第04讲 三角形的外角-人教版初中七年级（七升八）数学暑假衔接（教师版+学生版）讲义

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1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是
△ABC的一个外角.
要点诠释：
（1）外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．
（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．
2．性质：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理、证明经常使用的理论依据．另外，在证明角的不等关系时也常想到外角的性质．
3.三角形的外角和：
三角形的外角和等于360°.
要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．
【考点剖析】
题型一、三角形的外角
例1.（1）如图，AB和CD交于点O，求证：∠A＋∠C＝∠B＋∠D ．
（2）如图，求证：∠D=∠A＋∠B +∠C．
题型二：三角形的外角和
例2：如图，∠BAE， ∠CBF， ∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
题型三、三角形的内角、外角综合
例3.如图所示，已知DE分别交△ABC的边AB、AC于D、E，交BC的延长线于F，
∠B＝67°，∠ACB＝74°，∠AED＝48°，求∠BDF的度数．
【变式】如图所示，已知△ABC中，P为内角平分线AD、BE、CF的交点，过点P作PG⊥BC于G，试说明∠BPD与∠CPG的大小关系并说明理由．
题型四：应用三角形的外角求角的度数
例4：如图，∠A=42°，∠ABD=28°，∠ACE=18°，求∠BFC的度数.
例5.如图所示，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．
【变式】（一题多解）如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数.
题型五：用三角形外角的性质把几个角的和分别转化为一个三角形的内角和
例6.已知：如图为一五角星，求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.
【变式】（2022·上海·八年级专题练习）如图，已知∠A＝50°，∠D＝40°．
(1)求∠1度数；
(2)求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．
题型六： 三角形外角的性质和角平分线的综合应用
例7.如图①，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E.
(1)如果∠A＝60°，∠ABC＝50°，求∠E的度数；
(2)猜想：∠E与∠A有什么数量关系(写出结论即可)；
(3)如图②，点E是△ABC两外角平分线BE、CE的交点，探索∠E与∠A之间的数量关系，并说明理由．
【变式】（2022·河南郑州·八年级期末）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则__________．
【过关检测】
一、单选题
1．（2022秋·云南楚雄·八年级校考阶段练习）如图，是的外角，若，，则（ ）
A．40°B．50°C．55°D．60°
2．（2023春·山东威海·八年级统考期中）如图，的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·浙江·八年级假期作业）已知直线，将一块含30°角的直角三角板按如图方式放置（），若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·湖北荆州·八年级统考期末）如图，在中，平分，点在射线上，于，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023秋·八年级课时练习）如图，将一副三角板拼成如图所示的图形（，，，），交于点，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023秋·八年级单元测试）把两块三角板按如图所示那样拼在一起，的大小为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，已知直线，则( )
A．B．C．D．
8．（2023秋·八年级单元测试）如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，把纸片沿折叠，使点A落在图中的处，若，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
10．（2023春·陕西西安·八年级西北大学附中校考阶段练习）如图，在中，，D为边上的一点，E点在边上，，若，则（ ）

A．B．C．D．
二、填空题
11．（2022秋·广东茂名·八年级校联考期末）如图，∠1的大小为______．

12．（2021秋·广东河源·八年级校考期中）如图，若，，是延长线上的一点．则______．
13．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，、的角平分线交于点，若，，则____．

14．（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）将一副三角尺如图摆放，其中，，，，则______．

15．（2023秋·八年级课时练习）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，若，则______．

16．（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）如图，在中，分别平分，交于点为外角的平分线，的延长线交于点．以下结论①，②，③，④，其中正确的是_________（填序号）．
17．（2023·浙江·八年级假期作业）如图所示，在中，，内角和外角的平分线交于点，则________．
18．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，平分，，分别交，，，的延长线于E，H，F，G，已知下列三个式子：①；②；③．其中正确的是________．（填序号）

三、解答题
19．（2023秋·八年级课时练习）如图，分别交的边，于点，，交的延长线于，，，，求的度数．
20．（2023秋·八年级课时练习）如图，，在上，，在上取一点使，求的度数．
21．（2023秋·八年级课时练习）如图，，分别平分，，它们交于点，求证：．
22．（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图，在中，是边上的高，平分．若，．求：的度数．

23．（2023·浙江·八年级假期作业）在中，，，，求的度数．

24．（2023春·浙江·八年级专题练习）探索归纳：
(1)如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则 ．
A． 90° B． 315° C． 135° D. 270°
(2)如图2，已知中，，剪去后形成四边形，则 度．
(3)如图2，根据上面的求解过程，猜想与的关系是 ．
(4)如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3的形状，请猜想与的关系是 ．
25．（2023·浙江·八年级假期作业）探究：中华人民共和国国旗上的五角星的每个角均相等，小明为了计算每个角的度数，画出了如图①的五角星，每个角均相等，并写出了如下不完整的计算过程，请你将过程补充完整．

(1)解：∵，．
∴ ．
∵ ________，
∴________，
∴________．
(2)拓展：如图②，小明改变了这个五角星的五个角的度数，使它们均不相等，请你帮助小明求，，，，的和．
(3)应用：如图③．小明将图②中的点落在上，点落在上，若，则________．