苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义第2部分-预习篇-第01讲一元二次方程和一元二次方程的解法(直接开平方)(学生版+解析)

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1.用方程的关系表示
正方形的面积是4，设正方形的边长为x，表示它们之间的关系。

2.认识一元二次方程
回顾一下一元一次方程的概念
一元一次方程： 。
因此，只含有一个 ，且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.
一元二次方程三要素：（1） ；（2） ；（3） .
3.一元二次方程的一般形。
4.一元二次方程的特殊形式
5.一元一次方程的解
6.一元二次方程的解法（一）
解x2=4（用平方根的方法）
于是我们知道一元二次方程x2=4有两个根，它们分别记为
像这种直接通过求平方根来解一元二次方程的方法叫做直接开方法.形如（h、k为常数，k≥0）的一元二次方程，可以用直接开方法求解.
考点一：一元二次方程的定义
例1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】若关于的方程是一元二次方程，则的值是（ ）
A．0B．C．1D．
【变式1-2】若关于x的一元二次方程有一个根为0，则 ．
【变式1-3】已知关于x的方程．
(1)当m为何值时，此方程为一元一次方程？
(2)当m为何值时，此方程为一元二次方程？
考点二：一元二次方程的一般形式
例2．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3，，B．3，4，1C．3，4，D．3，，
【变式2-1】若将一元二次方程化成一般式为，则的值为（ ）
A．2B．C．1D．
【变式2-2】把方程化为一元二次方程的一般形式是 ．
【变式2-3】将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)；
(2)；
(3)关于的方程．
考点三：一元二次方程的解
例3.若是关于的方程的一个根，则的值是（ ）
A．2026B．2025C．2023D．2022
【变式3-1】如果是一元二次方程的一个根，则b的值是（ ）
A．2B．－2C．3D．
【变式3-2】已知m是方程的一个根，则的值为 ．
【变式3-3】如图所示，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是和的边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：

(1)试判断方程是否为“勾系一元二次方程”．
(2)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是12，求的面积．
考点四：直接开平方法
例4．关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A．B．C．或D．
【变式4-1】方程的解为（ ）
A．B．2C．D．
【变式4-2】方程的根是
【变式4-3】用直接开平方法解下列方程：
(1)
(2)．
考点五：一元二次方程解的估算
例5．根据表格中的数据：估计一元二次方程（，，为常数，）一个解的范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-1】已知，依据下表，它的一个解的范围是（ ）
A．B．C．D．不确定
【变式5-2】如果是方程的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断 ．
【变式5-3】无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分不可能全部写出来．
材料一：估算法确定无理数的小数部分．
∵，即，
∴的整数部分为，
∴的小数部分为；
材料二：面积法求一个无理数的近似值，
已知面积为的正方形的边长是，
∵，
∴设（为的小数部分，），
画出示意图：由图可知，正方形的面积由四个部分组成，，
∵，
∴，
略去，得方程，
解得，
即，
解决问题：
(1)结合你所学的知识，探究的近似值（结果精确到）；
(2)请总结估算（为开方开不尽的数）的一般方法．
1．下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
2．一元二次方程的根为（ ）
A．B．C．，D．
3．关于x的一元二次方程有一个根是1，则m的值是（ ）
A．B．2C．0D．
4．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知关于x的一元二次方程的两个根分别为，3，则方程的两个根分别为（ ）
A．，3B．，3C．，2D．，2
6．根据图中数字的规律，若第个图中的，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，则方程m（x+h-3）2+k=0的解是（ ）
A．x1=-6，x2=-1B．x1=0，x2=5C．x1=-3，x2=5D．x1=-6，x2=2
8．两个关于的一元二次方程和，其中，，是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（ ）
A．2020B．C．-2020D．
9．一元二次方程的一次项系数是 ．
10．一元二次方程的根是 ．
11．方程的解是 ．
12．已知是方程的一个根，求 ．
13．若一元二次方程的两根也是方程的根，则的值为 ．
14．定义：若、是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“自然方程”，例如：是“自然方程”．
（1）下列方程是“自然方程”的是 ；（填序号）
①；②；③．
（2）若方程是“自然方程”，m的值为 ．
15．解方程：
(1)
(2)
16．若a是方程的一个根，求的值．
17．【阅读材料】
【问题】已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则，所以，把，代入已知方程，得．
化简，得，故所求方程为．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
【类比探究】
（1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为_______；
【拓展运用】
（2）已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
18．阅读小明用下面的方法求出方程．
解：移项，得，方程两边同时平方，得，解得或
经检验，或都是原方程的解．
所以，原方程的解为或．
请仿照他的方法，求出方程的解．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．通过观察，归纳一元二次方程的概念；
2．会用直接开平方法解形如（x+h）²=k（h、k为常数，k≥0）
一般形式

项及项的系数
二次项为 ；二次项系数为 .
一次项为 ；一次项系数为 .
常数项为 .
特点
方程左边是关于未知数的二次整式，右边为0.
特殊形式
二次项系数
一次项系数
常数项
ax²+bx=0（a≠0，b≠0）



ax²+c=0 （a≠0，c≠0）



ax²=0



概念
使一元二次方程左右两边 的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
判断一个数是不是一元二次方程的根
将这个数代入一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，则该数是这个方程的根；若不相等，则该数不是这个返程的根。
1.2
1.3
1.4
1.5
0.36
0.75