苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义第2部分-预习篇-第03讲一元二次方程的解法(因式分解法)(学生版+解析)

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1.用配方法解一元二次方程
配方法： 公式法：
2.那还有其他方法解吗？
我们可以对进行因式分解，，所以只需要即可，所以要么x=0，要么x-1=0，所以解出来x=0或x=1.
因此，当一个一元二次方程的一边为 ，另一边能分解成为两个 的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个 ，这种解一元二次方程的方法叫做 。
3.常见的因式分解法的类型
4.因式分解法的步骤
（1）移项：将方程的右边化为0；
（2）化积：将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；
（3）转化：令两个一次因式分别为0，转化为两个一元一次方程；
（4）求解：分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
5.用对应的因式分解法解下列方程
（1）
（2）
（3）
（4）
补充：
十字相乘法
【材料阅读】利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解因式的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则．
根据阅读材料解决下列问题：
【应用新知】
（1）用十字相乘法分解因式：；
（2）用十字相乘法分解因式：；
【拓展提升】
（3）结合本题知识，分解因式：．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．
（1）利用十字相乘法进行求解即可；
（2）利用十字相乘法进行求解即可；
（3）将看成一个整体，再利用十字相乘法进行求解即可．
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）
分组分解法
通过学习，我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时，某些多项式只用上述一种方法无法因式分解，下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程．
甲：
（先分成两组）
．
乙：
（先分成两组）
．
两位同学分解因式的方法叫做分组分解法，请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解，
(1)试用上述方法分解因式：．
(2)已知，且，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查因式分解．掌握分组分解法，是解题的关键．
（1）利用分组分解法进行求解即可；
（2）先分组提取公因式，再利用平方差公式法进行因式分解，将代入，即可求解．
【详解】（1）解：
，
（2）解：
，
∵，且，
∴，，
∴．
考点一：提供因式法解方程
例1．方程的解是（ ）
A．B．C．，D．，
【变式1-1】一元二次方程的解是（ ）
A．B．，
C．，D．，
【变式1-2】方程的解是 ．
【变式1-3】解方程.
考点二：十字相乘法解方程
例2．三角形两边长分别为3和4，第三边长是方程的根，则三角形周长为（ ）
A．1.5B．13C．12或14D．12
【变式2-1】在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是（ ）
A．B．C．或D．或
【变式2-2】若方程有一个解为，则方程的解为 ．
【变式2-3】阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答：
上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程：
(1)；
(2)．
考点三：换元法解方程
例3. 若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ）
A．2024B．2025C．2026D．2027
【变式3-1】如果，则的值为（ ）
A．1B．2C．D．1或
【变式3-2】如果实数x满足，那么的值是 ．
【变式3-3】阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值.
解：设，则原方程变为，整理得，，
∴，∵，∴.
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化.
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程.
(1)已知实数x，y满足，求的值；
(2)设a，b满足等式，求的值；
(3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数.
考点四：综合运用解方程
例4．已知关于的一元二次方程的一个根是0，则方程的另一个根是（ ）
A．B．4C．D．
【变式4-1】已知三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A．24或B．24C．D．或24
【变式4-2】如图，，，在的三边上，若把的周长成两条等长的折线，即，则三线相交于点，此点称为三角形的“界心”，亦称“奈格尔点”．当且为等边三角形时，长为 ．
【变式4-3】在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答：
因式分解：（1）；（2）．
下面是晶晶和小舒的解法：
请在她们的解法启发下解答下面各题：
(1)因式分解：；
(2)若，，求的值；
(3)已知的三边a，b，c满足，是什么三角形？
考点五：分组分解法
例5．已知a，b为正整数，满足，则的最大值为（ ）
A．28B．43C．76D．78
【变式5-1】用分组分解法将分解因式，下列分组不恰当的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式5-2】如果方程的三个根可以作为一个等腰三角形的边长，则实数 ．
【变式5-3】选择合适的方法解方程．
(1)
(2)
1．解二元一次方程组时可以通过“消元”将二元一次方程组化为一元一次方程进行求解；解一元二次方程可以通过“降次”将一元二次方程化为一元一次方程进行求解．以上两种方法体现了一种重要的数学思想是（ ）
A．转化思想B．数形结合思想C．类比思想D．分类讨论思想
2．若，则代数式的值为（ ）
A．或B．1或C．D．3
3．如图1，在中，，于点，动点从点出发，沿折线方向运动，运动到点停止，设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图2，则的长为（ ）
A．6B．8C．9D．10
4．已知一元二次方程的两根分别为，，则这个方程不可能为（ ）
A．B．
C．D．
5．若使分式的值为0，则a的值为（ ）
A．或1B．或C．D．或
6．若关于x的一元二次方程的解是，，则关于y的方程的解为（ ）
A．－2B．2C．或2D．以上都不对
7．若，则的值为（ ）
A．1B．9C．9或1D．无法确定
8．在中，，若，，则AC的长为（ ）
A．2.5B．4C．3D．2.7
9．已知则的值是 ．
10．一元二次方程的较小的根是 ．
11．若，则代数式的值为
12．已知方程，如果设，那么原方程转化为关于y的整式方程为 ．
13．若方程（为常数）的一个解是，则另一个解 ．
14．如图，是一个闭环运算游戏，即：给x一个值，把它代入中得到一个y值，再把得到的y值代入中，又求出一个新的x值．如：把代入中得到；再把代入中求得．
（1）把代入中，最后求出的x值为 ；
（2）小明发现，给x一个整数并把它代入中后，最后求出的x值竟然是它自身，这个整数是 ．
15．如图，点和在反比例函数的图象上，其中．过点A作轴于点C，若的面积为，则 ．

16．阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为，解得，．
当时，，．
当时，，，．
原方程的解为，，，．
由原方程得到的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想．
阅读后解答问题：
(1)利用上述材料中的方法解方程：；
(2)已知一元二次方程的两根分别为，，则方程的两根分别是什么？请说明理由．
17．阅读下列材料：
(1)将分解因式，我们可以按下面方法解答：
解：步骤：①竖分二次项与常数项
②交叉相乘，验中项：．
③横向写出两因式：．
注：我们将这种用十字交叉相乘分解的因式方法叫做十字相乘法．
(2)根据乘法原理：若，则或．
①；
②．
18．阅读感悟：
已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则．所以．
把代入已知方程，得．
化简，得，
故所求方程为．
这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”．
请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式．
解决问题：
(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为：______；
(2)方程的两个根与方程______的两个根互为倒数．
(3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，求关于的一元二次方程的两个实数根．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．会用分解因式法解某些数字系数的一元二次方程，能根据具体方程的特征，灵活选择方程的解法，进一步提高运算能力；
2．认识十字相乘法和分组分解法
方法
常见类型
因式分解的形式
方程的解
提公因式法
x²±bx=0
x（x±b）=0
X1=0，x2=±b
平方差法
x²-a²=0
（x+a）（x-a）=0
X1=-a，x2=a
完全平方法
x²±2ax+a²=0
（x±a）²=0
X1=x2=±a
十字相乘法
x²±（a+b）x+ab=0
（x±a）（x±b）=0
X1=±a，x2=±b
（1）分解因式
①竖分二次项与常数项：
，
②交叉相乘，验中项：
③横向写出两因式：
（2）若，则或，所以方程可以这样求解：
方程左边分解因式得
∴或
∴，
晶晶：
（分成两组）
（直接提公因式）
小舒：
（分成两组）
（直接运用公式）