苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义第2部分-预习篇-第07讲圆(学生版+解析)

这是一份苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义第2部分-预习篇-第07讲圆(学生版+解析)，文件包含苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义第2部分-预习篇-第07讲圆教师版docx、苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义第2部分-预习篇-第07讲圆学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共56页， 欢迎下载使用。

1.在小学的时候我们有接触过圆，可以说一下与圆有关的概念嘛？


2.在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做 ，固定的端点O叫做 ，线段OA叫做 . 以点O为圆心的圆，记作“ ”，读作“ ”
圆的两大要素：确定圆的位置—— ；确定圆的大小—— 。
圆的集合性定义：在平面内，圆是到 的距离等于 的点的集合。
比如：OA=2，O是定点，A是动点，因此点A的轨迹是以O为圆心半径为2的圆。
与三角形的关系：圆上任意两点与圆心构成得到三角形都是 。
3.点与圆的位置关系
注：“”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端；点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上。
4.与圆有关的
（1）
弦： 叫做弦（如图AB）.
直径： 叫做直径（如图CD）.
弦心距： 叫做弦心距（如图OE）.
直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.
证明：连结OC、OD
∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)
∴直径AB是⊙O中最长的弦.
（2）弧
弧： 叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.
半圆： 叫做半圆（如图弧CD）；
优弧： 叫做优弧（如图弧ADB）；
劣弧： 叫做劣弧（如图弧ACB）.
注：① ；② .
（3）等弧
叫做等弧.
注：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视； ②圆中两平行弦所夹的弧相等.
（4）同心圆与等圆
叫做同心圆.
能够互相重合的两个圆叫做等圆.因此，半径相等两个圆是等圆。
注： .
（5）圆心角
叫做圆心角（如图∠AOB）.
考点一：圆的概念
例1．下列说法错误的是（ ）
A．圆有无数条直径
B．连接圆上任意两点之间的线段叫做弦
C．过圆心的线段是直径
D．同圆中，直径是最长的弦，为半径的两倍
【变式1-1】下列说法：①直径是弦 ②弦是直径 ③半圆是弧，但弧不一定是半圆 ④长度相等的两条弧是等弧中，正确的命题有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-2】以下说法中：①直径是圆中最长的弦；②半圆是圆中最长的弧；③面积相等的圆是等圆．其中正确的是 （填序号）．
【变式1-3】古时候人们往往会用八卦罗盘来测量建筑的方位．小明自制了一个类似的玩具：以点O为中心，共有内外两圈，均可以绕着点O旋转，外圈有A，B，C，D，E，F，G，H 8个点将圆八等分，内圈仅有J，K两个点，且点A，K，O，J四点共线，连接．
(1)求的度数；
(2)固定内圈，顺时针转动外圈一周，恰好经过．求外圈只转一周且当与一边垂直时，经过多少时间？
考点二：弦的条数
例2．如图，在中，弦的条数是（ ）
A．2B．3C．4D．以上均不正确
【变式2-1】如图，在中，点在一条直线上，点在一条直线上，那么图中有弦（ ）

A．2条B．3条C．4条D．5条
【变式2-2】如图，圆中有 条直径， 条弦，圆中以A为一个端点的优弧有 条，劣弧有 条．
【变式2-3】如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．
（1）在图1中，画山一条与相等的弦；
（2）在图2中，画出一个与全等的三角形．
考点三：圆心角的概念
例3.下面图形中的角是圆心角的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-1】下列图形中，为圆心角的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】在中，弦的长恰好等于半径，弦所对的圆心角为 ．
【变式3-3】如图，圆心角．
(1)判断和的数量关系，并说明理由；
(2)若，求的度数．
考点四：圆弧
例4．如图是两个大小不同的量角器．小量角器由于长时间使用，某些刻度已经模糊不清．现将两个量角器的零刻度线放在同一直线上，使与C重合（如下图）．如果两个半圆的公共点P在大量角器上对应的度数为，那么在小量角器上对应的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】如图，梯形ABCD中，，有一圆O通过A、B、C三点，且AD与圆O相切于A点若，则的度数为何？（ ）
A．116B．120C．122D．128
【变式4-2】如图，点A，B分别为半圆O上的三等分点，如果的半径为，那么弦 ．
【变式4-3】如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E．
（1）如图1，若为120°，为50°，求∠E的度数；
（2）如图2，若AB＝CD，求证：AE＝DE．
考点五：点与圆的位置关系
例5．如图，在直角坐标系中，存在三个定点分别为，，，顺次连接，现添加一点，使得，那么的长不可能为（ ）
A．4B．7C．11D．15
【变式5-1】已知的直径为，点P到圆心O的距离为，则点P和圆的位置关系（ ）
A．点在圆内B．点在圆外C．点在圆上D．无法判断
【变式5-2】如图，已知矩形的边，现以点为圆心作圆，如果至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，那么半径的取值范围是 ．
【变式5-3】如图，在中，，于点为的中点．

(1)以点为圆心，6为半径作圆，试判断点与的位置关系；
(2)当的半径为多少时，点在上？
考点六：圆的周长与面积
例6. 甲、乙两个圆，甲圆的面积是，乙圆的周长是，甲、乙两圆的半径之比是（ ）
A．B．C．
【变式6-1】圆的面积扩大为原来的 4 倍，则半径 （ ）
A．扩大为 4 倍B．扩大为 倍C．不变D．扩大为2倍
【变式6-2】如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3∶1，则圆的面积约为正方形面积的 倍．（精确到个位）
【变式6-3】如图，圆环的内外圈用铁丝围成，其中大圆半径比小圆半径的2倍多1米，如果圆环的面积等于平方米，求围成圆环铁丝的总长度.

考点七：点与圆的之间距离最值
例7．已知在平面直角坐标系中，的圆心为，半径为1，直线经过定点，交于一点，则当取得最大值时，的值为（ ）

A．B．C．D．
【变式7-1】直线与x，y轴分别交于A，B两点，P是以为圆心，1为半径的圆上一点，连接，则面积的最大值为（ ）
A．27B．10C．23D．32
【变式7-2】如图，四边形为矩形，，．点E是线段上一动点，连接，点F为线段上一点，连接，若，则的最小值为 ．
【变式7-3】综合与实践
利用正方形纸片的折叠开展数学活动，探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法．
如图①，E 为正方形的 边上的一个动点，，将正方形对折，使点与 点重合，点与 点重合，折痕为 ．
思考探索
（1）将正方形展平后沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕为 ， 连接 ， 如图②，请根据以上条件填空．
①点 在以点 为圆心， 的长为半径的圆上（填线段）；
②的长为 ；
拓展延伸
（2）当时，正方形 沿过点的直线（不过点）折叠后，点的对应点落在正方形 的内部或边上．
① 求 面积的最大值；
② 连 接，为的中点，点 在上，连接求的最小值．
1．平面内，已知的半径是，线段，则点（ ）
A．在外B．在上C．在内D．不能确定
2．在同一平面内，点P在⊙O外，已知点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，则⊙O的半径为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，直线，相交于点，则在直线，上到点的距离为的点有（ ）
A．0个B．2个C．4个D．无数个
4．2011年国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源则是中国古代数学家（ ）的圆周率．
A．祖冲之B．赵爽C．刘徽D．朱世杰
5．如图，点，，在上，平分，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于两点．若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为（ ）
A．12B．24C．14D．28
7．如图，已知正方形的边长为2，点F是正方形内一点，连接，且，点E是边上一动点，连接，则长度的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在中，，，以为边作等腰直角，连，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
9．已知直径为8，点到点距离为4，则点在 ．（填“上、内或外”）
10．（秋•南岗区校级月考）一个圆内最长的弦长是，则此圆的半径是 cm．
11．如图，点A，B，C在上．若，则的度数为
12．已知的半径为3，且A，B是上不同的两点，则弦的范围是 ．
13．如图，矩形中，，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点F，交的延长线于点E，若点F是弧的中点，则图中阴影部分的面积为 ．
14．如图，在正方形中，，点分别是边上的动点，且，连接交于点．
（1）当时，连接，取的中点，则的长为 ．
（2）点之间的距离的最小值为 ．
15．如图，是的直径，是圆心，是圆上一点，且，是延长线上一点，与圆交于另一点，且，求的度数．
16．如图，在中，直径为，正方形的四个顶点分别在半径以及上，并且，若．

(1)求的长；
(2)求的半径．
17．【课本再现】（1）如图1，四边形是一个正方形，E是延长线上一点，且，则的度数为______．
【变式探究】（2）如图2，将（1）中的沿折叠，得到，延长交于点F，若，求的长．
【延伸拓展】（3）如图3，当（2）中的点E在射线上运动时，连接，与交于点P．探究：当点E在运动的过程中，存在D，P两点间的距离最短．请求出的最短距离．
18．如图，三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么这个三角形可称为“等中三角形”，探索体验
（1）如图①，点D是线段的中点，请画一个，使其为“等中三角形”．
（2）如图②，在 中， ，判断是否为“等中三角形”，并说明理由．
拓展应用
（3）如图③，正方形木板的边长，请探索在正方形木板上是否存在点P，使为面积最大的“等中三角形”？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．理解圆的有关概念；
2．经历探索点与圆的位置关系的活动过程，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系。
点与圆的位置关系
特点
性质及判定
图示
点在圆内




点在圆上




点在圆外