苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义第2部分-预习篇-第14讲圆锥的侧面积(学生版+解析)

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回顾小学时候学习的圆锥
（1）圆锥的概念：由一个底面和一个侧面围成的几何体，圆锥可以看作是一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周所形成的几何体。
（2）圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段；
（3）圆锥的高：连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高。
我们通常令圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，所以圆锥的侧面积；
圆锥的全面积.
考点一：求圆锥底面半径
例1．已知一圆锥侧面展开图如图所示，则该圆锥的底面半径为（ ）
A．B．1C．πD．2
【答案】B
【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．根据这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长列方程即可．
【详解】解：依题意，
解得：
故选：B．
【变式1-1】用一个圆心角为，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（ ）
A．6B．4C．3D．2
【答案】B
【分析】本题考查求圆锥的底面直径，熟记公式的灵活应用是解题的关键．先利用弧长公式求出扇形的弧长即圆锥的底面周长，再根据圆的周长公式求出直径即可．
【详解】解：扇形的弧长：，
则圆锥的底面直径：．
故选：B．
【变式1-2】将圆心角为，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了圆锥的计算，掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，该扇形的弧长等于圆锥底面的周长是解题的关键．设圆锥的底面圆半径为，根据弧长公式得到，然后解方程即可．
【详解】设圆锥的底面圆半径为，
根据题意得，
解得：，
即这个圆锥的底面圆半径为1．
故答案为：1．
【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，的一段弧经过格点，，．
(1)请在图中标出圆心的位置，并写出点的坐标；
(2)连接，，则的度数为______度；
(3)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径．
【答案】(1)见解析，点；
(2)；
(3)圆锥的底面半径．
【分析】（）利用网格特点画出和的垂直平分线，它们的交点为点，再写出点坐标即可；
（）利用利用网格特点和勾股定理定理和逆定理即可求解；
（）设该圆锥的底面半径，根据圆周长和弧长公式即可求解；
本题考查了垂径定理，勾股定理及逆定理，圆周长和弧长公式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）利用网格特点画出和的垂直平分线，它们的交点为点，如图，
∴点即为所求，点，
（2）如图，
根据网格可知：，，，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）设该圆锥的底面半径，
∵，
∴，
则，
解得：．
考点二：求圆锥的高
例2．一个圆锥的侧面积是，它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的高为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解题的关键．
利用扇形的面积公式可得圆锥的母线长，进而求得扇形的弧长，除以即为圆锥的底面圆半径，利用勾股定理求得圆锥的高即可．
【详解】解：设圆锥的母线长为，则，
解得：，
∴圆锥侧面展开图的弧长为：
∴圆锥的底面圆半径是，
∴圆锥的高为
故选C．
【变式2-1】如图，将半径为的圆形纸片沿折叠后，圆弧恰好能经过圆心，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆锥的计算，解直角三角形；作于，如图，根据折叠的性质得等于半径的一半，即 ，再根据特殊角的三角函数值得出，则，所以，则利用弧长公式可计算出弧的长，再求出底面圆的半径为，然后根据勾股定理计算这个圆锥的高．
【详解】如图，过点作，垂足为，交于点，
由折叠的性质可知，，则
由此可得，在中，，
同理可得，
在中，由三角形内角和定理，得．
弧的长为．
设围成的圆锥的底面半径为，则，
．
圆锥的高为．
故选A．
【变式2-2】如图，将一个圆锥展开后，其侧面是一个圆心角为，半径为的扇形，则该圆锥的高为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了圆锥的相关计算，易得扇形的弧长，除以即为圆锥的底面半径，加上母线长6，利用勾股定理即可求得圆锥的高．
【详解】解：圆锥的侧面展开图的弧长为：，
∴圆锥的底面半径为，
∴该圆锥的高为：．
故答案为：．
【变式2-3】如图，圆形铁皮的半径为，从中剪出一个圆心角的扇形，点都在上．
(1)求扇形的面积；
(2)将这个扇形围成一个圆锥，直接写出圆锥的底面半径和高．
【答案】(1)
(2)圆锥的底面半径为，高为
【分析】（1）先判断过圆心O，，然后由勾股定理求扇形的半径，再根据面积公式求解即可；
（2）利用底面周长等于展开图的弧长，可求得半径径的长度，然后利用勾股定理即可求出圆锥的高．
【详解】（1）连接，，
∵，
∴过圆心O，
∴，
∵从中剪出一个圆心角的扇形，
∴．
∵，
∴，
∴扇形半径为；
∴；
（2）设围成圆锥的底面半径为r，则，
解得，
∵圆锥的母线长，
∴圆锥的高为．
【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：①圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；②圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求出是解题的关键．
考点三：求圆锥侧面展开的圆心角
例3.如图，用一个圆心角为的扇形纸片围成一个底面半径为，侧面积为的圆锥，则该扇形的圆心角为为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了求圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数，根据圆锥侧面积计算公式，得出，进而根据弧长公式进行求解即可．
【详解】解：设圆锥的母线长为，
∵
∴
∴
解得：
故选：C．
【变式3-1】如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查的是圆锥的计算，根据圆锥底面周长与展开后所得的扇形的弧长相等，圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等，利用扇形面积公式与弧长公式计算即可．
【详解】解：设圆锥的母线长为cm，扇形的圆心角为，
∵圆锥的底面圆周长为cm，
∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为cm，
由题意得：，解得：，
则，解得，即扇形的圆心角为，
故答案为：B．
【变式3-2】若一个圆锥的底面圆的周长是，母线长是，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 ．
【答案】/75度
【分析】本题考查求圆锥展开图的圆心角的度数，设圆心角的度数为，根据圆锥底面圆的周长为展开图扇形的弧长，列出方程求解即可．
【详解】解：设圆心角的度数为，由题意，得：，
解得：，
∴圆心角的度数为；
故答案为：．
【变式3-3】如图，用一个半径为，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗）．
(1)求扇形的圆心角的度数；
(2)求圆锥的底面半径．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
（1）先求出半径为的圆面积，结合面积为的扇形，即可作答．
（2）利用圆锥的侧面展开图为一扇形，结合弧长公式：，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式得到，然后解方程求出r即可．
【详解】（1）解：∵一个半径为，面积为的扇形铁皮
∴
∴扇形的圆心角的度数为；
（2）解：根据题意得
解得．
所以圆锥的底面半径r为
考点四：求圆锥的侧面积
例4．某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为厘米，底面圆的半径为厘米，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．平方厘米B．平方厘米
C．平方厘米D．平方厘米
【答案】C
【分析】本题考查了圆锥的侧面积，先求出圆锥底面圆的周长，再根据圆锥的侧面积计算公式计算即可求解，掌握圆锥侧面积计算公式是解题的关键．
【详解】解：圆锥的底面圆周长为厘米，
∴圆锥的侧面积为平方厘米，
故选：．
【变式4-1】如图是某几何体的三视图，则这个几何体的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了由三视图判断几何体，圆锥的侧面积公式；根据三视图可得此几何体为圆锥，那么，从而得出答案．
【详解】根据三视图可得：这个几何体为圆锥，
直径为，圆锥母线长为，
侧面积.
故选：B.
【变式4-2】如图，圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥侧面积是 ．

【答案】
【分析】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的母线和侧面积公式是关键．
先求圆锥的母线，再根据公式求侧面积．
【详解】解：由勾股定理得：母线，
．
故答案为：．
【变式4-3】如图，是的直径，C、D为上的点，点E在的延长线上，直线经过点C，已知，．
(1)求证：为的切线．
(2)若，的半径等于，求绕旋转一周得到的几何体的表面积（结果保留）．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接．根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出，再根据直径所对的圆周角是直角，得到，进而推出，即可证明结论；
（2）连接，可证是等腰直角三角形，进而得出，绕旋转一周得到的几何体为两个相同的底面相对的圆锥，利用圆锥的侧面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接．
，，
，，
，
是的直径，点在上，
，即．
，
，即．
是半径，
为的切线．
（2）解：如图，连接，
的半径等于，
，．
，，
．
是的直径，点为在上，
，
是等腰直角三角形，
．
由勾股定理，得，
解得，
绕旋转一周得到的几何体为两个相同的底面相对的圆锥，半径为，母线长为，
表面积．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的判定和性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，圆锥的侧面积公式等知识，掌握圆的相关性质，利用空想想象力判断出旋转后的几何体是解题关键．
1．圆锥的展开图的面积为，圆锥母线与底面圆的半径之比为，则母线长为（ ）．
A．10B．20C．D．
【答案】B
【分析】本题考查圆锥的侧面积，设圆锥的底面圆的半径为，根据圆锥的侧面积公式列出方程进行求解即可．
【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为，则：母线长为，由题意，得：
，
∴（负值舍去），
∴母线长为；
故选：B．
2．已知圆锥的底面半径r为3，母线l长为5，则圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．
【详解】解：，
故选B．
3．将圆心角为的扇形围成一个圆锥，若底面圆的直径为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆锥侧面积，扇形弧长公式；利用圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆周长，先求出圆锥母线长，再求出侧面积即可．
【详解】解：设圆锥母线长为l，则有：，
解得：，
则圆锥侧面积为：，
故选：B．
4．云南十八怪，草帽当锅盖．使用草编的锅盖蒸米饭，不传热、不吸水、透气性好，搭配攀枝花木甑子，蒸出的米饭香气浓郁，满是家的味道．某同学发现家里的草帽锅盖可以近似看作一个圆锥，测量得母线长为，高度为，通过计算，这个圆锥的侧面展开图的弧长等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】此题考查了圆锥的底面圆锥的周长等于展开的扇形的弧长，勾股定理，
首先根据勾股定理求出底面圆的半径，然后求出底面圆的周长，进而可得到圆锥的侧面展开图的弧长．
【详解】∵母线长为，高度为，
∴底面圆的半径为，
∴底面圆的周长为，
∴这个圆锥的侧面展开图的弧长等于．
故选：D．
5．若圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积与底面积的比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了圆锥的计算，设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R，由地面圆的周长等于侧面展开图的弧长，可得，所以，再计算圆锥的侧面积与底面积的比即可．
【详解】解：设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R，
由题意得，
∴，
∵，，
∴．
故选：C．
6．已知一个圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面积为（ ）

A． B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了圆锥的三视图，求圆锥的侧面积，勾股定理，先由三视图得到该圆锥的高为，底面圆半径为，则由勾股定理可得母线长为，再根据圆锥侧面积底面周长母线长进行求解即可．
【详解】解：由三视图可知，该圆锥的高为，底面圆半径为，
∴母线长为，
∴这个圆锥的侧面积为，
故选：B．
7．如图是某几何体的三视图，则这个几何体的表面积（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，判断出几何体的形状，再根据三视图的数据，求出几何体的表面积即可．
【详解】解：根据三视图可得这个几何体下部是高为20，底面半径为的圆柱，上部是高为的圆锥，
∴圆锥的母线长为
∴表面积为，
故选：A．
8．如图所示，把矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，若该圆锥的高为，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查圆锥的计算，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．设，，首先证明，再利用勾股定理求出，可得结论．
【详解】解：设，，
则有，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：D．
9．已知圆锥的底面圆半径为，侧面积为，则这个圆锥的母线长为 ．
【答案】5
【分析】本题考查的是圆锥的计算，熟记扇形面积公式是解题的关键．根据扇形面积公式计算即可．
【详解】解：设圆锥的母线长为，
由题意得：，
解得：，
∴这个圆锥的母线长为
故答案为：5．
10．若圆锥的底面半径为2，母线长为8，则圆锥的侧面积为 ．
【答案】
【分析】此题考查了圆锥的侧面积的计算公式，熟记关于底面半径和母线长的圆锥的侧面积公式为底面半径母线长是解决本题的关键．
【详解】解：圆锥的侧面积=，
故答案为：．
11．如图，在中，，以所在直线为轴，把旋转1周，得到一个圆锥，这个圆锥的侧面积为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了圆锥侧面积的计算，掌握圆锥的定义以及侧面积计算公式成为解题的关键．
先根据勾股定理求解得到的母线长，再运用扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：由已知得，圆锥母线长，底面圆的半径r为8，
∴圆锥的侧面积是．
故答案为：．
12．如图，从一张腰长为的等腰直角三角形铁皮中剪出一个最大的扇形，用剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面(不计损耗)，则该圆锥的底面半径为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．根据等腰三角形的性质得到的长，再利用弧长公式计算出弧长的长，设圆锥的底面圆半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得到弧，计算即可．
【详解】过作于点，
，，
，
，
设圆锥的底面圆的半径为，则，
，
解得，
故答案为：．
13．如图，现有圆心角为的一个扇形纸片，该扇形的半径为．小红同学为了在“圣诞”节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么被剪去的扇形纸片的圆心角应该是 度；圆锥的侧面积是 ．
【答案】 /18度
【分析】设被剪去扇形的圆心角为，则留下扇形的圆心角为，根据题意，得，解得；根据圆锥的侧面积就是留下扇形的面积，根据扇形面积公式，得，解答即可．
本题考查了扇形弧长，面积计算，圆锥侧展与扇形的关系，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】设被剪去扇形的圆心角为，则留下扇形的圆心角为，
根据题意，得，
解得；
根据圆锥的侧面积就是留下扇形的面积，
得，
故答案为：，．
14．如图，把矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片，分别裁出扇形和半径最大的圆．若它们恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆锥的相关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．设，则，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可．
【详解】解：设，则，
根据题意，得： ，
整理得：
∴
解得：，
即：．
故答案为：．
15．某几何体的三视图如图所示．
(1)该几何体的名称是_______；
(2)根据图中的数据，求该几何体的侧面积．（结果保留π）
【答案】(1)圆锥
(2)
【分析】本题考查了由三视图判断几何体，以及圆锥的侧面积，正确识别图形，熟记公式是解题的关键．
（1）根据几何体三视图即可得出结论；
（2）代入圆锥侧面积公式即可， ．
【详解】（1）解：由三视图可知，原几何体为圆锥．
故答案为：圆锥．
（2）解：根据图中数据知，圆锥的底面半径为4，高为6，
∴圆锥的母线长为，
∴圆锥的侧面积为．
16．如图，已知扇形的圆心角为120°，半径为6cm．
(1)求扇形的弧长；（结果保留π）
(2)如图所示，若把扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，求这个纸帽的高．（结果保留根号）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据扇形的弧长公式求解即可；
（2）设圆锥底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到，解得，然后根据勾股定理计算．
【详解】（1）解：∵扇形的圆心角为120°，半径为6cm，
∴．
（2）设圆锥底面圆的半径为r，
∴，解得，
在中，，，
∴．
【点睛】本题考查的是求解扇形的弧长，圆锥的高，掌握“圆锥的底面圆的周长对应展开图扇形的弧长”是解本题的关键．
17．如图，在单位长度为1的正方形网格中，经过格点A、B、C．
(1)借助网格画出所在圆的圆心M的位置，并连接；
(2)在平面直角坐标系中，圆心M的坐标为________；的半径为________（结果保留根号）；
(3)若用扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是________．
【答案】(1)见解析
(2)，
(3)
【分析】（1）连接，利用网格特点，作和的垂直平分线，根据垂径定理，它们的交点即为圆心M点；
（2）利用（1）所画图形写出M点的坐标，然后利用勾股定理计算出的长得到圆的半径；
（3）先利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，设该圆锥的底面圆半径为r，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，据此求解即可．
【详解】（1）如图，点M为所作；
（2）如图，圆心M的坐标为；
，
即的半径为；
故答案为：，；
（3）该圆锥的底面圆半径为r，
∵，，
∴，
∴为直角三角形，，
根据题意得，
解得，
即该圆锥的底面圆半径为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了垂径定理和勾股定理及其逆定理．
18．综合与实践
问题情境：如图1，将一个底面半径为的圆锥侧面展开，可得到一个半径为，圆心角为的扇形.工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料.
(1)探索尝试：图1中，圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长________；（填“相等”或“不相等”）若，，则________.
(2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求的值，请用含，的式子表示；
(3)拓展延伸：图2是一种纸质圆锥形生日帽，，，是中点，现要从点到点再到点之间拉一装饰彩带，求彩带长度的最小值.
【答案】(1)相等，
(2)
(3)
【分析】（1）根据圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等，得出之间的关系，进而即可求解；
（2）根据，即可求解；
（3）根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等；
∵，，，
∴，
故答案为：相等，．
（2）由圆锥的底面周长等于扇形的弧长
得：
∴
（3）∵，，
∴，
∴圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为
∴
∵
∴
∴在中，，
∴彩带长度的最小值为
【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．经历探索圆锥侧面积计算公式的活动过程；
2．会运用圆锥侧面积计算公式解决有关问题。