苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义第2部分-预习篇-第02讲一元二次方程的解法(配方法和公式法)(学生版+解析)

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1.解下列方程
（x+1）²=16


2.再尝试一下下列方程
x²+2x=15 思路：去凑完全平方的形式
解： （两边同时架上1）
（写成完全平方公式）


3.配方法：把一个一元二次方程变形为（x+h）²=k（h，k为常数）的形式，当k≥0时，就可以用直接开平放法求出方程的解，这种一元二次方程的解法叫做配方法。
配方法的解题步骤：
4.用配方法求
解：
我们把（b²-4ac≥0）称为一元二次方程的求根公式。，把一元二次方程中各项系数a、b、c的值直接代入这个公式，就可以求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
5.公式法的步骤
6.根的判别式
式子b²-4ac叫做一元二次方程的根的判别式，用它可以直接判断一元二次方程的根的情况。
考点一：配方法
例1．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】用配方法解方程时，将方程化为的形式，则a的值是（ ）
A．8B．9C．10D．12
【变式1-2】把关于的一元二次方程 配方，得 ，则 ．
【变式1-3】（1）解方程：；
（2）用配方法解方程：．
考点二：根的判别式
例2．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
【变式2-1】一元二次方程解的情况，下列说法正确的是（ ）
A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根
C．方程无实数根D．方程有一个实数根
【变式2-2】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
【变式2-3】已知关于的方程．
(1)若方程的一个实根是3，求实数的值．
(2)求证：无论取什么实数，方程总有实数根．
考点三：根据根的情况求解
例3.已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【变式3-1】关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．且D．且
【变式3-2】若关于x的一元二次方程有两个不等实数根，则k的取值范围是 ．
【变式3-3】已知关于的一元二次方程．
(1)当时，求方程的解；
(2)若该方程有实数根，求的取值范围．
考点四：公式法
例4．若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】对于实数，，定义运算“※”：※，如※．若※，则的值为（ ）
A．B．
C．或D．
【变式4-2】欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取，则的长是该方程的一个正根．当，时，的长为 ．
【变式4-3】解方程
(1)；
(2)
考点五：配方法的应用
例5．已知点是反比例函数图像上一点，则的最小值为( )
A．B．C．D．
【变式5-1】问题：聪明的你知道代数式的最小值为多少吗？解：因为，又因为，所以，所以的最小值为1．请用上述方法，解决代数式的最小值为（ ）
A．3B．C．6D．
【变式5-2】若，则M的最小值为 ．
【变式5-3】阅读以下材料：配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式；
再例如：求代数式的最小值，．可知当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)代数式的最大值为________；
(2)已知：，，求代数式的值．
1．若一元二次方程有实数根，则的值不可能是（ ）
A．B．C．D．
2．关于x的一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．实数根的个数由m的值确定
3．关于x 的一元二次方程有两个不相等实数根，则k 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
4．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ）
A．3B．0C．D．
5．三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（ ）
A．1B．11和13C．11或8D．13
6．如图，点在反比例函数的图象上，，分别垂直于x轴、y轴，点D在位于右侧的反比例函数的图象上，，分别垂直于x轴、于E，F两点，若四边形为正方形，则这个正方形的面积等于（ ）
A．24B．18C．16D．12
7．对于代数式（，a，b，c为常数），下列说法正确的是（ ）
①若，则有两个相等的实数根；
②存在三个实数，使得；
③若与方程的解相同，则．
A．①②B．①③C．②③D．①②③
8．方程不相等的实数根的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．已知是关于的一元二次方程的一个根，则这个方程的另一个根为 ．
10．如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围为 ．
11．用配方法解一元二次方程时，可将原方程配方成，则的值是 ．
12．已知实数、满足等式，则 ．
13．对于实数，，先定义一种新运算“”如下：，若，则实数的值为 ．
14．如图，一次函数与反比例函数的图象交于 A、B两点上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，在反比例函数第三象限的图象上存在一点P，使点P到直线的距离最短，则点P的坐标为 ．
15．解方程：
(1)；
(2)．
16．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求实数的取值范围；
(2)若为满足条件的最大整数，求此时方程的根．
17．附加题
(1)试用一元二次方程的求根公式，探索方程的两根互为相反数的条件是 ．
(2)已知、为实数，，则 ．
(3)在直角梯形中，，度，，，，动点从点出发，沿线段方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点从点出发，在线段以每秒1个单位长度的速度向点运动．点、分别从点、同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为秒．
①设的面积为，求和之间的函数关系式；
②当为何值时，以、、三点为顶点的三角形是等腰三角形？（分类讨论）
18．教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．
例如：分解因式：．
解：原式
再如：求代数式的最小值．
解：，
当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：（应用配方法）
(2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．
(3)利用配方法，尝试求出等式中，的值．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．理解配方法，会用配方法解数字系数的一元二次方程；
2．会用公式法解数字系数的一元二次方程，并通过公式的推导，体会转化的思想。
步骤
方法
举例（2x²-7x+3=0）
一化
二次项系数化1
左、右两边同时除以二次项系数
二移
移项
将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边
三配
配方
左、右两边同时加上一次项系数一半的平方
四开
开平方求根
直接开平方法
步骤
方法
举例（2x²-7x=-3）
第一步
把方程化为一般形式
确定a、b、c的值；
先变成2x²-7x+3=0
∵a=2 b=-7 c=3
第二步
求出b²-4ac的值
b²-4ac=49-24=25＞0
第三步
当b²-4ac≥0时，把a、b及b²-4ac的值代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；当b²-4ac＜0，方程没有实数根。
的根的情况
回答方式
b²-4ac＞0
有两个不相等的实数根
X1= ，X2=
b²-4ac=0
有两个相等的实数根
X1=X2=
b²-4ac＜0
没有实数根
原方程无解