苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义第2部分-预习篇-第04讲一元二次方程的根与系数的关系(学生版+解析)

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1.观察下表，你能发现下列一元二次方程的根与系数有什么关系吗？
从上图发现，如果一元二次方程的根是、，那么=___，=___.
证明：因为当时，方程的根是，_,所以，=_+=__；
=_×_=____.
因此，如果一元二次方程的两个实数根是，
那么，.注意它的使用条件为 .也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
2.一元二次方程的根与系数的关系的推论
推论1：如果方程x²+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2= ，x1*x2= ；
推论2：以x1，x2的一元二次方程（二次项系数为1）是 .
3.根与系数的应用
不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
⑨；
⑩
考点一：直接根据公式求根
例1．已知关于x的方程的一个根是1，则另一根为（ ）
A．1B．2C．3D．-2
【变式1-1】若，是方程的两个根，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】若一元二次方程有一个根为2，则另一根为 ．
【变式1-3】已知，是关于x的一元二次方程的两根．
(1)求k的取值范围；
(2)若，求k的值．
考点二：公式变形求解
例2．已知和是一元二次方程的两个实数根，则（ ）
A．B．C．6D．
【变式2-1】已知方程的两个实数根分别为，，则式子的值等于（ ）
A．B．0C．2D．6
【变式2-2】已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
【变式2-3】有一个定理：若、是一元二次方程，、、为系数且为常数）的两个实数根，则、，这个定理叫做韦达定理．如：、是方程的两个实数根，则、．若，是方程的两个实根．试求：
(1)与的值（用含有的代数式表示）；
(2)的值（用含有的代数式表示）；
(3)若，试求的值．
考点三：与根的判别式结合求解
例3.已知关于x的一元二次方程，有下列结论：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程不可能有两个异号的实数根；③当时，方程的两个实数根不可能都小于1．其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【变式3-1】关 于x 的方程（k为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根B．两个负根
C．一个正根， 一个负根D．无实数根
【变式3-2】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围为 ．
【变式3-3】已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为，且，求的值．
考点四：与函数图象结合
例4．若、是方程的两根，则反比例函数与一次函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】若a，b是一元二次方程． 的两根，则反比例函数 与一次函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】如果一个正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，那么的值为 ．
【变式4-3】已知反比例函数与一次函数（，k是常数）的图象交于点，．
(1)当时，求的值．
(2)若，求的值．
考点五：与分式结合
例5．已知实数，满足，，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-1】若，且有，及，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【变式5-2】已知实数，满足，，则 ．
【变式5-3】已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．
考点六：与根式结合
例6.若一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值为（ ）
A．B．2024C．D．
【变式6-1】关于的方程的两实根异号，则k满足的条件是（ ）
A．B．C．D．
【变式6-2】若a，b是一元二次方程的两个根，则 ．
【变式6-3】附加题：已知，是关于的一元二次方程的两个根，且，是直角三角形的两直角边，斜边的长为．求，，的值．
考点七：与绝对值结合
例7．已知关于x的一元二次方程有两个实数根和，且，m的值为（ ）
A．或1B．或0C．D．1
【变式7-1】若k、b是一元二次方程的两个实根（），在一次函数中，y随x的增大而减小，则该一次函数的图像一定经过（ ）
A．第一、二、四象限B．第一、二、三象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限
【变式7-2】设、是一元二次方程的两个根，且，则 ．
【变式7-3】已知关于的一元二次方程有两个实数根，．
(1)求实数的取值范围；
(2)若方程的两实数根，满足，求的值．
1．若是方程的两个根，则（ ）
A．B．C．D．
2．方程的两根为、，下列各式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知正方形的两邻边，的长度恰为方程的两个实数根，则正方形的周长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
4．一元二次方程的两根为，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．设是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（ ）
A．1B．C．3或D．1或
6．若关于的方程的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程的两根之积是（ ）
A．B．C．D．
7．已知，是方程的两根，则代数式的值是（ ）
A．B．C．D．
8．如果方程有两个不同的实数解，那么p的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．已知关于x的方程 的一根是，则该方程的另一根为 .
10．若，是一元二次方程的两个根，则 ．
11．设，是一元二次方程的两个根，则 .
12．若，是方程的两个根，则的值为 ．
13．已知a、b为实数，且满足，，则 ．
14．已知、是关于x的方程的两实数根，且，则k的值为 ．
15．若关于x的一元二次方程有一个根是，
(1)求b的值及方程的另一个根；
(2)若菱形对角线长分别为、，则这个菱形面积为______．
16．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两实数根为，且满足，试求出的值．
17．已知的一条边的长为5，另两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根．
(1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根；
(2)当m为何值时，是以为斜边的直角三角形；
(3)当m为何值时，是等腰三角形，并求的周长．
18．【综合与实践】
【问题情境】对于关于的一元二次方程（，，为常数，且），求方程的根的实质是找到一个的具体的值，代入之后等式成立．一般情况下，如果有两个不同的的具体值都满足，这就说明这个方程有两个根，且两根与，，之间具有一定的关系．
【操作判断】项目研究小组经过讨论得到两个结论：
（1）当时，则一元二次方程必有一根是．
（2）当时，则一元二次方程必有一根是．
请判断两个结论的真假，并说明原因．
【实践探究】项目研究小组经过讨论编制了以下问题，请帮助解决：
方程的较大的根为，方程的较小的根为，求的值．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．了解一元二次方程的根与系数的关系；
2．经历一元二次方程的根与系数的关系的探究过程，加深对一元二次方程及其根的认识。
x1
x2
x1 +x2