【暑假初高衔接】初三数学暑假预习（人教A版2019）-第04讲《二次函数与不等式》同步讲学案

第04讲：二次函数与不等式

【考点梳理】

考点一、一元二次不等式及其解法

1．形如的不等式称为关于的一元二次不等式．

2．一元二次不等式与二次函数及一元二次方程的关系(简称：三个二次)．

以二次函数为例：

(1) 作出图象.

(2)图象与轴的交点是，即当时，．

就是说对应的一元二次方程的两实根是．

(3)    当时，，对应图像位于轴的上方．

(4)    就是说的解是．

当时，，对应图像位于轴的下方．就是说的解是．

一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下：

(1) 将二次项系数先化为正数.

(2) 观察相应的二次函数的图象．

①如果图象与轴有两个交点，

此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根(也可由根的判别式来判断) ．

那么(图1)：

②如果图象与轴只有一个交点，

此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根

(也可由根的判别式来判断) ．

那么(图2)：  

无解

③如果图象与轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根

(也可由根的判别式来判断) ．

那么(图3)：  取一切实数

  无解

解一个一元二次不等式的话，也可以按以下步骤处理：

(1) 化二次项系数为正；

(2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根．那么“”型的解为(俗称两根之外)；“”型的解为(俗称两根之间)；

(3) 否则，对二次三项式进行配方，变成，结合完全平方式为非负数的性质求解．

考点二、简单分式不等式的解法

说明：(1) 转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0．

   (2) 也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号(比如例(2))：

.

考点三、含有字母系数的一元一次不等式

一元一次不等式最终可以化为的形式．

(1) 当时，不等式的解为：；

(2) 当时，不等式的解为：；

(3) 当时，不等式化为：；

① 若，则不等式无解；② 若，则不等式的解是全体实数．

【考点梳理】

一、单选题

1．不等式的解集为（        ）

A．R B． C． D．

2．若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

3．关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

4．已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

5．一元二次不等式对一切实数恒成立，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

6．已知不等式的解集为，则（       ）

A． B． C． D．

7．对任意的，恒成立，则的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

8．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

9．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（       ）

A．或 B．

C．或 D．

10．已知，关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（       ）

A．B．C．D．

11．若函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

12．关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

13．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

14．若函数在上是增函数，则实数k的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

15．不等式的解集为，则的解集为（     ）

A． B．

C． D．

二、填空题

16．二次函数的部分对应值如下表：

则关于x的不等式的解集为__________．

17．关于实数x的不等式的解集是或，则关于x的不等式的解集是________．

18．不等式的解集为___________.

19．若不等式在R上恒成立，则实数a的取值范围是___________．

20．若，则的取值范围为___________.

21．若关于x的不等式对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围是___________.

22．已知函数，若对任意的，恒成立，则实数a的取值范围是___________.

三、解答题

23．解不等式：

(1)

(2)

24．解不等式：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)．

25．已知一元二次函数，满足．

(1)求的解析式；

(2)解关于x的不等式．

26．解关于x的不等式

27．已知关于x的不等式的解集为．

(1)写出a和b满足的关系；

(2)解关于x的不等式．

28．已知关于的函数．

(1)当时，求不等式的解集.

(2)当时，求不等式的解集.

29．已知函数．

(1)求关于x的不等式的解集；

(2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围．

30．已知函数．

(1)当时，解关于x的不等式；

(2)函数在上的最大值为0，最小值是，求实数a和t的值．

参考答案：

1．B

【解析】

【分析】

分解因式法可求出结果.

【详解】

由，得，

得，

所以不等式的解集为.

故选：B

2．C

【解析】

【分析】

由题设可得，讨论的大小关系求解集，并判断满足题设情况下m的范围即可.

【详解】

不等式，即，

当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故；

当时，不等式解集为，此时不符合题意；

当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故；

故实数m的取值范围为．

故选：C

3．D

【解析】

【分析】

把方程的根转化为二次函数的零点问题，恰有一个零点属于，分为三种情况，即可得解.

【详解】

方程对应的二次函数设为：

因为方程恰有一根属于，则需要满足：

①，，解得：；

②函数刚好经过点或者，另一个零点属于，

把点代入，解得：，

此时方程为，两根为，，而，不合题意，舍去

把点代入，解得：，

此时方程为，两根为，，而，故符合题意；

③函数与x轴只有一个交点，横坐标属于，

，解得，

当时，方程的根为，不合题意；

若，方程的根为，符合题意

综上：实数m的取值范围为

故选：D

4．D

【解析】

【分析】

将化为，将看成主元，令，分，和三种情况讨论，从而可得出答案.

【详解】

解：恒成立，

即，对任意得恒成立，

令，，

当时，，不符题意，故，

当时，函数在上递增，

则，

解得或（舍去），

当时，函数在上递减，

则，

解得或（舍去），

综上所述，实数的取值范围是.

故选：D.

5．B

【解析】

【分析】

根据二次函数开口向上，且判别式小于0计算即可

【详解】

由题，一元二次不等式对一切实数恒成立则 ，即，解得

故选：B

6．A

【解析】

【分析】

根据一元二次不等式的解集和一元二次方程根的关系直接求解即可.

【详解】

由不等式的解集知：和是方程的两根，.

故选：A.

7．D

【解析】

【分析】

采用分离变量的方式，结合基本不等式可求得，进而得到所求范围.

【详解】

当时，由得：，

（当且仅当，即时取等号），，解得：，

即的取值范围为.

故选：D.

8．A

【解析】

【分析】

由题意，保证当时，不等式恒成立，只需，求解即可

【详解】

由题意，当时，不等式恒成立，

故

解得

故实数的取值范围是

故选：A

9．B

【解析】

【分析】

根据不等式的解集，得到，代入中即可求解.

【详解】

由题意得，即，

所以即，解得．

故选：B

10．A

【解析】

【分析】

由利用韦达定理可得，代入所求不等式解不等式即可.

【详解】

因为不等式的解集为，

所以即，

不等式等价于，

解得.

故选：A.

11．C

【解析】

【分析】

根据二次函数的性质即可求解.

【详解】

由可知是二次函数，其对称轴为 ，

要使得函数在 上时是减函数，则必须 ，

即 ；

故选：C.

12．C

【解析】

【分析】

由题知对恒成立，进而分和两种情况讨论求解即可.

【详解】

解：因为不等式对恒成立，

所以对恒成立，

所以，当时，对恒成立．

当时，由题意，得，即，解得，

综上，的取值范围为．

故选：C

13．A

【解析】

【分析】

先由题给条件求得，，，再解不等式即可.

【详解】

关于x的不等式的解集为

，且和1是方程的两个根，

则，，

关于x的不等式，即，

，解得，

故不等式的解集为，

故选：A

14．C

【解析】

【分析】

根据二次函数的对称轴在区间的左边，即可得到答案；

【详解】

由题意得：，

故选：C

15．A

【解析】

【分析】

分析可知关于的方程的两根分别为、，利用韦达定理可求得、的值，然后利用二次不等式的解法解所求不等式，即可得解.

【详解】

由题意可知，关于的方程的两根分别为、，则，可得，

故所求不等式为，即，解得.

故选：A.

16．

【解析】

【分析】

根据所给数据得到二次函数的对称轴，即可得到，再根据函数的单调性，即可得解；

【详解】

解：∵，∴对称轴为，

∴，

又∵在上单调递减，在上单调递增，

∴的解集为．

故答案为：

17．

【解析】

【分析】

由不等式的解集求得，然后再解一元二次不等式．

【详解】

因为关于实数x的不等式的解集是或，

所以，解得，

所以不等式为，即，或．

故答案为：．

18．

【解析】

【分析】

先将分式不等式转化为，再解一元二次不等式即可.

【详解】

，解得，故解集为，

故答案为.

19．

【解析】

【分析】

分和两种情况分析求解即可

【详解】

当时，不等式为满足题意；

当时，需满足，

解得

综上可得，a的取值范围为，

故答案为：

20．

【解析】

【分析】

一元二次不等式，对任意的实数都成立，与x轴最多有一个交点；由对勾函数的单调性可以求出m的范围.

【详解】

由，得.由题意可得，，即.因为，所以，故.

故答案为：

21．

【解析】

【分析】

根据一元二次不等式与二次函数的关系，可知只需判别式，利用所得不等式求得结果.

【详解】

不等式对一切实数x恒成立，

，解得：

故答案为：.

22．

【解析】

【分析】

要使对任意的，恒成立，即在上恒成立，即当时，函数的图像在函数图像的下方，可得，解之即可得出答案.

【详解】

解：要使对任意的，恒成立，

即在上恒成立，

即当时，

函数的图像在函数图像的下方，

由图像得，要使上述成立，

只需，

即，

则①式解得，②式解得，

所以.

故答案为：.

23．(1)或；

(2).

【解析】

【分析】

（1）将二次项系数化为正数，然后因式分解，进而求得答案；

（2）将分式不等式转化为一元二次不等式，进而求出答案.

(1)

由题意，，所以原不等式的解集为{或}.

(2)

原不等式可化为，则原不等式的解集为．

24．(1)或；

(2)；

(3)，，；

(4)，，．

【解析】

【分析】

根据一元二次不等式的解法步骤，分别求解对应的一元二次不等式解集即可．

(1)

不等式可化为，

即，解得或，

∴原不等式的解集为或；

(2)

不等式可化为，

解得，∴不等式的解集为；

(3)

不等式化为，

即，解得，

即或，

∴原不等式的解集为，，；

(4)

不等式可化为，

即，解得，即或，

∴原不等式的解集为，，．

25．(1)

(2)解集见解析

【解析】

【分析】

（1）将已知代入解析式即可求出c、b的值；

（2）不等式化为，计算讨论a的取值范围，求出不等式对应的方程的解，即可写出对应不等式的解集.

(1)

解：函数，由，得

因为，所以解得；

所以.

(2)

关于x的不等式可化为

因为

所以当即时，原不等式对应的方程无实数根，

又二次函数的图像开口向上，所以原不等式的解集为；

当，即时，原不等式对应的方程有两个相等的实数根，

时，原不等式的解集为；

时，原不等式的解集为；

当即或时，原不等式对应的有两个相等的实数根，

分别为且

所以原不等式解集为.

综上所知，当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当或时，原不等式解集为.

26．答案不唯一，具体见解析

【解析】

【分析】

原不等式可化为然后分，和三种情况求解不等式

【详解】

解：关于x的不等式

可化为

（1）当时，，解得．

（2）当，所以

所以方程的两根为-1和，

当，即时，不等式的解集为或}，

当，即时，不等式的解集为．

当，即时，不等式的解集为或}，．

（3）当时，

因为方程的两根为—1和，

又因为，所以．

即不等式的解集是，

综上所述：当时，不等式的解集为

当时，不等式的解集为

当时，不等式的解集为或

当时，不等式的解集为

当时，不等式的解集为或}，

27．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）化简，结合不等式的解集即可判断，得到即可得到a和b满足的关系.

（2）可用或对不等式进行等价转化，化简计算即可求出不等式的解集.

(1)

解：因为，所以，

因为不等式的解集为，所以，且，解得．

(2)

由（1）得

则不等式等价为，

即，即．

因为，所以不等式的解为．

即所求不等式的解集为．（说明：解集也可以用a表示）

28．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据一元二次不等式的解法直接求解即可；

（2）将所求不等式化为，根据一元二次不等式的解法直接求解即可.

(1)

当时，，

由得：或，的解集为或.

(2)

由得：，

当时，令，解得：，，

则由得：或，

的解集为.

29．(1)答案见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）求出对应方程的根，再根据根的大小进行讨论，即可得解；

（2）对任意的，恒成立，即恒成立，结合基本不等式求出的最小值即可得解.

(1)

解：由已知易得即为：，

令可得与，

所以，当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

(2)

解：由可得，

由，得，

所以可得，

，

当且仅当，即时等号成立，

所以，

所以的取值范围是.

30．(1)

(2)或

【解析】

【分析】

（1）代入解不等式组可得答案；

（2）由题意，结合最大值为0最小值是分、数形结合可得答案.

(1)

当时，不等式，

即为，

即，所以，

所以或，

所以原不等式的解集为．

(2)

，

由题意或，这时解得，

若，则，所以；

若，即，

所以，则，

综上，或．