苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义第2部分-预习篇-第11讲直线与圆的位置关系(学生版+解析)

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1.回顾一下点与圆的位置关系，那么直线与圆有几种关系呢？
点在圆内，点在圆上，点在圆外；
直线与圆的位置关系：
相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线（如右图l1）；
（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点；（如右图l2）．
（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。（如右图l3）
2.
2.点与圆的位置关系我们是用点到圆心距离与半径比较，那直线与圆的位置关系怎么表示出来？
设圆心到直线的距离为r
当d＜r时，相交；
当d=r时， 相切；
当d＞r时，相离。
同样地，当相交时，d＜r；当相切时，d=r；当相离时，d＞r。
3.如右图，经过圆O的半径OD外端点D，作直线l⊥OD，直线l与圆O是怎样
的关系？
∵l⊥OD ∴OD=r ∴直线与l相切
因此，经过半径外端并且垂直与这条半径的直线是圆的切线。
注：①直线与圆有一个交点；②直线与过交点的半径垂直。
几何语言：∵l⊥OD ，OD是半径 ∴直线与l相切
4.如图，直线l是圆O的切线，切点为D，直线l与半径OD有怎样
的关系？
l⊥OD
用反证法；假设l与OD不垂直，过圆心O作OD′⊥l，垂足为D′
∵直线l是圆O的切线
∴点O到直线l的距离等于半径
∵点D′在圆上，这样切线会和圆有两个交点，与题目相切矛盾
∴l⊥OD
因此，圆的切线垂直于经过切点的半径。
5.（1）做一个圆，使它与已知三角形的各边都相切？
根据在角得内部到角两边距离相等得点在角得平分线上
可得圆心O是三个内角平分线得交点。
（2）画出右图▲ABC里面最大的圆
因此，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.这个三角形是圆的外切三角形。
如图：▲ABC的面积、周长与内切圆半径之间的关系是？
因此，三角形的面积等于三角形周长与内切圆半径之积的一半。
6.如图，PA、PB是圆O的切线，切点分别为A、B.PA与PB相等吗？
PA=PB
∵PA、PB是圆O的切线
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∴∠PAO=∠PBO=90°
∴PA=PB
在经过圆外一点作圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
因此，从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
几何语言：∵PA、PB是圆O的切线 ∴PA=PB
考点一：判断直线与圆的位置关系
例1．如图，一辆汽车的轮胎因为漏气瘪掉了，将轮胎外轮廓看作一个圆，则这个圆和与它在同一平面内的地面（看作一条直线）的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．包含
【答案】A
【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键；因此此题可直接根据图形进行求解即可．
【详解】解：由图可知：这个圆与这条直线的位置关系是相交；
故选：A．
【变式1-1】中，，，以点为圆心，为半径画圆，那么该圆与的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．不能确定
【答案】A
【分析】本题考查了直线和圆的位置关系、等腰三角形三线合一的性质、勾股定理，明白要作、求出是解题的关键．
根据题意画出，并过点作于点，根据等腰三角形三线合一求得的长，再利用勾股定理求得的长，把与圆的半径比较大小，判定该圆与的位置关系即可．
【详解】解：如图，根据题意画出，并过点作于点，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴以点为圆心，为半径的圆，与的位置关系是相离，
故选：A．
【变式1-2】27．已知在直角坐标系中，以点为圆心，以3为半径作，则直线与的位置关系是 （相切、相交或相离）．
【答案】相交
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系；根据直线与y轴的交点在内部，即可确定直线与圆的位置关系是相交．
【详解】解：当时，，
即直线与y轴的交点为，而此点在内部，
∴直线与的位置关系是相交；
故答案是：相交．
【变式1-3】已知：中，，以点C为圆心，作半径为的圆.问：
(1)当R为何值时，和直线相离？
(2)当R为何值时，和直线相切？
(3)当R为何值时，和直线相交？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系．根据题意画出图形，过点C作于点D，由勾股定理求出的长，再求出的长，根据直线与圆的三种位置关系进行解答即可．
【详解】（1）解：过点C作于点D，

∵中，，
∴，
∴，
∴当，和直线相离；
（2）解：当时，和直线相切；
（3）解：当时，和直线相交．
考点二：由位置关系求半径
例2．在直角三角形中，，，，以点C为圆心作，半径为，已知直线和有交点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理，作于D，由勾股定理求出，由三角形的面积求出，可得以C为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，即可得直线和有交点， 的取值范围．
【详解】解：作于D，如图所示：
∵，
∴，
∵的面积，
∴，即圆心C到的距离，
∴以C为圆心的⊙C与直线有交点，则的取值范围是：．
故选：B．
【变式2-1】如图，在中，，，，若与直线相交，则半径r的值或取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理，圆与直线的位置关系；
过C作于D，利用勾股定理求出，根据三角形的面积求出，然后结合圆与直线的位置关系得出答案．
【详解】解：过C作于D，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵与直线相交，
∴半径r的值或取值范围为，
故选：C．
【变式2-2】中，是的中点，以点为圆心作，若与边有且仅有一个交点，则的半径应满足 ．
【答案】或
【分析】本题考查含角的直角三角形的性质，直线和圆的位置关系，掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．
过点D作的垂线，垂足为E，过点A作于点F，连接，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可以得到，，利用勾股定理求出长，分为相切和当B在圆内部，点C在上或在外分类讨论即可解题．
【详解】过点作的垂线，垂足为，过点作于点，连接，
，
，
∵是的中点,
，
，，
∵，
∴，
∴，
，
当，即 时，与边有且仅有一个交点，
当在圆内部，点在上或在外时，即 时, 与边也有且仅有一个交点，
∴当或 ，与边有且仅有一个交点，
故答案为：或 ．
【变式2-3】已知的斜边，直角边，以点为圆心作．
(1)当半径为 时，直线与相切；
(2)当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为______________；
(3)当与线段没有公共点时，半径的取值范围为________________．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】本题考查直线与圆的位置关系、解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
（1）如图作于．求出的值即可判断；
（2）观察图形可知，当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为或；
（3）观察图形可知，半径的取值范围为或，
【详解】（1）如图作于．
在中，，，，
，
，
，
当半径时，直线与相切．
故答案为：．
（2）观察图形可知，当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为或，
故答案为：或；
（3）观察图形可知，当与线段没有公共点时，半径的取值范围为或，
故答案为：或．
考点三：由位置关系求距离
例3.如果直径为的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的距离满足（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．解决本题的关键是确定圆的半径，进而可知直线与圆心的距离d的取值范围．先求出圆的半径为，再根据直线与圆相交时，d的取值范围．
【详解】解：∵圆的半径为
∴当直线与圆相交时，直线与圆心的距离，
故选：C．
【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1或5B．1或3C．3或5D．1
【答案】A
【分析】分圆心在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况，根据半径等于圆心到直线的距离写出答案即可．
【详解】解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，此时圆心P到y轴的距离是2，P的坐标为（﹣2，0），所以平移的距离为-2-（-3）=1；
当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，此时圆心P到y轴的距离是2，P的坐标为（2，0），所以平移的距离为2-（-3）=5．
故选：A．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径，注意分类讨论．
【变式3-2】如图，直线、相交于点，，半径为的的圆心在直线上，且与点的距离为．如果以的速度，沿由A向B的方向移动，那么 秒种后与直线相切．
【答案】4或8
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系：直线与有三种位置关系（相切、相交、相离）．也考查了切线的性质和直角三角形的性质．
分类讨论：当点在当点在射线时与相切，过作与，根据切线的性质得到，再利用含的直角三角形三边的关系得到，则的圆心在直线上向右移动了后与相切，即可得到移动所用的时间；当点在射线时与相切，过作与，同前面一样易得到此时移动所用的时间．
【详解】解：当点在射线时与相切，如图，
过作于，
，
，
，
的圆心在直线上向右移动了后与相切，
移动所用的时间（秒；
当点在射线时与相切，如图，
过作与，
，
，
，
的圆心在直线上向右移动了后与相切，
移动所用的时间（秒．
故答案为4或8．
【变式3-3】如图1，平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别是（3，0）、（5，0）、（0，4）．
(1)用无刻度的直尺和圆规作出过A、B、C三点的⊙P，求圆心P的坐标；
(2)如图2，若过A、B两点的⊙M恰好与直线l：相切，请直接写出圆心M的坐标： ．
【答案】(1)画图见解析，圆心P的坐标为
(2)或
【分析】（1）作出AB和AC的垂直平分线，两条直线的交点即为圆心P，
（2）设⊙M与直线l：相切相切与点N，连接AM，MN，根据题意表示出MN的表达式，进而得到点N的坐标，最后根据半径相等列出方程求解即可．
【详解】（1）如图所示．作出AB和AC的垂直平分线，两条直线的交点即为圆心P，
连接AP，CP，AB的垂直平分线交x轴于点M，
∵，A（3，0）、B（5，0）
∴，即点M是AB的中点
∴M点坐标为（4，0）
∴点P的横坐标为4，
设点P的坐标为（4，y）
∵
∴，解得
∴圆心P的坐标为；
（2）如图所示，设⊙M与直线l：相切相切与点N，连接AM，MN，
同（1）可得点M的横坐标为4，
∴设点M的坐标为
∵⊙M与直线l：相切相切与点N
∴
∴设MN所在直线的表达式为
将点M代入得，即
∴MN所在直线的表达式为
∴联立得：，解得
∴点N的坐标为
∵点A和点N都在⊙M上
∴
∴
整理得
解得：或
∴圆心M的坐标为或
故答案为：或．
【点睛】此题考查了确定要圆的条件，一次函数和圆综合题，切线的性质和垂径定理知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
考点四：切线的概念
例4．下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆
B．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等
C．和半径垂直的直线是圆的切线
D．一个三角形只有一个外接圆
【答案】D
【分析】本题考查了确定圆的条件，三角形的外心和外接圆，切线的定义；
根据确定圆的条件，三角形的外心和外接圆，切线的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、不共线的三点确定一个圆，原说法错误；
B、三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，原说法错误；
C、和半径垂直且过半径外端点的直线为圆的切线，原说法错误；
D、一个三角形只有一个外接圆，说法正确；
故选：D．
【变式4-1】下列说法正确的是（ ）
A．圆内接四边形的对角互补；B．相等的圆周角所对的弧相等；
C．平分弦的直径垂直于这条弦；D．垂直于半径的直线是圆的切线．
【答案】A
【分析】本题主要考查圆内接四边形的性质、圆周角定理、垂径定理、切线的定义等知识点，理解相关定义和性质是解题的关键．
根据圆内接四边形的性质，切线的定义，圆周角定理，垂径定理逐项进行判断即可．
【详解】解：A、圆内接四边形的对角互补，选项说法正确，符合题意；
B、同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等，选项说法错误，不符合题意；
C、平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，选项说法错误，不符合题意；
D、圆的切线垂直于过切点的半径，选项说法错误，不符合题意．
故选A．
【变式4-2】在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可）
【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）
【分析】根据切线的判定条件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加条件：∠ABT=∠ATB=45°即可．
【详解】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°，
∵∠ABT=∠ATB=45°，
∴∠BAT=90°，
又∵AB是圆O的直径，
∴AT是圆O的切线，
故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键．
【变式4-3】如图，在的方格中，点A，B，C为格点．
(1)利用无刻度的直尺在图1中画出的中线．
(2)在图2中标出的外心Q并画出外接圆的切线．
【答案】(1)图见详解；
(2)图见详解；
【分析】本题考查作垂直平分线，作垂线：
（1）根据格点作垂直平分线找到中点，连接即可得到答案；
（2）根据边的垂直平分线结合（1）得到圆心，根据切线垂直即可得到答案；
【详解】（1）解：如图所示，根据正方形对角线互相垂直平分得到与交点，连接即为所求，
；
（2）解：如图所示，点是，边垂直平分线的交点，连接根据格点垂直即为所求，
．
考点五：切线的判定
例5．如图，点是中边的中点，于，以为直径的经过，连接，有下列结论：①；②；③；④是的切线．其中正确的结论是
A．①②B．①②③C．②③D．①②③④
【答案】D
【分析】此题考查了切线的判定，及三角形的中位线定理．证明切线时连接是解这类题经常连接的辅助线．根据直径所对的圆周角是直角，即可判断出选项①正确；由为三角形的中位线，根据三角形的中位线定理得到与平行，由与垂直得到与垂直，即为，故为圆的切线，选项④正确．由同角的余角相等及等腰三角形的性质可判定②；由为中点，得到为的一半，故为的一半，选项③正确；
【详解】解：是直径，
，
，选项①正确；
连接，如图，
为中点，为中点，
为的中位线，
∴，
又，
，
，
为圆的切线，选项④正确；
又，
，
为圆的直径，
，
，，
，
，选项②正确；
由为中点，且，
垂直平分，
，又，
，选项③正确；
则正确的结论为①②③④．
故选：D．
【变式5-1】下列命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的内心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧；⑤菱形的四个顶点在同一个圆上；⑥垂直于半径的直线是圆的切线，其中正确结论的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【分析】根据弦的含义可判断①，根据过不在同一直线上的三点可确定一个圆可判断②，根据三角形的内心的性质可判断③，根据等弧的含义可判断④，根据四点共圆的判定可判断⑤，根据切线的判定可判断⑥，从而可得答案．
【详解】解：①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，故正确；
②当三点共线的时候，不能作圆，故错误；
③三角形的内心是三角形三个内角的平分线的交点，所以三角形的内心到三角形三边的距离都相等，故错误；
④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确．
⑤菱形的对角不一定互补，所以菱形的四个顶点不一定在同一个圆上；故错误，
⑥过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故错误；
故选C．
【点睛】本题考查的是圆中的基本概念，圆的确定，三角形的内心的性质，四点共圆的判定，切线的判定，熟记基本概念与圆中基本定理的含义是解本题的关键．
【变式5-2】如图，四边形为菱形，且顶点都在上，过点作的切线，与的延长线相交于点．若的半径为2，则的长为 ．

【答案】
【分析】本题考查了圆的综合题，菱形的性质，切线的判定与性质，正确添加辅助线，注意数形结合思想的应用是解题的关键．
连接，由菱形的性质得，再由三角函数即可解答．
【详解】解：连接．
四边形是菱形，
，
，
，
，
是的切线，
，
，
．
【变式5-3】如图，在中，．以为直径作交于点D，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线．
(2)若．求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了圆切线的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，勾股定理等等，熟知圆切线的性质与判定是解题的关键．
（1）连接、，由为的直径知是直角三角形，结合E为的中点知，由且可得答案；
（2）设的半径为，由，即可得，即可得出答案．
【详解】（1）证明：如图，连接、．
∵为的直径，
∴，
∴，即是直角三角形，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴是的切线；
（2）解：设的半径为，
∵，
∴，即，
解得：，
∴的面积为．
考点六：切线的性质
例6. 如图，在中，为直径，为弦，为切线，连接．若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了切线的性质，等边对等角，圆周角定理等知识．熟练掌握切线的性质，等边对等角，圆周角定理是解题的关键．
由为切线，可得，由，可得，由，可得，求解作答即可．
【详解】解：∵为切线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【变式6-1】如图，是的半径，是的弦，于点，是的切线，交的延长线于点．若，，则线段的长为（ ）
A．B．1.5C．1D．
【答案】A
【分析】此题重点考查垂径定理、直角三角形的两个锐角互余、“等角对等边”、勾股定理、切线的性质定理等知识，求得并且证明是解题的关键．根据垂径定理得，可证明，则，求得，由是的切线，证明，则，所以，于是得到问题的答案．
【详解】解：是的半径，是的弦，且，于点，
，，
，
，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
故选：A
【变式6-2】如图，点P为圆外一点，过点P作的切线、，A，B为切点．点C为上一点，若，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理．连接，，由切线的性质定理得到，求出，由圆周角定理得到．
【详解】解：连接，，
，分别切圆于、，
半径，半径，
，
，
，
．
故答案为：．
【变式6-3】如图，四边形是的内接四边形，为的直径，点D为的中点， 于点F，过点 D作的切线，交的延长线于点 E．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)1
【分析】（1）连接．由切线的性质得，由等弧所对的圆周角相等得，进而可证，求出即可证明；
（2）由勾股定理得，先证明，再根据证明可得．
【详解】（1）如图，连接．
∵是的切线，
∴．
∵ 点 D 为的中点，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）
∴．
∵四边形为的内接四边形，
∴．
又∵∠，
∴．
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握圆的性质是解答本题的关键．
考点七：切线长定理的性质
例7．如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质等知识点，正确作辅助线是解题关键．
根据圆的内接四边形的性质得，由得，由切线长定理得，即可求得结果．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，是的切线，根据切线长定理得，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【变式7-1】如图，过外一点作的两条切线，，切点分别为，，与交于点，与交于点，为的直径．若，，则的长为（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】B
【分析】此题重点考查切线的性质定理、切线长定理、等腰三角形的“三线合一”、直径所对的圆周角是直角、三角形的中位线定理、等边三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
连接，由切线长定理得，，则，，由为的直径，得，，则，，再证明是等边三角形，得，求得，则，可证明是等边三角形，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接，
，分别与相切于点，，
，，
，，
为的直径，，
，，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，，
是等边三角形，
，
故选：B．
【变式7-2】如图，是外一点，、分别和切于、，是弧上任意一点，过作的切线分别交、于、，若的周长为，则长为 ．
【答案】/厘米
【分析】本题主要考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角，掌握切线长定理是解题的关键．先根据切线长定理求得，，，再由的周长为，即可求解．
【详解】解：、、分别切于、、，
，，；
∵的周长为，
，
．
故答案为：．
【变式7-3】如图，与的边相切于点C，与边分别交于点D、E，，是的直径．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)的长为6
【分析】本题考查了切线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）连接，根据平行线的性质得出，，根据等腰三角形的性质得出，即可得出，进而证得，得到，即可证得结论；
（2）由切线的性质得到，由勾股定理求得，可得，由切线长定理得到，设，根据勾股定理列出关于的方程，解方程即可．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
∵，
，，
，
是切线，
，
在和中
，
，
，
是半径，
是的切线；
（2）解：是的切线，
，
，
，
，
，
，是的切线，
，
设，
在中，，
，
解得：，
．
考点八：切线长定理的判定
例8．如图，是的直径，点是外一点，过点的两条直线分别与圆相切于点、，点是圆周上任意一点，连接、，若，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查切线长定理，切线的性质，连接，根据切线长定理结合等边对等角，求出的度数，切线的性质，求出的度数，再根据圆周角定理，即可得出结果．
【详解】解：连接，
，分别切圆于、，
，
，
，
，
是圆的直径，
，

．
故选：D．
【变式8-1】如图，分别与相切于两点，与相切于点，与相交于两点，若，，则的周长和的度数分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】D
【分析】本题主要考查圆的基础知识，切线的性质，掌握切线的性质，圆周角定理的运用是解题的关键．
根据切线的性质可得，，可得的周长，如图所示，连接，可求出所对圆心角，根据同弧或等弧所对圆周角等于圆心角的一半，由此即可求解．
【详解】解：∵分别与相切于两点，
∴，即，，
∵分别与相切于两点，
∴，
∵分别与相切于两点，
∴，
∴，，
∴的周长为，
如图所示，连接，
∵分别与相切于两点，，
∴，，
在中，，
同理，，
∴所对的圆心角，
∴所对圆心角，
∴，
故选：．
【变式8-2】如图，中，为直径，，分别切于点，．过点作于点，交于点，若，则的大小为 （度）．
【答案】60
【分析】连接AB、AD，可证四边形BMAD是出平行四边形，进而可证四边形BMAD是菱形，再证明△AMB是等边三角形，即可得出答案．
【详解】连接AD，AB，
∵MA切⊙O于A，
∴AC⊥AM，
∵，
∴BD//AM，
∵DB=AM，
∴四边形BMAD是平行四边形，
∵MA、MB分别切⊙O于A、B，
∴MA=MB，
∴四边形BMAD是菱形，
∵BD⊥AC，AC过O，
∴BE=DE，
∴AB=AD，
∴BM=MA=AB，
∴△BMA是等边三角形，
∴∠AMB=60°．
故答案为：60．
【点睛】本题考查了等边三角形性质和判定，切线性质，切线长定理，线段垂直平分线性质，垂径定理，菱形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运行性质进行推理的能力．
【变式8-3】如图，，是的切线，，为切点，连接．
(1)若与相切于点，求证；
(2)若，求证与相切．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【分析】（）利用切线长定理证明，即可求证；
（）延长到点，使得，连，过点作，垂足为G，连接，，，，证明，再由证明，根据性质再证明，最后由性质即可求证；
此题考查了切线长定理和切线的判定与性质，全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点的的应用及正确添加辅助线是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵与相切，切点为，且，是的切线，，为切点，
∴ ，，
∵，
∴；
（2）证明：延长到点，使得，连接，过点作，垂足为G，连接，，，，
∵，，
∴ ，
∵，是的切线，，为切点，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴平分，
又∵，，
∴，
∴与相切．
考点九：三角形的内心
例9．如图，中，，，，点O为内心，连接并延长交于点D，过点A作于点E，交于点F，则（ ）
A．B．1C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了内心的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理．作于点，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得的长，利用等腰直角三角形的性质求得的长，再证明是等边三角形，据此计算即可求解．
【详解】解：作于点，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵点O为内心，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
故选：C．
【变式9-1】如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，再将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，若与的交点为，则点是（ ）
A．的外心B．的内心
C．的重心D．的中心
【答案】B
【分析】本题考查了翻折变换以及角平分线的性质，三角形的内心的性质，根据折叠的性质可知点为角平分线的交点，根据角平分线的性质可知点到三边的距离相等．
【详解】解：如图：过点作，，，

由题意得：，，
为角平分线的交点，
，
点到三边的距离相等．
点是的内心．
故选：B．
【变式9-2】如图，点为的内心，，，若，则的长为 ．

【答案】
【分析】本题考查了三角形内心、三角形全等的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式，连接、、，令交于，作于，于，设，则，，证明，得出，设，则，，再根据三角形面积公式建立方程求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
【详解】解：如图：连接、、，令交于，作于，于
，点为的内心，
，
设，则，，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
解得：，
，
故答案为：．
【变式9-3】如图，是的直径，点C是上一点，与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线与的延长线相交于点P，G是的内心，连接并延长，交于E，交于点F，连接．
(1)求证：平分；
(2)连接，判断的形状，并说明理由；
(3)若，，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)等腰三角形，见解析
(3)6
【分析】（1）由切线的性质可得出，结合题意可证，即得出．再根据同圆半径相等和等腰三角形的性质，即得出，从而易证平分；
（2）由直径所对圆周角为直角可知．再根据三角形内心的性质可知，．由同弧或等弧所对圆周角相等可知，从而结合三角形外角性质得：，即，即证明为等腰三角形；
（3）连接，作交于点M， 由圆周角定理可知．根据勾股定理可得出，即得出，从而由等腰直角三角形的性质结合勾股的定理求出．又易证为等腰直角三角形，同理可求出，最后再次利用勾股定理即可求出，进而可求出．
【详解】（1）∵是切线
∴．
∵，
∴．
∴．
又∵，
∴，
∴，即平分；
（2）为等腰三角形，理由如下，
∵为的直径，
∴．
∵G是的内心，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形；
（3）连接，作交于点M，如图所示：
由圆周角定理可知．
∵，，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题为圆的综合题，考查切线的性质，圆周角定理及其推论，三角形内心的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识．熟练掌握圆的相关知识是解题关键．在解（3）时正确作出辅助线也是关键．
1．如图，为外一点，，分别切于，两点，若，则（ ）
A．3B．6C．9D．12
【答案】B
【分析】本题考查切线长定理，直接根据切线长定理，即可得出结果．
【详解】∵为外一点，，分别切于，两点，
∴，
故选B．
2．如图所示，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，，，则的周长为（ ）
A．36B．38C．40D．42
【答案】A
【分析】本题主要考查三角形的内切圆与内心及切线长定理，灵活运用切线长定理是解题的关键．由切线长定理可知，，，再根据线段的和差即可求得答案．
【详解】解：∵的内切圆分别与，，AC相切于点D，E，F，
∴，，，
∵，，，
∴，，，
∴，，，
∴的周长．
故选：A．
3．如图，点A、B、C在上，，过点C作的切线交的延长线于点D，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查圆的切线的性质，同弧所对圆周角和圆心角的关系，掌握同弧所对圆周角是圆心角的一半是解答本题的关键．连接，根据同弧所对圆周角和圆心角的关系，求出的度数，再根据为的切线，得到，再求出的大小即可．
【详解】解：如图，连接，
∵为的切线，
∴，
∵，是所对的圆周角和圆心角，，
∴，
∴，
故选：C．
4．如图，的边与相切于点，点在上，经过圆心，且，为劣弧上一动点，连接，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理，连接，由切线的性质得出，求出所对的圆心角度数，再由圆周角定理即可得出答案．
【详解】解：连接，如解图所示，则．
．
．
点在劣弧上，
所对的圆心角为．
，
故选：A．
5．如图，、是的切线，切点分别为、，的延长线交于点，连接，，．若，，则等于（ ）
A．60°B．20°C．30°D．45°
【答案】C
【分析】根据切线性质得出，根据，得出，证明是等边三角形，得出，根据圆周角定理即可得答案．
【详解】解：设交于，连接，
∵、是的切线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查切线的性质、直角三角形斜边中线的性质、等边三角形的判定与性质及圆周角定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
6．如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的内切圆和面积，设的内切圆为，与 分别相切于点，由，，得，，连接，由可得，即得，同理得，进而即可求解，正确地作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：设的内切圆为，与 分别相切于点，
∵，，，
∴，
，
∵为斜边上的中线，
∴，
∴，
连接，则，
∵ ，且，，，
∴，
解得，
同理可得，，
解得，
∴，
故选：．
7．如图，在中，，，，的长度分别为，，，与分别与直线、、相切（与分别在直线的异侧），若的半径为，的半径为，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设与、、的切点分别为D、E、F，与、、的切点分别为G、M、N．连接、、、、、，则四边形、是正方形，则，，根据 切线长定理可得，，由此即可求出的值．
本题主要考查了正方形的判定和性质，切线的性质和切线长定理，“圆的切线垂直于过切点的半径”，“过圆外一点向圆引的两条切线长相等”，熟练掌握切线的相关性质是解题的关键．
【详解】
如图，设与直线、、的切点分别为D、E、F，与直线、、的切点分别为G、M、N．连接、、、、、，则四边形、是正方形，
则，,
由切线长定理得，，
，，
，
，
又，
，
．
故选：C．
8．如图，点在线段上，，以为圆心，为半径作，点在上运动，连接，以为一边作等边，连接，则长度的最小值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】以为边，在的上面作等边，使，，连接，，，根据全等三家巷的性质得到，连接并延长，交于点，则的最小值为，过作于，根据勾股定理即可得到答案．
【详解】解：如图，以为边，在的上面作等边，使，，连接，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
点的运动轨迹为以点为圆心，2为半径的圆，
连接并延长，交于点，则的最小值为，过作于，
，，
，
，
，
长度的最小值为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
9．如图，是⊙O的直径，切⊙O于点A，交⊙O于点C，连接，若，则的度数为 ．
【答案】/34度
【分析】本题考查了切线的性质，根据题意求出即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∴
∵切⊙O于点A，
∴
∴
故答案为：
10．如图，，分别切于点A，B，，那么的长为 ．
【答案】2
【分析】本题考查切线长定理，由切线长定理知，根据已知条件即可判定是等边三角形，由此可求得的长．
【详解】解：∵、分别切于A、B，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
故答案为：2．
11．如图，是半圆O的直径， 切半圆于点的平分线交于点D，若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的性质，切线的性质，勾股定理，过点作于点，根据勾股定理求得，进而根据角平分线的性质以及三角形的面积公式得出，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
∵是的切线，
∴
在中，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
又∵，
∴，
故答案为：．
12．如图，在直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数的图象上，D为y轴上一点，则的面积为 ．

【答案】1
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，切线的性质；根据反比例函数系数k的几何意义可得，由切线的性质可得轴，再根据三角形的面积公式列式求解即可．
【详解】解：∵点C在函数的图象上，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵与轴相切于点，
∴轴，
∴轴，
∴，
故答案为：1．
13．如图，的圆心为，半径为，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为
【答案】
【详解】解：记直线与x，y轴分别交于点A，K，连接，
当，，当，即，
解得：，
而
∴，
∴均是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵与相切，
∴，
∴，
∵，
∴当最小时即最小，
∴当时，取得最小值，
即点P与点K重合，此时最小值为，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴最小值为．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点问题，垂线段最短，正确添加辅助线是解题的关键．
14．如图，中，，，，点P为的中点，点Q为边上一动点，将绕点C顺时针旋转，点Q的对应点记为点，旋转过程中的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，圆的运动轨迹，过点C作于点H，先根据勾股定理求出的长，利用三角形面积求出的长，利用由于点在以C为圆心，为半径的圆上，能截取到最小值，在以C为圆心，为半径的圆上，能截取到最大值，即可求出结果．
【详解】解：如图，过点C作于点H，
，
，
，
，
以点C为圆心为半径作圆，
为的中点，
，
由于点在以C为圆心，为半径的圆上，能截取到最小值，
的最小值为，
由于上的点B距离C点最短，
能取最大值时，在以C为圆心，为半径的圆上，能截取到最大值，
的最大值为，
旋转过程中的取值范围为
故答案为：．
15．如图，在中，，以为直径作半圆，交于点D，连接，过D作，垂足为E．
(1)求证：；
(2)求证：为的切线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了圆周角定理．
（1）先利用圆周角定理得到，再根据等腰三角形的性质得；
（2）连接，如图，先证明为的中位线，则，再利用得到，然后根据切线的判定定理得到结论．
【详解】（1）证明：∵为直径，
∴，
∵
∴；
（2）证明：连接，如图，
∵，
∴为的中位线，
∴，
∴，
∴
∵是半径
∴为的切线．
16．已知，四边形 内接于为直径 ，与的延长线相交于点E，平分，与相交于点 F．
(1)如图1，若 ，求证：；
(2)如图2，若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、圆与三角形的综合、勾股定理：
（1）利用证得，进而可求证结论；
（2）利用先证得，进而可得，，设，，利用勾股定理得，，再结合，即可求解；
熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键。
【详解】（1）证明：为直径，
，
，
，
，
在和中，
，
。
（2）平分，
，
由（1）得：，
在和中，
，
，
，
，，
设，，
由勾股定理得：，，
，，
，即：，
解得：，
为直径，
的半径为。
17．如图①，四边形是菱形，是的外接圆．
(1)求证：圆心O在直线上；
(2)如图②，当时，求证：与相切；
(3)当与菱形的边有五个公共点时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）如图①，连接，由菱形，可得，，由是的外接圆，可得，则是线段的垂直平分线，即，由，可知三点共线，进而结论得证；
（2）如图②，连接，证明是等边三角形，，，同理（1）可知，是线段的垂直平分线，则，，即，进而结论得证；
（3）由（2）可知，当时，与菱形的边有3个公共点，当四边形为正方形时，四边形的边与共有4个公共点，进而可知当时，与菱形的边有五个公共点．
【详解】（1）证明：如图①，连接，
∵菱形，
∴，，
∵是的外接圆，
∴，
∴是线段的垂直平分线，即，
∵，
∴三点共线，即圆心O在直线上；
（2）证明：如图②，连接，
∵菱形，，
∴，，
∴是等边三角形，，
∴，
同理（1）可知，是线段的垂直平分线，
∴，
∴，即，
又∵是半径，
∴与相切；
（3）解：由（2）可知，当时，与菱形的边有3个公共点，
当四边形为正方形时，四边形的边与共有4个公共点，
∴当时，与菱形的边有五个公共点，
∴的取值范围为．
【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的判定，等边三角形的判定与性质，切线的判定，外接圆，正方形的性质等知识．熟练掌握菱形的性质，垂直平分线的判定，等边三角形的判定与性质，切线的判定，外接圆，正方形的性质是解题的关键．
18．在平面直角坐标系中，对于两点和直线，过点作直线的垂线，垂足为点，若点关于点的对称点为点，则称点为点关于直线和点的“垂足对称关联点”．已知点．
(1)①点关于轴和点的“垂足对称关联点”的坐标为______；
②点为点关于直线和点的“垂足对称关联点”，则点到直线的距离为______；
(2)如图，点在线段上，点在轴下方，且满足，若直线上存在点关于轴和点的“垂足对称关联点”，求的取值范围．
【答案】(1)①；②1
(2)
【分析】（1）依据“垂足对称关联点”的定义，中点坐标公式解决即可；
（2）①以点O为圆心，为半径作圆，当直线与圆O相切时，b最大，此时，过点O作直线的垂线，则，且，据此求出b的值；②当点D与点重合时，点G关于点A的对称点H最远，此时b最小，求出，由此得到的取值范围为．
【详解】（1）解：①如图，过点作x轴的垂线，则垂足B所表示的数为，
∵，
∴点关于轴和点的“垂足对称关联点”的坐标为，
故答案为：；
②∵，点，
∴它们的中点的坐标为，即，
∵点为点关于直线和点的“垂足对称关联点”，
∴点到直线的距离为1，
故答案为：1．
（2）
①如图，以点O为圆心，为半径作圆，当直线与圆O相切时，b最大，此时，过点O作直线的垂线，则，且，
∵点D与点E的中点为O，
∴点C与点B重合，
∵，
∴,
∴；
②当点D与点重合时，点G关于点A的对称点H最远，此时b最小，如图，
∵，
∴点G关于点A的对称点H的坐标为,
将代入，得，
∴的取值范围为．
【点睛】此题考查了对称的性质，一次函数的性质，坐标系中中点坐标公式，（2）根据对称的性质确定最高点及最远点是难点，正确理解对称的性质是解题的关键．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．了解三种直线与圆位置关系；
2．掌握切线的概念；
3.了解三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形的概念，会作已知三角形的内切圆；
4.了解切线长的概念。