
∴DC＝OC﹣OD＝3﹣1＝2．
【点评】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
23．（2023•沭阳县模拟）如图，已知AC是⊙O的直径，AB，CD是⊙O中的两条弦，且AB∥CD，连结AD，BC．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠BAC＝30°，⊙O的直径为10，求矩形ABCD的面积．
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABC＝∠ADC＝90°，再利用平行线的性质可得∠BCD＝90°，然后利用矩形的判定即可解答；
（2）在Rt△ABC中，利用含30度角的直角三角形的性质可得BC＝5，AB＝5，然后利用矩形的面积公式进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠BCD＝180°﹣∠B＝90°，
∴四边形ABCDABCD是矩形；
（2）解：∵∠B＝90°，∠BAC＝30°，AC＝10，
∴BC＝AC＝5，AB＝BC＝5，
∴矩形ABCD的面积＝AB•BC
＝5×5
＝25，
∴矩形ABCD的面积为25．
【点评】本题考查了圆周角定理，矩形的判定与性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握圆周角定理，以及矩形的判定与性质是解题的关键．
24．（2022秋•姑苏区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，K为弧AC上一动点，AK，DC的延长线相交于点F，连接CK，KD．
（1）求证：∠AKD＝∠CKF；
（2）已知AB＝8，CD＝4，求∠CKF的大小．
【分析】（1）连接AD、AC．根据“圆内接四边形对角互补”以及同角得到补角相等，推知∠CKF＝∠ADC；然后由圆心角、弧、弦间的关系以及圆周角定理证得∠ADC＝∠AKD；最后根据图中角与角间的和差关系证得结论；
（2）连接OD．利用垂径定理知DE＝CE＝CD＝2，然后在Rt△ODE中根据勾股定理求得OE＝2，最后在Rt△ADE中利用三角函数的定义求得tan∠ADE＝，由等量代换知∠CKF＝60°．
【解答】（1）证明：连接AD、AC，
∵∠CKF是圆内接四边形ADCK的外角，
∴∠CKF+∠AKC＝180°，∠AKC+∠ADC＝180°
∴∠CKF＝∠ADC，
∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴＝，
∴＝，
∴∠ADC＝∠AKD，
∴∠AKD＝∠CKF；
（2）解：连接OD，
∵AB为⊙O的直径，AB＝8，
∴OD＝OA＝4，
∵弦CD⊥AB，CD＝4，
∴DE＝CE＝CD＝2，
在Rt△ODE中，OE＝＝2，
∴AE＝6，
在Rt△ADE中，tan∠ADE＝＝＝，
∴∠ADE＝60°，
∵∠CKF＝∠ADE＝60°．
【点评】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、垂径定理、勾股定理以及解直角三角形等知识，熟练运用有关知识是解题的关键．
25．（2023•姑苏区校级一模）我们给出定义：如果三角形存在两个内角α与β满足2a+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．已知△ABC为“准互余三角形”，并且∠A＞∠B＞∠C．
（1）如图①，若∠B＝60°且，求边BC的长；
（2）如图②，∠B＞45°，以边AC为直径作⊙O，交BC于点D，若BD＝2，BC＝7，试求⊙O的面积．
【分析】（1）利用新定义计算出∠ACB＝15°，过A点作AH⊥BC于H点，过C点作CD⊥AB于D点，如图①，先计算出BH＝，则AH＝BH＝，再证明∠BCD＝30°，CA平分∠BCD，根据角平分线的性质得到AD＝AH＝，所以BD＝+，然后在Rt△BCD中利用含30度直角三角形三边的关系得到BC的长；
（2）延长BA交⊙O于E点，连接CE、AD，如图②，利用圆周角定理得到AC为直径，再利用新定义计算出∠ACB＝∠ACE，即CA平分∠BCE，所以AE＝AD，接着证明∠CAE＝∠CAD得到CE＝CD＝5，于是利用勾股定理可计算出BE＝2，设AE＝x，则AB＝2﹣x，AD＝x，在Rt△ABD中得到22+x2＝（2﹣x）2，解方程得到AD＝，然后在Rt△ACD中利用勾股定理计算出AC，从而得到⊙O的面积．
【解答】解：（1）∵∠BAC＞∠B＞∠ACB，△ABC为“准互余三角形”，
∴2∠C+∠B＝90°，
即2∠ACB+60°＝90°，
∴∠ACB＝15°，
过A点作AH⊥BC于H点，过C点作CD⊥AB于D点，如图①，
在Rt△ABH中，∵BH＝AB＝，
∴AH＝BH＝，
∵∠BCD＝90°﹣∠B＝30°，
∴CA平分∠BCD，
∴AD＝AH＝，
∴BD＝+，
在Rt△BCD中，∵∠BCD＝30°，
∴BC＝2BD＝2+3；
（2）延长BA交⊙O于E点，连接CE、AD，如图②，
∵AC为直径，
∴∠AEC＝∠ADC＝90°，
∵∠B＞45°，△ABC为“准互余三角形”，
∴2∠ACB+∠B＝90°，
∵∠B+∠BCE＝90°，
∴∠ACB＝∠ACE，
即CA平分∠BCE，
∴AE＝AD，
∵BD＝2，BC＝7，
∴CD＝5，
∵∠CAE＝∠CAD，
∴CE＝CD＝5，
在Rt△BCE中，BE＝＝＝2，
设AE＝x，则AB＝2﹣x，AD＝x，
在Rt△ABD中，∵BD2+AD2＝AB2，
∴22+x2＝（2﹣x）2，
解得x＝，
在Rt△ACD中，AC2＝52+（）2＝，
∴⊙O的面积＝π×AC2＝π．
【点评】本题考查了圆周角定理：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了角平分线的性质和勾股定理．
一．选择题
1．如图，△ABC的顶点均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝84°，则∠AOC的度数是（ ）
A．45°B．28°C．56°D．60°
【分析】根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得到∠AOC＝2∠ABC，代入∠ABC+∠AOC＝84°，求出∠ABC的度数，从而得到∠AOC的度数．
【解答】解：∵∠ABC是所对的圆周角，
∴∠AOC＝2∠ABC，
∵∠ABC+∠AOC＝84°，
∴3∠ABC＝84°，
∴∠ABC＝28°，
∴∠AOC＝28°×2＝56°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键．
2．如图，已知⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E，∠AOD＝128°，∠E＝40°，则∠BDC的度数是（ ）
A．16°B．20°C．24°D．32°
【分析】根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出∠ABD的度数，根据∠ABD是△BDE的外角即可出答案．
【解答】解：∵∠ABD是所对的圆周角，
∴∠ABD∠AOD128°＝64°，
∵∠ABD是△BDE的外角，
∴∠BDC＝∠ABD﹣∠E＝64°﹣40°＝24°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键．
3．如图，在⊙O中，弦AC，BD交于点E，连接AB、CD，在图中的“蝴蝶”形中，若AE，AC＝5，BE＝3，则BD的长为（ ）
A．B．C．5D．
【分析】根据题意求出EC，根据相交弦定理计算即可．
【解答】解：EC＝AC﹣AE，
由相交弦定理得，AE•EC＝DE•BE，
则DE，
∴BD＝DE+BE，
故选：B．
【点评】本题考查的是相交弦定理，掌握圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等是解题的关键．
4．如图，点A，B在以CD为直径的半圆上，B是的中点，连结BD，AC交于点E，若∠C＝38°，则∠CED的度数是（ ）
A．115°B．116°C．118°D．120°
【分析】设半圆的圆心为O，连结AO，BO，BC，根据直径所对的圆周角是直角得到∠CBD＝90°，根据在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等得到∠BOC＝∠AOB，根据等腰三角形两底角相等得到∠A＝∠ACO＝38°，求出∠AOC的度数，进而得到∠BOC＝∠AOB的度数，根据圆周角定理得到∠ACB∠AOB的度数，最后根据三角形外角的性质即可得到∠CED＝∠ACB+∠CBD的度数．
【解答】解：如图，设半圆的圆心为O，连结AO，BO，BC，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD＝90°，
∵B是的中点，
∴∠BOC＝∠AOB，
∵OA＝OC，∠ACO＝38°，
∴∠A＝∠ACO＝38°，
∴∠AOC＝180°﹣38°﹣38°＝104°，
∴∠BOC＝∠AOB＝52°，
∵∠ACB是所对的圆周角，
∴∠ACB∠AOB52°＝26°，
∵∠CED是△BCE的外角，
∴∠CED＝∠ACB+∠CBD＝26°+90°＝116°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理，遇到弧的中点，经常转化为圆心角相等或圆周角相等，这是解题的关键．
5．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠A＝50°，则∠BCD的度数为（ ）
A．50°B．80°C．100°D．130°
【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠BCD＝180°，代入求出即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠A＝50°，
∴∠BCD＝130°，
故选：D．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质的应用，能根据性质得出∠A+∠BCD＝180°是解此题的关键．
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点，若∠B＝70°，则∠CAD的度数为（ ）
A．70°B．55°C．35°D．20°
【分析】根据∠B度数求出ADC的度数，再求出的度数，再求出∠CAD的度数即可．
【解答】解：∵∠B＝70°，
∴ADC的度数是140°，
∵D是的中点，
∴和的度数都是70°，
∴∠CAD70°＝35°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能熟记圆周角定理是解此题的关键．
二．填空题
7．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若AP＝5，BP＝4，CP＝3，则DP为 ．
【分析】根据相交弦定理列式计算即可．
【解答】解：由相交弦定理得，PA•PB＝PC•PD，
∴5×4＝3×DP，
解得，DP，
故答案为：．
【点评】本题考查的是相交弦定理的应用，掌握圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等是解题的关键．
8．如图，点A，B，C都在⊙O上，∠AOC：∠BOC＝2：5，OA∥BC，则∠ABC＝ °．
【分析】根据圆周角定理及三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA，
∵OA∥BC，
∴∠A＝∠ABC，
∵∠AOC＝2∠ABC，∠AOC：∠BOC＝2：5，
∴∠BOC＝5∠ABC，
∴∠AOB＝7∠ABC，
在△AOB中，∠A+∠AOB+∠OBA＝180°，
∴9∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝20°，
故答案为：20．
【点评】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
9．如图已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数是 ．
【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝70°，
∴∠ADC＝110°，
故答案为：110°．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
10．如图，点A，B，C，D在⊙O上，OA⊥BC，垂足为E．若∠ADC＝30°，BC＝4，则AE＝ ．
【分析】连接OC，根据垂径定理求出CE＝BE，根据圆周角定理求出∠AOC，解直角三角形求出OC和OE，再求出答案即可．
【解答】解：连接OC，
∵OA⊥BC，OA过圆心O，BC＝4，
∴∠OEC＝90°，CE＝BE＝2，
∵∠ADC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝60°，
∴sin∠AOC，
∴sin60°，
解得：OC＝4，
∵∠BCO＝90°﹣60°＝30°，
∴OEOC＝2，
∴AE＝4﹣2＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形等知识点，能求出CE＝BE是解此题的关键．
11．如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点P是优弧APB上的动点，∠P＝45°，连接PA、PB，AC是△ABP的中线，
（1）若∠CAB＝∠P，则AC＝ ；
（2）AC的最大值＝ ．
【分析】（1）作BH⊥AC，根据△BAC∽△BPA，求出BC＝4，再证明H和C重合即可得到答案；
（2）确定点C的运动轨迹，轨迹点圆关系找到AC的最大值就是AC'长，再计算求解．
【解答】解：如图1，作BH⊥AC，
∵∠B＝∠B，∠BAC＝∠P，
∴△BAC∽△BPA，
∴，
∴BA2＝BC•BP，
∵AC是△ABP的中线，
∴BP＝2BC，
∴，
∴BC＝4，
在Rt△ABH中，∠BAC＝45°，AB＝4，
∴BH＝4，
又∵BC＝4，
∴点H和点C重合，
∴AC＝AH＝4．
故答案为4．
（2）如图2，
∵点P的运动轨迹是圆，
∴点C的运动轨迹是OB为直径的圆，
∴当AC'经过圆心O'时最大．
∵∠P＝45°，
∴∠AOB＝90°，
又∵AO＝4，OO'＝2，
∴AO'＝2，
∵O'C'＝2，
∴AC'＝2+2，
∴AC的最大值为2+2．
故答案为2+2．
【点评】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和圆中最值问题，解题的关键是，确定AC最大时点C的位置．
三．解答题（共6小题）
12．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，C、D是上两点，过点D作DE∥OC交OB于E点，在OD上取点F，使OF＝DE，连接CF并延长交OB于G点．
（1）求证：△OCF≌△DOE；
（2）若C、D是AB的三等分点，：
①求∠OGC；
②请比较GE和BE的大小．
【分析】（1）根据平行可得∴∠COD＝∠ODE，再由于OC＝OD，OF＝DE，即可得证；
（2）①先根据C、D是弧AB的三等分点，得到∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝30，∠COG＝60°，再根据全等得到∠OCF＝30°，从而得到∠OGC的值；
②利用勾股定理和全等三角形的性质即可得到OG、OF、OE的值，进而可求出GE，BE值，即可判断出大小．
【解答】解：（1）∵DE∥OC，
∴∠COD＝∠ODE，
在△OCF和△DOE中，

∴△OCF≌△DOE（SAS）；
（2）①∵C、D是的三等分点，∠AOB＝90°，
∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝30°，
∵△OCF≌△DOE，
∴∠OCF＝∠DOE＝30°，
∵∠COG＝∠COD+∠DOB＝60°，
∴∠OGC＝90°；
②在Rt△OGC中，∠OCG＝30°，，
∴，
又∵∠DOE＝30°，
∴OF＝2，
∵∠OCF＝∠COF＝30°，
∴CF＝OF＝2，
∵△OCF≌△DOE，
∴OE＝CF＝2，
∴，，
∵，
∴BE＞GE．
【点评】本题考查圆周角的定理，涉及到全等三角形的性质与判定，平行线的性质，勾股定理等，解题关键是灵活运用所学几何基础进行推理计算．
13．如图，已知点C在以AB为直径的半圆O上，点D为弧BC中点，连结AC并延长交BD的延长线于点E，过点E作EG⊥AB，垂足为点F，交AD于点G，连结OG，DG＝1，DB＝2．
（1）求证：AE＝AB．
（2）求FB的长．
（3）求OG的长．
【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ADB＝90°，由点D为弧BC中点，可得∠CAD＝∠BAD，则可证明△AED≌△ADB，即可得出答案；
（2）根据题意可证明△EDG∽△EFB，则，根据勾股定理可得EF，代入计算即可得出答案；
（3）在Rt△EFB中，根据已知条件可算出EF的长，在Rt△EGD中，可算出EG的长，由GF＝EF﹣EG即可算出GF的长，由△EFB∽△ADB，可得，代入计算可算出AD的长，在Rt△ADB中，可算出AB的长，即可算出OB的长，根据OF＝OB﹣FB即可算出OF的长，在Rt△OGF中根据勾股定理即可得出答案．
【解答】解：（1）∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵，
∴∠CAD＝∠BAD，
在△AED和△ADB中，
，
∴△AED≌△ADB（ASA），
∴AE＝AB．
（2）∵∠GED＝∠FEB，∠EDG＝∠EFB＝90°，
∴△EDG∽△EFB，
∴，
∵ED＝DB＝2，EF，
∴，
解得：FB．
（3）在Rt△EFB中，
∵EB＝4，FB，
∴EF，
在Rt△EGD中，
EG，
∴GF＝EF﹣EG，
∵△EFB∽△ADB，
∴，
∴，
∴AD＝4，
在Rt△ADB中，
AB2，
∴OB，
∴OF＝OB﹣FB，
在Rt△OGF中，
OG．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理及相似三角形，熟练掌握圆周角定理，勾股定理及相似三角形相关知识进行求解是解决本题的关键．
14．已知：Rt△ACB中，∠C＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于E，点F为弧EC的中点，OF的延长线交CB于D．
（1）求证：CD＝BD；
（2）连接EC交OD于G，若AC＝6，CD＝4，求GF的长．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠AEC＝90°，F为弧EC的中点得到∠OGC＝90°，从而得到OD∥AB，从而根据平行线分线段成比例即可得证；
（2）在Rt△OCD中，勾股定理得出OD长，等面积法得到CG长，从而可在Rt△OCG中勾股定理求出OG，即可得GF的长．
【解答】（1）证明∵AC是直径，
∴∠AEC＝90°，
∵F为弧EC的中点，
∴OF⊥CE，
∴∠OGC＝90°，
∴∠AEC＝∠OGC，
∴OD∥AB，
∴，
∴CD＝BD；
（2）解：∵AC＝6，
∴OC＝3，
在Rt△OCD中，OD5，
∵，
∴CG，
在Rt△OCG中，OG，
∴GF＝OF﹣OG．
【点评】本题考查垂径定理及圆周角定理，难度一般，解题关键是根据90°得到平行．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆分别交AC，BC于点D、E，过点A作AF∥BC交圆于点F，连接DE、EF．求证：
（1）四边形ACEF是平行四边形；
（2）EF平分∠BED．
【分析】（1）连接AE，BF，如图，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．可得∠AEB＝90°，根据等腰三角形的性质可得，CE＝BE，根据矩形的判定方法∠FAE＝∠BFA＝∠BEA＝90°，可得四边形FAEB是矩形，即可得出FA＝CE，由已知条件AF∥BC即可得出答案；
（2）根据圆内接四边形性质可得∠AFE+∠ADE＝180°，由邻补角定义可得∠CDE+∠ADE＝180°，即可得出∠CDE＝∠AFE，由（1）中结论可得EF∥AC，可得∠FED＝∠CDE，即可得出∠FED＝∠AFE，再由AF∥BC，可得∠FEB＝∠AFE，即可得出∠BEF＝∠FED，即可得出答案．
【解答】证明：（1）连接AE，BF，如图，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，BE＝CE．
∵AE∥BC，
∴∠AEC＝∠EAF＝90°，
∴∠FAE＝∠BFA＝∠BEA＝90°，
∴四边形FAEB是矩形，
∴FA＝BE＝CE，
∵AF∥CE，
∴四边形ACEF是平行四边形；
（2）∵四边形AEBF是圆内接四边形，
∴∠AFE+∠ADE＝180°，
∵∠CDE+∠ADE＝180°，
∴∠CDE＝∠AFE，
∵EF∥AC，
∴∠FED＝∠CDE，
∴∠FED＝∠AFE，
∵AF∥BC，
∴∠FEB＝∠AFE，
∴∠BEF＝∠FED，
∴EF平分∠BED．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，平行四边形的判定与性质及等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，平行四边形的判定与性质及等腰三角形的性质进行求解是解决本题的关键．
16．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AC，BC交以AB为直径的半⊙O于D，E．连接AE，BD，交点为F．
（1）证明：AF＝BC；
（2）当点F是BD中点时，求BE：EC值．
【分析】（1）由圆周角定理推论可得∠ADB＝∠AEB＝90°，根据等腰直角三角形的性质可得AD＝BD，根据∠DAF+∠AFD＝∠BFE+∠FEB＝90°，且∠AFD＝∠BFE，即可得出∠DAF＝∠FBE，则可证明△ADF≌△BDC，即可得出答案；
（2）设DF＝a，则DF＝BF＝a，可得AD＝BD＝2a，根据勾股定理可得AFa，由（1）中结论可得AF＝BC，由∠ADF＝∠BEF＝90°，∠AFD＝∠BFE，可证明△ADF∽△BEF，则，可得BEa，由CE＝BC﹣BE可得出CE的长度，计算即可得出答案．
【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠AEB＝90°，
∵∠BAC＝45°，
∴AD＝BD，
∵∠DAF+∠AFD＝∠BFE+∠FEB＝90°，∠AFD＝∠BFE，
∴∠DAF＝∠FBE，
在△ADF和△BDC中，
，
∴△ADF≌△BDC（ASA），
∴AF＝BC；
（2）设DF＝a，则DF＝BF＝a，
∴AD＝BD＝2a，
在Rt△ADF中，
AFa，
∴AF＝BC，
∵∠ADF＝∠BEF＝90°，∠AFD＝∠BFE，
∴△ADF∽△BEF，
∴，
∴，
∴BEa，
∴CE＝BC﹣BEaaa，
∴．
【点评】本题主要考查了圆周角定理及相似三角形的性质，熟练掌握圆周角定理及相似三角形的性质进行求解是解决本题的关键．
17．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC，其中∠A＝∠D．
（1）求证：AC＝CG；
（2）若CD＝EG＝8，求⊙O的半径．
【分析】（1）利用等角的余角证明∠D＝∠G，再根据等量代换可得∠A＝∠G，从而得到结论；
（2）连接OC，如图，设⊙O的半径为r，根据等腰三角形的性质和垂径定理得到AE＝EG＝8，EC＝ED＝4，则OE＝8﹣r，利用勾股定理得r2＝（8﹣r）2+42，然后解方程即可．
【解答】（1）证明：∵DF⊥CG，CD⊥AB，
∴∠DEB＝∠BFG＝90°，
∵∠DBE＝∠GBF，
∴∠D＝∠G，
∵∠A＝∠D，
∴∠A＝∠G，
∴AC＝CG；
（2）解：连接OC，如图，
设⊙O的半径为r．
∵CA＝CG，CD⊥AB，
∴AE＝EG＝8，EC＝ED＝4，
∴OE＝AE﹣OA＝8﹣r，
在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2+EC2，
∴r2＝（8﹣r）2+42，
解得r＝5，
∴⊙O的半径为5．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理和勾股定理．