苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义第2部分-预习篇-第08讲圆的对称性(学生版+解析)

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中心对称
1.一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？

因此，圆是 图形，对称中心为
2.旋转不变性：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合。
3.在纸上画半径相等的圆O和圆O′，再画相同的圆心角的∠AOB和∠A′OB′，连接AB、A′B′。在所画图中还有哪些相等的线段、相等的弧？






证：
因此，在同圆或等圆中，相等的 所对的 相等，所对的 相等
几何语言：
4.那么在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？
因此可得：在同圆或等圆中，如果两个 、两条 、两条 中有 相等，那么它们所对应的

另外两组几何语言：


5.我们知道，将顶点在圆心的周角等分成360份，每一份圆心角是1°的角。因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份。我们把1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧。
因此，一般地，n°的圆心角对着n°的弧，n°的弧对着n°的圆心角。
实践证明， 。
轴对称
1.在纸上画圆O，把圆O剪下并折叠，使折痕两旁的部分完全重合，你发现了什么？
圆是 图形， 都是它的对称轴。
有 条对称轴。
2.画圆O和圆的直径AB，弦CD，使AB⊥CD，垂足为P，在所画图中有哪些
相等的线段、相等的弧？

证：连接OC,OD
在▲OCD中，
∵OC=0D，OP⊥CD
∴PC=PD，∠BOC=∠BOD
∴∠AOC=∠AOD
∴弧BC=弧BD，弧AC=弧AD（在通远中，相等的圆心角所对的弧相等）
因此， 。（垂径定理）
几何语言：
考点一：垂径定理的推论
例1．如图，已知点A、B、C、D都在上，，下列说法错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】下列四个命题中，真命题是（ ）
A．垂直于弦的直线平分弦B．平分弧的直径经过圆心
C．平分弦的直线垂直于弦D．垂直于半径的弦过圆心
【变式1-2】如图，是的弦，根据下列条件填空：
（1）如果是的直径，且于点，那么有 ， ， ；
（2）如果是的直径，且，那么有 ， ， ；
（3）如果，且，那么有 ， ， ．

【变式1-3】如图，已知点，，均在上，请用无刻度的直尺作图．
(1)如图1，若点是的中点，试画出的平分线；
(2)如图2，若，试画出的平分线．
考点二：运用垂径定理求值
例2．日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知，于点，于点，，的半径，则圆盘离桌面最近的距离是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】如图，在中，直径，弦，交于点C，连接．若，则的长为（ ）
A．5B．4C．8D．6
【变式2-2】温州有很多历史悠久的石拱桥，它们是圆弧的桥梁．如图是温州某地的石拱桥局部，其跨度为24米，拱高为4米，则这个弧形石拱桥设计的半径为 米．
【变式2-3】如图，以的边上一点为圆心的圆，经过、两点，且与边交于点，为的下半圆弧的中点，连接交于，若．
(1)连接，求证：；
(2)若，，求的半径．
考点三：平行弦问题
例3.已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（ ）
A．6或12B．2或14C．6或14D．2或12
【变式3-1】AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD间的距离为（ ）
A．1或7B．7C．1D．3或4
【变式3-2】已知AB、CD是⊙O的两条平行弦，⊙O的半径为17cm，，，则AB、CD间的距离为 ．
【变式3-3】如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．

(1)求证：直线；
(2)求证：．
考点四：同心圆问题
例4．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（ ）cm.
A．6B．C．D．
【变式4-1】如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm
A．5B．4C． D．
【变式4-2】如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形的边和分别是两圆的弦，则矩形面积的最大值是 ．
【变式4-3】如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．

(1)求证：；
(2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值．
考点五：求解弦、弧、圆心角
例5．如图，是⊙的弦，且，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-1】如图，弦直径，连接，，则所对的圆心角的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-2】如图，是的直径，，，则的大小为 ．
【变式5-3】如图，在中，D、E分别为半径上的点，且．C为弧上一点，连接，且．求证：C为 的中点．
考点六：：求证弦、弧、圆心角
例6. 在中，，为两条弦，下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式6-1】下列命题：正确的是（ ）
①在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等．
②在同圆或等圆中，平分弦的直径平分弦所对的两条弧．
③能够完全重合的两条圆弧是等弧．
④长度相等的弧所对的弦相等．
A．①B．②C．③D．④
【变式6-2】已知，是同圆的两段弧，且，则弦与之间的数量关系为 ．（填“>”，“=”，“