(暑期班)2025年九年级数学暑假讲义 第10讲 圆心角、弧、弦的关系+课后巩固练习+随堂检测（2份，原卷版+教师版）

这是一份(暑期班)2025年九年级数学暑假讲义 第10讲 圆心角、弧、弦的关系+课后巩固练习+随堂检测（2份，原卷版+教师版），文件包含暑期班2025年九年级数学暑假讲义第10讲圆心角弧弦的关系+课后巩固练习+随堂检测教师版docx、暑期班2025年九年级数学暑假讲义第10讲圆心角弧弦的关系+课后巩固练习+随堂检测原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
【题型1 圆心角、弧、弦的概念】
【例1】下列语句中，正确的有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等； ②等弦对等弧；
③长度相等的两条弧是等弧； ④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAC＝∠DAC，则下列正确的是（ ）
A．AB＝ADB．BC＝CDC．AB=ADD．∠BCA＝∠DCA
【变式1-2】）如图，在⊙O中，AB=CD，则下列结论中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④AC=BD，正确的是 （填序号）．
【题型2 利用圆心角、弧、弦的关系求角度】
【例2】如图，AB，CD是⊙O的直径，AE=BD，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是（ ）
A．32°B．60°C．68°D．64°
【变式2-1】如图，在⊙O中，AB=CD，∠1＝45°，则∠2＝（ ）
A．60°B．30°C．45°D．40°
【变式2-2】如图，在⊙O中，AC＝BD，若∠AOC＝120°，则∠BOD＝ ．
【题型3 利用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】
【例3】如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD．且AC⊥BD于E，连接AB，AD，若AD＝22，则半径R的长为（ ）
A．1B．2C．2D．22
【变式3-1】如图，在Rt△ACB中∠ACB＝60°，以直角边AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是弧AE的中点，OM交AC于点D，⊙O的半径是6，则MD的长度为（ ）
A．32B．32C．3D．23
【变式3-2】如图，AB是⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AE＝2，⊙O的直径为10，则AC长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式3-3】如图，在⊙O中，AC=12AB，直径BC＝25，BD=CD，则AD＝ ．
【题型4 利用圆心角、弧、弦的关系求周长】
【例4】如图，已知⊙O的半径等于1cm，AB是直径，C，D是⊙O上的两点，且AD=DC=CB，则四边形ABCD的周长等于（ ）
A．4cmB．5cmC．6cmD．7cm
【变式4-1】如图，A、B是半径为3的⊙O上的两点，若∠AOB＝120°，C是AB的中点，则四边形AOBC的周长等于 ．
【变式4-2】如图，⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连接AD，若AD＝36，则⊙O的周长为 ．
【题型5 利用圆心角、弧、弦的关系求面积】
【例5】如图，在⊙O中，AC=CB，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．
（1）求证：CD＝CE；
（2）若∠AOB＝120°，OA＝2，求四边形DOEC的面积．
【题型6 利用圆心角、弧、弦的关系求弧的度数】
【例6】如图，等腰△ABC的顶角∠CAB为50°，以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则DE的度数为（ ）
A．50°B．25°C．80°D．65°
【变式6-1】如图在给定的圆上依次取点A，B，C，D，连接AB，CD，AC＝BD，设AC，BD相交于点E，弧AD＝100°，AB＝ED，则弧AB的度数为 ．
【变式6-2】把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则BC的度数是（ ）
A．120°B．135°C．150°D．165°
【题型7 利用圆心角、弧、弦的关系比较大小】
【例7】如图，在⊙O中，如果AB=2AC，则下列关于弦AB与弦AC之间关系正确的是（ ）
A．AB＝ACB．AB＝2ACC．AB＞2ACD．AB＜2AC
【变式7-1】如图，AB是⊙O的直径，CD的是⊙O中非直径的任意一条弦，试比较AB与CD的大小，并说明理由．
【变式7-2】如图，在三个等圆上各有一条劣弧：弧AB、弧CD、弧EF，如果AB+CD=EF，那么AB+CD与EF的大小关系是（ ）
A．AB+CD＝EFB．AB+CD＜EF
C．AB+CD＞EFD．大小关系不确定
【题型8 圆心角、弧、弦中的证明问题】
【例8】如图，AB为⊙O的直径，BE=CE，CD⊥AB于点D，交BE于F，连接CB．
求证：BC＝CF．
【变式8-1】如图，已知C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，连接BC，OC，OD，若OD∥BC，求证：D为AC的中点．
【变式8-2】如图所示，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC，求证：
（1）AD=BC；
（2）AE＝CE．
【题型9 圆心角、弧、弦的的倍数关系】
【例9】在⊙O中，AB是直径，CO⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，则CE与BE之间的等量关系是什么？请证明你的结论．
【变式9-1】如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，AC恰好经过点O，则BC与AC的关系是（ ）
A．BC=12ACB．BC=13ACC．BC=ACD．不能确定
【变式9-2】如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC=3BC，则弦AC与弦BC的关系是（ ）
A．AC＝3BCB．AC=3BCC．AC＝（2+1）BCD．3AC＝BC
课后巩固练习
1.如图，在⊙O中，弧AB＝弧AC，∠AOB＝50°，则∠ADC的度数是( )
A.50° B.40° C.30° D.25°
2.下列语句中正确的是( )
A.长度相等的两条弧是等弧 B.平分弦的直径垂直于弦
C.相等的圆心角所对的弧相等 D.经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
3.如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD＝70°，AO∥DC，则∠B的度数为( )
A.40° B.45° C.50° D.55°
4.如图，在⊙O中与∠1一定相等的角是( )
A.∠2 B.∠3 C.∠4 D.∠5
5.如图，BC是半圆O的直径，D，E是弧BC上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE.如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为( )
A.35° B.38° C.40° D.42°
6.如图所示，在⊙O中，∠CBO＝45°，∠CAO＝15°，则∠AOB的度数是 .
7.如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，∠1＝55°，则∠2＝_____.
8.下图中圆心角∠AOB＝30°，弦CA∥OB，延长CO与圆交于点D，则∠BOD＝______.
9.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使顶点C在半圆上，点A，B的读数分别为100°，150°，则∠ACB的大小为________.
10.如图所示，在⊙O中，已知∠BAC＝∠CDA＝20°，则∠ABO的度数为 .
11.如图所示，已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BOC＝120°，延长BO交⊙O于D点.
(1)试求∠BAD的度数；
(2)求证：△ABC为等边三角形.
12.如图，点A、B、C是圆O上的三点，AB∥OC
(1)求证：AC平分∠OAB；
(2)过点O作OE⊥AB于E，交AC于点P，若AB＝2，∠AOE＝30°，求圆O的半径OC及PE的长.
第10讲 圆心角、弧、弦的关系
1.如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB＝20°，则∠AOD等于( )
A.160° B.150° C.140° D.120°
2.如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B＝60°，∠BOD＝100°，则∠C的度数为( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
3.如图，点A，B，C，在⊙O上，∠ABO＝32°，∠ACO＝38°，则∠BOC等于( )
A.60° B.70° C.120° D.140°
4.如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是AB的中点，若⊙O的半径为5，则四边形ACBO的面积为（ ）
A．25B．253C．2534D．2532
5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝28°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（ ）
A．28°B．64°C．56°D．124°
6.圆的一条弦把圆分为度数比为1：3的两条弧，则弦心距与弦长的比为（ ）
A．1：3B．2：3C．1：4D．1：2
7.如图，AB是⊙O直径，∠D＝35°，则∠BOC＝ .
8.如图，⊙O内接四边形ABCD中，AB＝CD则图中和∠1相等的角有______.
9.如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB，OC，若∠BOC与∠BAC互补，则弦BC的长为_________.
10.如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是 ．
11.如图，在⊙O中，∠AOB＝60°，弦AB＝3cm，那么△AOB的周长为 ．
12.如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC.
(1)若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数；
(2)求证：∠1＝∠2.
13.如图，AB为半圆的直径，点C、D在半圆上．
（1）若BC=3AD，CD=2AD，求∠DAB和∠ABC的大小；
（2）若点C、D在半圆上运动，并保持弧CD的长度不变，（点C、D不与点A、B重合）．试比较∠DAB和∠ABC的大小．