第01讲+全等形-2024年暑假新八年级数学自学预习精品讲义（苏科版）

这是一份第01讲+全等形-2024年暑假新八年级数学自学预习精品讲义（苏科版），共23页。学案主要包含了全等形，全等三角形，对应顶点，对应边，对应角，将已知图形分割成几个全等图形等内容，欢迎下载使用。

理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素.
一、全等形
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.
要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.
二、全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
三、对应顶点，对应边，对应角
1．对应顶点，对应边，对应角定义
两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.
要点诠释：
在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.
2．找对应边、对应角的方法
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；
（3）有公共边的，公共边是对应边；
（4）有公共角的，公共角是对应角；
（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；
（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等。
类型一、全等形和全等三角形的概念
例1、下列每组中的两个图形，是全等图形的为（）
A． B．
D．
例2、请观察下图中的6组图案，其中是全等形的是__________.
【变式1】下列各组图形中，一定全等的是（ ）
A．各有一个角是45°的两个等腰三角形
B．两个等边三角形
C．各有一个角是40°，腰长3cm的两个等腰三角形
D．腰和顶角对应相等的两个等腰三角形
【变式2】全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC和△A1B1C1是全等(合同)三角形，点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界A→B→C→A，及A1→B1→C1→A1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形(如图1)，若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形(如图2)，两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180°，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是（）
类型二、全等三角形的对应边，对应角
例3、如图，△ABN≌△ACM，∠B和∠C是对应角，AB与AC是对应边，写出其他对应边和对应角。

例4、如图，△ABD≌△CDB，若AB∥CD，则AB的对应边是（）
A．DB B．BC C．CD D．AD
【变式】如图，△ABD≌△ACE，AB＝AC，写出图中的对应边和对应角.
类型三、利用全等图形求正方形网格中的角度之和
例5、如图，在的正方形网格中，求______度．
【变式】如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为__________.
类型四、将已知图形分割成几个全等图形
例6、沿着图中的虚线，用四种不同的方法将下面的图形分成两个全等的图形。
【变式】把4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形，如图，沿着虚线画出种不同的分法，把4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形。
一、单选题
1．找出下列各组图中的全等图形（ ）
A．②和⑥B．②和⑦C．③和④D．⑥和⑦
2．如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（ ）
A．30°B．45°C．55°D．60°
3．下列各组中是全等形的是（ ）
A．两个周长相等的等腰三角形B．两个面积相等的长方形
C．两个面积相等的直角三角形D．两个周长相等的圆
4．下列两个图形是全等图形的是（ ）
A．两张同底版的照片B．周长相等的两个长方形
C．面积相等的两个正方形D．面积相等的两个三角形
5．下列各组的两个图形属于全等图形的是（ ）
A．B．C．D．
6．下列说法正确的是（ ）
A．两个等边三角形一定是全等图形B．两个全等图形面积一定相等
C．形状相同的两个图形一定全等D．两个正方形一定是全等图形
二、填空题
7．如图，四边形与四边形是全等图形，则的大小是______°．
8．如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，则∠A的大小是______．
三、解答题
9．如图所示，请你在图中画两条直线，把这个“+”图案分成四个全等的图形。（要求至少要画出两种方法）
一、单选题
1．下列各组中的两个图形属于全等图形的是
A．B．
C．D．
2．下列图形中与如图所示的图形全等的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列各组中的两个图形属于全等图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．下图中全等的三角形是（ ）
A．①和②B．②和④C．②和③D．①和③
5．下列说法正确的是（ ）
A．两个形状相同的图形称为全等图形B．两个圆是全等图形
C．全等图形的形状、大小都相同D．面积相等的两个三角形是全等图形
6．下列各组中的两个图形属于全等形的是（ ）
A．B．
C．D．
7．下列说法不正确的是（ ）
A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同
B．全等三角形的对应边相等，对应角相等
C．图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关
D．面积相等的两个图形是全等图形
8．下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，下面4个正方形的边长都相等，其中阴影部分的面积相等的图形有（ ）
A．0个B．2个C．3个D．4个
10．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（ ）
A．30°B．45°C．60°D．135°
11．下列图标中，不是由全等图形组合成的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
12．如图所示的图案是由全等的图形拼成的，其中AD=0.5，BC=1，则AF=______．
13．在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于______．
14．如图，已知正方形中阴影部分的面积为3，则正方形的面积为________．
15．如图，是一个的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4=________．
16．如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=________度．
三、解答题
17．如图，用三种不同的方法沿网格线把正方形分割成4个全等的图形（三种方法得到的图形相互间不全等）．
18．知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等形．”
理解应用：我们可以把4×4网格图形划分为两个全等图形．
范例：如图1和图2是两种不同的划分方法，其中图3与图1视为同一种划分方法．
请你再提供四种与上面不同的划分方法，分别在图4中画出来．
19．试在下列两个图中，沿正方形的网格线（虚线）把这两个图形分别分割成两个全等的图形，将其中一部分涂上阴影。
20．方格纸上有2个图形，你能沿着格线把每一个图形都分成完全相同的两个部分吗？请画出分割线。
参考答案
类型一、全等形和全等三角形的概念
例1、A
【解析】B，C，D选项中形状相同，但大小不等.
【总结升华】是不是全等形，既要看形状是否相同，还要看大小是否相等.
例2、（1）（4）（5）（6）；
【解析】（1）（5）是由其中一个图形旋转一定角度得到另一个图形的，（4）是将其中一个图形翻折后得
到另一个图形的，（6）是将其中一个图形旋转180°再平移得到的，（2）（3）形状相同，但大小不等.
【总结升华】是不是全等形，既要看形状是否相同，还要看大小是否相等.
【变式1】D；
解析：A、两个等腰三角形的45°不一定同是底角或顶角，还缺少对应边相等，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；
B、两个等边三角形的边长不一定相等，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；
C、40°角不一定是两个三角形的顶角，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；
D、腰和顶角对应相等的两个等腰三角形可以利用“边角边”证明全等，故本选项正确．
【变式2】B；
提示：抓住关键语句，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180°，B答案中的两个三角形经过翻转180°就可以重合，故选B；其它三个选项都需要通过平移或旋转使它们重合.
类型二、全等三角形的对应边，对应角
例3、对应边：AN与AM，BN与CM
对应角：∠BAN与∠CAM，∠ANB与∠AMC
【总结升华】全等三角形对应角所对的边是对应边；全等三角形对应边所对的角是对应角.
例4、C
【解析】因为AB∥CD，所以∠CDB＝∠ABD，这两个角为对应角，对应角所对的边为对应边，所以，BC和DA
为对应边，所以AB的对应边为CD.
【总结升华】公共边是对应边，对应角所对的边是对应边.
【变式】
AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，∠A和∠A是对应角，∠B和∠C，∠ADB和∠AEC
是对应角.
类型三、利用全等图形求正方形网格中的角度之和
例5、45
【分析】连接，根据正方形网格的特征即可求解．
【详解】解：如图所示，连接

∵图中是的正方形网格
∴，，
∴
∴，
∵
∴，即
∴
∵
∴
∵
∴
故答案为：45．
【点睛】本题考查了正方形网格中求角的度数，利用了平行线的性质、同角的余角相等、等腰直角三角形的性质等知识点，解题的关键是能够掌握正方形网格的特征．
【变式】/45度
【分析】观察图形可知与所在的直角三角形全等，则，根据外角的性质卡得，即可求解．
【详解】观察图形可知与所在的直角三角形全等，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用全等的性质求网格中的角度，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，得出是解题的关键．
类型四、将已知图形分割成几个全等图形
例6、见详解
【分析】直接利用图形形状分成全等的两部分即可．
【详解】解：如图所示：
．
【点睛】此题主要考查了全等图形，正确把握全等图形的定义是解题关键．
【变式】
【分析】利用图形的对称性和互补性来分隔成两个全等的图形．
【详解】解：三种不同的分法：
【点睛】本题主要考查的是作图-应用与设计作图，利用对称性和互补性解题．
一、单选题
1．C
【分析】直接根据全等图形的定义判断即可．
【详解】解：∵图形②和图形⑥不能够完全重合，
故A选项不符合题意；
∵图形②和图形⑦不能够完全重合，
故B选项不符合题意；
∵图形③和图形④能够完全重合，
故C选项符合题意；
∵图形⑥和图形⑦不能够完全重合，
故D选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了全等图形的定义，解题关键是理解并掌握“能够完全重合的两个图形叫全等图形”．
2．B
【分析】根据网格特点，可得出，，，进而可求解．
【详解】解：如图，则，，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查网格中的全等图形、三角形的外角性质，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键．
3．D
【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形进行分析即可．
【详解】A、不一定是全等形，故此选项错误；
B、不一定是全等形，故此选项错误；
C、不一定是全等形，故此选项错误；
D、是全等形，故此选项正确；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念．
4．C
【分析】根据全等图形的定义，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】∵两张同底版的照片，照片的尺寸可以是不一样的
∴两张同底版的照片不一定是全等图形，故选项A错误；
∵周长相等的两个长方形，分成的长和宽可以不相等
∴周长相等的两个长方形不一定是全等图形，故选项B错误；
∵两个正方形面积相等，且正方形的四条边长度相同
∴面积相等的两个正方形是全等图形，故选项C正确；
∵面积相等的两个三角形，对应的底边长和三角形的高可以不同
∴面积相等的两个三角形不一定是全等图形，故选项D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了全等图形的知识；解题的关键是熟练掌握全等图形的性质，从而完成求解．
5．D
【分析】根据全等图形的定义，逐一判断选项，即可．
【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意，
B.两个图形不能完全重合，不是全等图形，符合题意，
C.两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意，
D.两个图形能完全重合，是全等图形，不符合题意，
故选D．
【点睛】本题主要考查全等图形的定义，熟练掌握“能完全重合的两个图形，是全等图形”是解题的关键．
6．B
【分析】利用全等的定义分别判断后即可得到正确答案.
【详解】解：A、两个等边三角形不一定全等，例如两个等边三角形的边长分别为3和4，这两个三角形就不全等，故此选项错误；
B、两个全等的图形面积是一定相等的，故此选项正确；
C、形状相等的两个图形不一定全等，例如边长为3和4的正方形，故此选项错误；
D、两个正方形不一定全等，例如边长为3和4的正方形，故此选项错误.
故选B.
【点睛】本题主要考查了全等的定义，解题的关键是了解能够完全重合的两个图形全等.
二、填空题
7．95
【分析】利用全等多边形对应角相等及多边形内角和定理求解即可．
【详解】解：四边形与四边形是全等图形，
，
四边形内角和为，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等多边形的性质，解题的关键是掌握全等多边形的对应角相等，及多边形内角和定理．
8．95°
【分析】根据两个多边形全等，则对应角相等，利用四边形内角和为360°即可求解.
【详解】∵四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′
∴∠D=∠D′=130゜
∵四边形ABCD的内角和为360゜
∴∠A=360゜-∠B-∠C-∠D=95゜
故答案为：95゜
【点睛】本题考查了多边形全等的性质、多边形的内角和定理，掌握多边形全等的性质是关键．
三、解答题
9．答案见解析
【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形画线即可．
【详解】解：如图所示：
故答案是：见解析
【点睛】本题考查了全等图形的定义以及特征---定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形；特征：形状大小相同，能够完全重合．
一、单选题
1．B
【分析】利用全等图形的概念可得答案．
【详解】解：A.两个图形不能完全重合，故此选项不符合题意；
B.两个图形能够完全重合，故此选项符合题意；
C.两个图形不能完全重合，故此选项不符合题意；
D.两个图形不能完全重合，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是全等图形的识别、全等图形的基本性质．能够完全重合的图形叫做全等图形，全等图形的形状、大小完全相同．正确理解全等图形的概念是解题的关键．
2．B
【分析】根据全等图形的定义（能够完全重合的两个图形叫做全等图形）即可得．
【详解】解：观察四个选项可知，只有选项B符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等图形，熟记全等图形的概念是解题关键．
3．D
【分析】根据全等图形的定义，逐一判断即可．
【详解】A．两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
B．两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
C．两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
D．两个图形能完全重合，是全等图形，符合题意．
故选D．
【点睛】本题主要考查全等图形的定义，熟练掌握“能完全重合的两个图形，是全等图形”是解题的关键．
4．D
【分析】根据全等三角形的判定方法逐一进行判断即可．
【详解】A、①和②，SA，角的另一条邻边不相等，两个三角形不全等，不符合题意；
B、②和④，5cm分别是图②和图④的邻边和对边，两个三角形不全等，不符合题意；
C、②和③，SA，角的另一条邻边不相等，两个三角形不全等，不符合题意；
D、①和③，SAS，两个三角形全等，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定方法．熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
5．C
【分析】根据全等图形的定义逐项进行判断．
【详解】解：A.两个形状相同的图形，大小不一定相等，因此这样的两个图形不一定是全等图形，故A错误；
B.两半径相同的圆是全等图形，故B错误；
C.全等图形的形状、大小都相同，故C正确；
D.面积相等的两个三角形不一定形状相同，不一定是全等图形，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了全等图形的定义，解题的关键是熟练掌握形状和大小都相同的图形是全等图形．
6．C
【分析】根据全等形的形状相同、大小相等逐项分析即可．
【详解】根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断．
解：A、两个图形的形状不一样，不是全等形，故不合题意；
B、两个图形的形状不一样，不是全等形，故不合题意；
C、两个图形能够完全重合，是全等形，故符合题意；
D、两个图形的大小不一样，不是全等形，故不合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了全等形的定义：能够完全重合的两个平面图形叫做全等形．
7．D
【分析】直接利用全等图形的定义与性质分别分析得出答案．
【详解】解：A、如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同，正确，故此选项不合题意；
B、全等三角形的对应边相等，对应角相等，正确，故此选项不合题意；
C、图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关，正确，故此选项不合题意；
D、全等图形的面积相等，但是面积相等的两个图形不一定是全等图形，故此选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了全等图形的定义与性质，正确掌握全等图形的性质是解题关键．
8．B
【分析】直接利用全等图形的概念进而得出答案．
【详解】解：图形分割成两个全等的图形，如图所示：
故选B．
【点睛】此题主要考查全等图形的识别，解题的关键是熟知全等的性质.
9．C
【分析】观察图形可发现：四个正方形是全等的，面积相等；a，b，d三个图形中中空白部分可以组成一个完整的圆，根据圆的面积相等可得这三个图形中阴影部分的面积相等，得出答案．
【详解】由图可知：（a）、（b）、（d）的空白处均可组成一个完整的半径相等的圆，而正方形的面积相等，根据等量减去等量差相等的原理得这三个图形中阴影部分的面积相等．
故选：．
【点睛】本题既考查了全等图形的知识，还考查了整体与部分的关系．
10．B
【分析】首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠3=∠ACB，再由∠ACB+∠1=∠1+∠3=90°，可得∠1+∠3-∠2．
【详解】
∵在△ABC和△DBE中
，
∴△ABC≌△DBE（SAS），
∴∠3=∠ACB，
∵∠ACB+∠1=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵∠2=45°
∴∠1+∠3-∠2=90°-45°=45°，
故选B．
【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角相等．
11．C
【分析】根据全等图形的概念分析即可．
【详解】解：A、该图像是由三个全等的图形构成，故该选项不符合题意；
B、该图像是由五个全等的图形构成，故该选项不符合题意；
C、该图像不是由全等图形构成，故该选项符合题意；
D、该图像是由两个全等的图形构成，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了全等图形，熟练掌握能够完全重合的两个图形是全等图形是解题的关键．
二、填空题
12．6
【分析】由图形知，所示的图案是由梯形ABCD和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等则重合的性质求解即可．
【详解】解：由题可知，图中有8个全等的梯形，
所以AF=4AD+4BC=4×0.5+4×1=6．
故答案为：6．
【点睛】考查了全等图形的性质，本题利用了全等形图形一定重合的性质求解，做题的关键是找准相互重合的对应边．
13．7
【分析】沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形，画出所有的分割方案，即可得到最长分割线的长度．
【详解】解：分割方案如图所示：
由图可得，最长分割线的长度等于7．
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查全等形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握全等形的性质.
14．6
【分析】利用割补法，把阴影部分移动到一边.
【详解】把阴影部分移动到正方形的一边，恰好是正方形的一半，故正方形面积是6.
【点睛】割补法，等面积转换,可以简便运算，化复杂为简单.
15．180°.
【分析】仔细分析图中角度，可得出，∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°，进而得出答案．
【详解】解：∵∠1和∠4所在的三角形全等，
∴∠1+∠4=90°，
∵∠2和∠3所在的三角形全等，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠2+∠3十∠4=180°．
故答案为：180．
【点睛】此题主要考查了全等图形，解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用．
16．135
【分析】首先利用全等三角形的判定和性质求出的值，即可得出答案；
【详解】如图所示，
在△ACB和△DCE中，
，
∴，
∴，
∴；
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了全等图形的应用，准确分析计算是解题的关键．
三、解答题
17．
【分析】观察图形发现：这个正方形网格的总面积为16，因此只要将面积分为4，即占4个方格，并且图形要保证为相同即可．
【详解】解：如图所示：
【点睛】本题主要考查了全等图形和作图，准确分析是解题的关键．
18．
【分析】根据网格的特点和全等形的定义进行作图即可．
【详解】依题意，如图
【点睛】本题考查了全等图形的定义，熟练掌握网格特点作图和全等图形的概念是解题的关键．
19．见解析（第一个图答案不唯一）
【分析】根据全等图形的定义，利用图形的对称性和互补性来分隔成两个全等的图形．
【详解】解：第一个图形分割有如下几种：
第二个图形的分割如下：
【点睛】本题主要考查了学生的动手操作能力和学生的空间想象能力，牢记全等图形的定义是解题的重点．
20．见解析
【分析】观察第一个图，图中共有20个小方格，要分成完全相同两部分，则每个有10个小格，则可按如图所示，沿A→B→C→D分割；第二个图同理沿E→F→G→H→P→Q分割即可．
【详解】解：如图所示，第一个图，图中共有20个小方格，要分成完全相同两部分，则每个有10个小格，则可按如图所示，沿A→B→C→D分割；第二个图同理沿E→F→G→H→P→Q分割即可．
将分割出的两个图形，逆时针旋转90度，再通过平移，两部分能够完全重合，所以分割出的两部分完全相同．
【点睛】本题考查图形全等，掌握全等图形的定义是解题的关键。