(暑期班)2025年九年级数学暑假讲义 第11讲 垂径定理+课后巩固练习+随堂检测（2份，原卷版+教师版）

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（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
【题型1 利用垂径定理求线段长度】
【例1】如图，⊙O的半径OD⊥弦AB交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，EC＝213，则CD的长为（ ）
A．1 B．3 C．2 D．4
【分析】由垂径定理得出AC＝BC＝4，连接BE，由∠CBE＝90°及CE长度求出BE＝6，在Rt△ABE中求出AE＝10，从而得出半径OA＝OD＝5，再在Rt△AOC中求出OC，从而得出答案．
【解答】解：∵OD⊥AB，AB＝8，∴AC＝BC＝4，如图，连接BE，
∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∵CE＝213，∴BE=CE2−BC2=(213)2−42=6，
则AE=AB2+BE2=82+62=10，∴AO＝OD＝5，
在Rt△AOC中，OC=AO2−AC2=52−42=3，则CD＝OD﹣OC＝2，故选：C．
【变式1-1】如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（ ）
A．6 B．62 C．8 D．82
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据垂径定理、勾股定理即可求得OP的长，本题得以解决．
【解答】解：作OE⊥AB交AB与点E，作OF⊥CD交CD于点F，如右图所示，
则AE＝BE，CF＝DF，∠OFP＝∠OEP＝90°，又∵圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，
且AB＝CD＝16，∴∠FPE＝90°，OB＝10，BE＝8，∴四边形OEPF是矩形，OE＝6，
同理可得，OF＝6，∴EP＝6，∴OP=62+62=62，故选：B．
【题型2 利用垂径定理求角度】
【例2】如图，⊙O的半径OA，OB，且OA⊥OB，连接AB．现在⊙O上找一点C，使OA2+AB2＝BC2，则∠OAC的度数为（ ）
A．15°或75° B．20°或70° C．20° D．30°
【分析】设圆的半径是r，作直径BD，作BC关于直径BD的对称线段BE，连接EC，BE，ED，AC，再由直角三角形的性质即可解答．
【解答】解：如图，设圆的半径是r，则AO＝r，BO＝r，作直径BD，作BC⊙O的弦BC，使∠DBC＝30°，作BC关于直径BD的对称线段BE，连接EC，BE，ED，AC，直角△BED中，可以得∠EBD＝30°，
∵线段BE与线段BC关于直线BD对称，∴BC＝BE，∴BD垂直平分线段CE，∴DE=CD，
∴∠CBD＝30°而∠BCA=12∠AOB＝45°．
在△ABC中，∠OAC＝180°﹣∠ABO﹣∠CBD﹣∠ACB﹣∠BAO＝15°．
同理，当E为C时，∠OAC＝75°．故∠OAC的度数为15°或75°．故选：A．
【变式2-1】如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧AB上的一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（ ）
A．60° B．90° C．120° D．135°
【分析】如图，延长CD交⊙O 于P，延长CE交⊙O于T，连接PT．根据垂径定理以及三角形的中位线定理，可得DE=12PT，当PT是直径时，DE的长最大，再证明∠AOB＝90°，即可解决问题．
【解答】解：如图，延长CD交⊙O 于P，延长CE交⊙O于T，连接PT．
∵OA⊥PC，OB⊥CT，∴CD＝DP，CE＝TE，∴DE=12PT，∴当PT是直径时，DE的长最大，
连接OC，∵OP＝OC＝OT，OD⊥PC，OE⊥CT，∴∠COD＝∠POA，∠COB＝∠BOT，
∴∠AOB＝∠COA+∠COB=12∠POT＝90°，故选：B．
【变式2-2】如图，在⊙O中，弦BC与半径OA垂直于点D，连接AB、AC．点E为AC的中点，连接DE．
（1）若AB＝6，求DE的长；
（2）若∠BAC＝100°，求∠CDE的度数．
【分析】（1）根据垂径定理得到AB=AC，则AC＝AB＝6，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到DE的长；（2）利用等腰三角形的性质和三角形的内角和计算出∠C＝40°，然后利用ED＝EC得到∠CDE＝∠C＝40°．
【解答】解：（1）∵BC⊥OA，∴AB=AC，∠ADC＝90°，∴AC＝AB＝6，
∵点E为AC的中点，∴DE=12AC＝3；
（2）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠BAC＝100°，∴∠C=12（180°﹣100°）＝40°，
∵点E为AC的中点，∴ED＝EC，∴∠CDE＝∠C＝40°．
【题型3 利用垂径定理求最值】
【例3】⊙O中，点C为弦AB上一点，AB＝1，CD⊥OC交⊙O于点D，则线段CD的最大值是（ ）
A．12 B．1 C．32 D．2
【分析】因为CD⊥OC交⊙O于点D，连接OD，△OCD是直角三角形，则CD=OD2−OC2，因为半径OD是定值，当OC取得最小值时线段CD取得最大值．
【解答】解：连接OD，
∵CD⊥OC交⊙O于点D，∴△OCD是直角三角形，根据勾股定理得CD=OD2−OC2，
∵半径OD是定值，∴当OC⊥AB时，线段OC最小，此时D与B重合，CD=OB2−OC2，
∵OC⊥AB，∴AC＝BC=12AB=12，∴CD=OB2−OC2=BC=12．故选：A．
【变式3-1】如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D．且OD＝DC．P为⊙O上任意一点，连接PA，PB，若⊙O的半径为1，则 S△PAB的最大值为（ ）
A．1 B．233 C．334 D．332
【分析】连接OA，如图，利用垂径定理得到AD＝BD，AC=BC，再根据OD＝DC可得到OD=12OA=12，所以AD=32，由勾股定理，则AB=3．△PAB底AB不变，当高越大时面积越大，即P点到AB距离最大时，△APB的面积最大．则当点P为AB所在优弧的中点时，此时PD＝PO+OD＝1+12=32，△APB的面积最大，然后根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：连接OA，如图，∵OC⊥AB，∴AD＝BD，∵OD＝DC，∴OD=12OA=12，
∴AD=OA2−OD2=32，AB＝2AD=3．当点P为AB所对的优弧的中点时，△APB的面积最大，此时PD＝PO+OD＝1+12=32．∴△APB的面积的最大值为=12AB⋅PD=12×3×32=334．故选：C．
【变式3-2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（ ）
A．910 B．65 C．85 D．125
【分析】由题意可知，C、O、G三点在一条直线上OG最小，MN最大，再由勾股定理求得AB，然后由三角形面积求得CF，最后由垂径定理和勾股定理即可求得MN的最大值．
【解答】解：过O作OG⊥AB于G，连接OC、OM，∵DE＝3，∠ACB＝90°，OD＝OE，
∴OC=12DE=32，只有C、O、G三点在一条直线上OG最小，
∵OM=32，∴只有OG最小，GM才能最大，从而MN有最大值，过C作CF⊥AB于F，
∴G和F重合时，MN有最大值，∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB=BC2+AC2=32+42=5，
∵12AC•BC=12AB•CF，∴CF=AC×BCAB=4×35=125，∴OG＝CF﹣OC=125−32=910，
∴MG=OM2−OG2=(32)2−(910)2=65，∴MN＝2MG=125，故选：D．
【题型4 利用垂径定理求取值范围】
【例4】如图，在⊙O中，直径AB＝10，CD⊥AB于点E，CD＝8．点F是弧BC上动点，且与点B、C不重合，P是直径AB上的动点，设m＝PC+PF，则m的取值范围是（ ）
A．8＜m≤45 B．45＜m≤10 C．8＜m≤10 D．6＜m＜10
【分析】连接PD，DF，OC，BD，利用垂径定理可得AB是CD的垂直平分线，则PC＝PD；利用三角形的任意两边之和大于第三边，可得不等式PD+PF≥DF（当D，P，F在一条直线上时取等号），结合图形即可得出结论．
【解答】解：连接PD，DF，OC，BD，如图，
∵CD⊥AB，BA为⊙O的直径，∴CE＝ED=12CD＝4，∵OC=12AB＝5，∴OE=OC2−CE2=3，
∴BE＝OE+OB＝8．∴BD=BE2+DE2=45．∵P是直径AB上的动点，CD⊥AB，
∴AB是CD的垂直平分线，∴PC＝PD．∵m＝PC+PF，∴m＝PD+PF，
由图形可知：PD+PF≥DF（当D，P，F在一条直线上时取等号），
∵点F是弧BC上动点，且与点B、C不重合，∴DC＜DF≤直径，∴8＜m≤10．故选：C．
【变式4-1】如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．
【分析】过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，由垂径定理可知AE＝BE=12AB，再根据勾股定理求出OE的长，由此可得出结论．
【解答】解：过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，
∵AB＝8cm，∴AE＝BE=12AB=12×8＝4cm，
∵⊙O的直径为10cm，∴OB=12×10＝5cm，∴OE=OB2−BE2=52−42=3cm，
∵垂线段最短，半径最长，∴3cm≤OP≤5cm．
【题型5 利用垂径定理求整点】
【例5】已知⊙O的直径CD＝10，CD与⊙O的弦AB垂直，垂足为M，且AM＝4.8，则直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（ ）
A．1个 B．3个 C．6个 D．7个
【分析】利用勾股定理得出线段AD和AC的长，根据垂线段的性质结合图形判断即可．
【解答】解：∵CD是直径，∴OC＝OD=12CD=12×10＝5，∵AB⊥CD，∴∠AMC＝∠AMD＝90°，
∵AM＝4.8，∴OM=52−4．82=1.4，∴CM＝5+1.4＝6.4，MD＝5﹣1.4＝3.6，
∴AC=4．82+6．42=8，AD=4．82+3．62=6，∵AM＝4.8，
∴A点到线段MD的最小距离为4.8，最大距离为6，则A点到线段MD的整数距离有5，6，
A点到线段MC的最小距离为4.8，最大距离为8，则A点到线段MC的整数距离有5，6，7，8，
直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有6个，故选：C．
【变式5-1】如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OB，点P是半径OB上任意一点，连接AP，若OB＝5，OC＝3，则AP的长不可能是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】首先利用勾股定理得出AC的长，求出AB长，再利用三角形边之间的关系进而得出AO≤AP≤AB，即可得出答案．
【解答】解：连接OA，
∵OC⊥AB于点C，OB＝5，OC＝3，∴BC=52−32=4，∴AB＝2×4＝8，
∵AO≤AP≤AB，∴5≤AP≤8，∴AP的长度不可能是：9（答案不唯一）．
故选：D．
【变式5-2】如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN＝10，AB＝8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是 3 ，⊙C上的整数点有 12 个．
【分析】过C作直径UL∥x轴，连接AC，根据垂径定理求出AO＝BO＝4，根据勾股定理求出OC，再得出答案即可．
【解答】解：过C作直径UL∥x轴，
连接CA，则AC=12×10＝5，∵MN过圆心C，MN⊥AB，AB＝8，∴AO＝BO＝4，∠AOC＝90°，
由勾股定理得：CO=AC2−OC2=52−42=3，∴ON＝5﹣3＝2，OM＝5+3＝8，
即A（﹣4，0），B（4，0），M（0，8），N（0，﹣2），同理还有弦QR＝AB＝8，弦WE＝TS＝6，且WE、TS、QR都平行于x轴，Q（﹣4，6），R（4，6），W（﹣3，7），E（3，7），T（﹣3，﹣1），S（3，﹣1），U（﹣5，3），L（5，3），即共12个点，故答案为：3；12．
【题型6 利用垂径定理求面积】
【例6】如图，在半径为1的⊙O中有三条弦，它们所对的圆心角分别为60°，90°，120°，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是（ ）
A．2 B．1 C．32 D．22
【分析】连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，则△AOB、△COD分别为等边三角形，等腰直角三角形，进而可得到AB、CD长；再过点O作OH⊥EF于点H，根据垂径定理可得EF＝2EH，∠EOH＝∠FOH＝60°，根据锐角三角形函数可求出FH，进而可得EF；再根据AB2+CD2＝EF2可判断以AB、CD、EF为边的三角形为直角三角形，即可求出其面积．
【解答】解：如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，则∠AOB＝60°，∠COD＝90°，∠EOF＝120°，
在Rt△COD中，CD=12+12=2．
∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝1，过点O作OH⊥EF于点H，则EF＝2EH，∠EOH＝∠FOH＝60°，∴FH＝1×32=32．∴EF＝2FH=3．∵12+(2)2=(3)2，即AB2+CD2＝EF2，
∴以AB、CD、EF为边的三角形为直角三角形，∴其面积为：12×2×1=22．故选：D．
【变式6-1】如图，点A，C，D均在⊙O上，点B在⊙O内，且AB⊥BC于点B，BC⊥CD于点C，若AB＝4，BC＝8，CD＝2，则⊙O的面积为（ ）
A．125π4 B．275π4 C．125π9 D．275π9
【分析】利用垂径定理和勾股定理建立方程求出ON，再求出半径后，根据圆面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：如图，连接OA、OC，过点O作OM⊥CD于M，MO的延长线于AB延长线交于N，则四边形BCMN是矩形，
∵OM⊥CD，CD是弦，∴CM＝DM=12CD＝1＝BN，∴AN＝AB+BN＝4+1＝5，设ON＝x，则OM＝8﹣x，在Rt△AON、Rt△COM中，由勾股定理得，OA2＝AN2+ON2，OC2＝OM2+CM2，∵OA＝OC，∴AN2+ON2＝OM2+CM2，即52+x2＝（8﹣x）2+12，解得x=52，即ON=52，∴OA2＝52+（52）2=1254，∴S⊙O＝π×OA2=1254π，
故选：A．
【题型7 垂径定理在格点中的运用】
【例7】如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（2，1）
【分析】连接AC，作出AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心．
【解答】解：如图所示，连接AC，作出AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心．
∵点A的坐标为（0，4），∴该圆弧所在圆的圆心坐标是（﹣1，1）．故选：C．
【变式7-2】如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：
（1）利用网格作出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为 （2，1） ；
（2）连接AD、CD，则⊙D的半径为 13 ，∠ADC的度数为 90° ．
【分析】（1）利用网格特点，作AB和BC的垂直平分线，然后根据垂径的推论可判定它们的交点为D点，从而得到D点坐标；
（2）先利用勾股定理计算出DA、DC、AC，然后利用勾股定理的逆定理证明∠ADC的度数为90°．
【解答】解：（1）如图，点D为所作，D点坐标为（2，1）；
（2）AD=22+32=13，CD=22+32=13，AC=12+52=26，
∵DA2+DC2＝AC2，∴△ADC为直角三角形，∠ADC＝90°，即⊙D的半径为13，∠ADC的度数为90°．
故答案为（2，1）；13，90°．
【题型8 垂径定理在坐标系中的运用】
【例8】如图，⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），圆心P的横坐标为﹣4．则⊙P的半径为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】过点P作PD⊥MN，连接PM，由垂径定理得DM＝3，在Rt△PMD中，由勾股定理可求得PM为5即可．
【解答】解：过点P作PD⊥MN，连接PM，如图所示：
∵⊙P与y轴交于M（0，﹣4），N（0，﹣10）两点，∴OM＝4，ON＝10，∴MN＝6，
∵PD⊥MN，∴DM＝DN=12MN＝3，∴OD＝7，
∵点P的横坐标为﹣4，即PD＝4，∴PM=PD2+DM2=42+32=5，即⊙P的半径为5，故选：C．
【变式8-1】如图，直线l为y＝x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；…，按此作法进行下去，则点A2022的坐标为 （（2）2021，0） ．
【分析】利用直线y＝x平分第一、三象限，则B1（1，1），由于OA2＝OB1=2OA1=2，OA3＝OB2=2OA2＝（2）2，依此变化规律得到OA2022＝（2）2021，从而得到点A2022的坐标．
【解答】解：∵A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线y＝x交于点B1，∴OA1＝1，B1（1，1），
∵以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2，∴OA2＝OB1=2OA1=2，
∵以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3，∴OA3＝OB2=2OA2=2×2=（2）2，
同理可得OA4＝（2）3，•••∴OA2022＝（2）2021，∴点A2022的坐标为（（2）2021，0）．
故答案为：（（2）2021，0）．
【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】
【例9】⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，且AB＝12cm，CD＝16cm，则AB和CD的距离为（ ）
A．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．10cm或20cm
【分析】分两种情况考虑：当圆心位于AB与CD之间时，连接OA，OC，如图1所示，过O作EF⊥AB，由AB∥CD，得到EF⊥CD，利用垂径定理得到E、F分别为AB、CD的中点，分别求出OE与OF，由OE+OF即可得到EF的长；当圆心在AB与CD一侧时，连接OA，OC，如图2所示，过O作EF⊥AB，由AB∥CD，得到EF⊥CD，同理求出OE与OF，由OE﹣OF即可求出EF的长．
【解答】解：当圆心位于AB与CD之间时，连接OA，OC，如图1所示，
过O作EF⊥AB，由AB∥CD，得到EF⊥CD，∴E、F分别为AB、CD的中点，
∴AE＝6cm，CF＝8cm，在Rt△AOE中，OA＝10cm，AE＝6cm，根据勾股定理得：OE＝8cm，
在Rt△COF中，OC＝10cm，CF＝8cm，根据勾股定理得到OF＝6cm，
此时AB和CD的距离EF＝8+6＝14cm；当圆心在AB与CD一侧时，连接OA，OC，如图2所示，
过O作EF⊥AB，由AB∥CD，得到EF⊥CD，同理求出OE＝8cm，OF＝6cm，
此时AB和CD的距离EF＝8﹣6＝2cm，综上，AB和CD的距离为2cm或14cm．故选：C．
【变式9-1】已知圆O的半径为5，弦AB＝8，D为弦AB上一点，且AD＝1，过点D作CD⊥AB，交圆O于C，则CD长为（ ）
A．1 B．7 C．8或1 D．7或1
【分析】连接OB，OC1，过O作OE⊥CD，OF⊥AB，则四边形EDFO是矩形，根据矩形的性质得到OE＝DF，OF＝DE，根据勾股定理得到BF=52−42=3，得到OE＝DF＝3，由勾股定理得到C1E=52−32=4，于是得到结论．
【解答】解：如图，连接OB，OC1，过O作OE⊥CD，OF⊥AB，则四边形EDFO是矩形，
∴OE＝DF，OF＝DE，∵圆O的半径为5，弦AB＝8，∴AF＝BF＝4，∴BF=52−42=3，
∵AD＝1，∴DF＝3，∴OE＝DF＝3，∴C1E=52−32=4，∴C2E＝4，∴C1D＝7，C2D＝1，
∴CD长为7或1，故选：D．
【题型10 垂径定理的应用】
【例10】《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，（注：1尺＝10寸）问这块圆柱形木材的直径是（ ）
A．13寸 B．6.5寸 C．26寸 D．20寸
【分析】设⊙O的半径为r寸．在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解方程即可；
【解答】解：设⊙O的半径为r寸．在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，
则有r2＝52+（r﹣1）2，解得r＝13，∴⊙O的直径为26寸，故选：C．
【变式10-1】如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，∠AOB＝120°，从A到B只有路AB，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了 15 步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：3≈1.732，π取3.142）
【分析】作OC⊥AB于C，如图，根据垂径定理得到AC＝BC，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠A＝30°，则OC＝10，AC＝103，所以AB≈69（步），然后利用弧长公式计算出AB的长，最后求它们的差即可．
【解答】解：作OC⊥AB于C，如图，则AC＝BC，
∵OA＝OB，∴∠A＝∠B=12（180°﹣∠AOB）=12（180°﹣120°）＝30°，
在Rt△AOC中，OC=12OA＝10，AC=3OC＝103，∴AB＝2AC＝203≈69（步）；
而AB的长=120⋅π⋅20180≈84（步），AB的长与AB的长多15步．所以这些市民其实仅仅少走了 15步．故答案为15．
垂径定理 课后巩固练习
1.如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE＝5，EB＝1，∠AEC＝30°，则CD的长为（ ）
A．5 B．23 C．42 D．22+3+1
【分析】因为∠AED＝30°，可过点O作OF⊥CD于F，构成直角三角形，先求得⊙O的半径为3，进而求得OE＝3﹣1＝2，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，得出OF=12OE＝1，再根据勾股定理求得DF的长，然后由垂径定理求出CD的长．
【解答】解：过点O作OF⊥CD于F，连接DO，∵AE＝5，BE＝1，∴AB＝6，∴⊙O的半径为3，
∴OE＝3﹣1＝2．∵∠AEC＝30°，∴OF＝1，∴CF＝22，∴CD＝2CF＝42，故选：C．
2.已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】过O点作OC⊥AB，交⊙O于P，由OC＝3，OA＝5，得到PC＝2，即点P到直线AB的距离为2；在直线的另一边，圆上的点到直线的最远距离为8，而圆为对称图形，则还有两个点M，N到直线AB的距离为3．
【解答】解：过O点作OC⊥AB，交⊙O于P，如图，∴OC＝3，而OA＝5，∴PC＝2，即点P到直线AB的距离为2；在直线的另一边，圆上的点到直线的最远距离为8，而圆为对称图形，∴在直线AB的这边，还有两个点M，N到直线AB的距离为2．故选：B．
3.京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约．如图，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为 12 分钟．
【分析】先求摩天轮转动的角速度为＝20°/分，再求出OC＝OD﹣CD＝22（米），则OC=12OB，得∠OBC＝30°，然后求出最佳观赏位置的圆心角为240°，即可求解．
【解答】解：如图所示：摩天轮转动的角速度为：360°÷18分＝20°/分，
由题意得：AD⊥BC，AD＝88米，AM＝100米，CM＝BN＝34米，
则OB＝OD＝44（米），DM＝AM﹣AD＝12（米），∴CD＝CM﹣DM＝34﹣12＝22（米），
∴OC＝OD﹣CD＝22（米），∴OC=12OB，∵∠OCB＝90°，∴∠OBC＝30°，
∴∠BOC＝90°﹣30°＝60°，∴∠AOB＝180°﹣∠BOC＝120°，
∴最佳观赏位置的圆心角为2×120°＝240°，
∴在运行的一圈里最佳观赏时长为：240°÷20°/分＝12（分钟），故答案为：12．
4.如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），函数y＝﹣2x+m图象过点P，则m＝ ﹣15 ．
【分析】过P点作PE⊥ON交y轴于点E，连接PM，由点M（0，﹣4），N（0，﹣10）得MN＝6，所以ME＝NE＝3，得E（0，﹣7），由勾股定理得PE＝4，故P（﹣4，﹣7），代入y＝﹣2x+m得m．
【解答】解：过P点作PE⊥ON交y轴于点E，连接PM，∵点M（0，﹣4），N（0，﹣10），
∴MN＝6，∴ME＝NE＝3，∴E（0，﹣7），∵PM＝5，∴PE=52−32=4，∵点P在第三象限，
∴P（﹣4，﹣7），代入y＝﹣2x+m得，m＝﹣15，故答案为：﹣15．
5.如图，⊙O的弦AB与半径OC垂直，点D为垂足，OD＝DC，AB＝23，点E在⊙O上，∠EOA＝30°，则△EOC的面积为 1或2 ．
【分析】设⊙O的半径为x（x＞0），则OD＝DC=12x，根据垂径定理可知AD=3，在Rt△ADO中利用勾股定理即可求出x值，再分点E在AC外和点E在AC上两种情况考虑△EOC的面积，当点E在AC外时，通过角的计算可得出∠COE＝90°，利用三角形的面积公式即可求出S△EOC的值；当点E在AC上时，过点E作EF⊥OC于点F，通过角的计算可得出∠COE＝30°，由此可得出EF的长度，利用三角形的面积公式即可求出S△EOC的值．综上即可得出结论．
【解答】解：依照题意画出图形，连接OA．设⊙O的半径为x（x＞0），则OD＝DC=12x．
∵OC⊥AB于点D，∴∠ADO＝90°，AD＝DB=12AB=3．
在Rt△ADO中，AO＝x，OD=12x，AD=3，
∴∠OAD＝30°，∠AOD＝60°，AD=AO2−OD2=32x=3，解得：x＝2．
当点E在AC外时，∠COE＝∠AOD+∠EOA＝90°，∴S△EOC=12EO•OC＝2；
当点E在AC上时，过点E作EF⊥OC于点F，∵∠COE＝∠AOD﹣∠EOA＝30°，
∴EF=12OE＝1，∴S△EOC=12OC•EF＝1．综上可知：△EOC的面积为1或2．
故答案为：1或2．
6.如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝15，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝16，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为 83 ．
【分析】过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，先利用勾股定理计算出BD＝25，则利用面积法可计算出AH＝36，再证明点O在AH上时，OH最短，此时HM有最大值，最大值为43，然后根据垂径定理可判断MN的最大值．
【解答】解：过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图：
∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，
在Rt△ABD中，BD=AB2+AD2=202+152=25，
∵12×AH×BD=12×AD×AB，∴AH=20×1525=12，∵⊙O的直径为16，∴⊙O的半径为8，
∴点O在AH上时，OH最短，∵HM=OM2−OH2，∴此时HM有最大值，OH＝AH﹣OA＝4，
则最大值为82−42=43，∵OH⊥MN，∴MN＝2MH，∴MN的最大值为2×43=83．
故答案为：83．
7.如图，在⊙O中，半径OC过弦AB的中点E，OC＝2，OE=2．
（1）求弦AB的长；
（2）求∠CAB的度数．
【分析】（1）连接OB，先由垂径定理得OC⊥AB，AE＝BE，OB＝OC＝2，再由勾股定理求出BE=2，即可求解；（2）先证△BOE是等腰直角三角形，得∠BOC＝45°，再由圆周角定理即可求解．
【解答】解：（1）连接OB，如图所示：
∵半径OC过弦AB的中点E，∴OC⊥AB，AE＝BE，OB＝OC＝2，
∴BE=OB2−OE2=22−(2)2=2，∴AB＝2BE＝22；
（2）由（1）得：BE＝OE，OC⊥AB，∴△BOE是等腰直角三角形，∴∠BOC＝45°，
∴∠CAB=12∠BOC＝22.5°．
8.如图，AB为⊙O直径，过点O作OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，CD∥AB．
（1）求证：E为OD的中点；
（2）若CB＝6，求四边形CAOD的面积．
【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质以及垂径定理证明即可；
（2）根据平行四边形的判定和勾股定理解答即可．
【解答】证明：（1）在⊙O中，OD⊥BC于E，∴CE＝BE，∵CD∥AB，∴∠DCE＝∠B，
在△DCE与△OBE中∠DCE=∠BCE=BE∠CED=∠BEO，∴△DCE≌△OBE（ASA），∴DE＝OE，
∴E是OD的中点；
（2）连接OC，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OD⊥BC，∴∠CED＝90°＝∠ACB，∴AC∥OD，
∵CD∥AB，∴四边形CAOD是平行四边形，∵E是OD的中点，CE⊥OD，∴OC＝CD，
∵OC＝OD，∴OC＝OD＝CD，∴△OCD是等边三角形，∴∠D＝60°，∴∠DCE＝90°﹣∠D＝30°，
∴在Rt△CDE中，CD＝2DE，
∵BC＝6，∴CE＝BE＝3，∵CE2+DE2＝CD2＝4DE2，∴DE=3，CD＝23，∴OD＝CD＝23，
∴四边形CAOD的面积＝OD•CE＝63．
9.如图，点P是⊙O内一定点．
（1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若⊙O的半径为13，OP＝5，
①求过点P的弦的长度m范围；
②过点P的弦中，长度为整数的弦有 4 条．
【分析】（1）连接OP并延长，过点P作AB⊥OP即可；
（2）①过点P的所有弦中，直径最长为26，与OP垂直的弦最短，由垂径定理和勾股定理求出AB＝24，即可得出答案；
②过P点最长的弦为直径26，最短的弦24，长度为25的弦有2条，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，连接OP并延长，过点P作AB⊥OP，
则弦AB即为所求；
（2）①过点P的所有弦中，直径最长为26，与OP垂直的弦最短，连接OA，如图2所示：
∵OP⊥AB，∴AP＝BP=OA2−OP2=132−52=12，∴AB＝2AP＝24，
∴过点P的弦的长度m范围为24≤m≤26；
②∵过P点最长的弦为直径26，最短的弦24，∴长度为25的弦有两条，
∴过点P的弦中，长度为整数的弦共有4条，故答案为：4．
第11讲 垂径定理 随堂检测
1.如图，⊙O直径为10，圆心O到弦AB的距离OM长为3，那么弦AB长是( )
A.4 B.6 C.7 D.8
【答案】D
2.过⊙O内一点M的最长弦为10 cm，最短弦长为8cm，则OM的长为( )
A.9cm B.6cm C.3cm D.eq \r(41)cm
【答案】C
3.如图，弦CD垂直于⊙O直径AB，垂足为H，且CD＝2eq \r(2)，BD＝eq \r(3)，则AB长为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】B.
4.如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】A.
5.如图，⊙O直径为10，弦AB长为6，M是弦AB上的一动点，则线段OM的长的取值范围是( )
A.3≤OM≤5 B.4≤OM≤5 C.3＜OM＜5 D.4＜OM＜5
【答案】B
6.如图，⊙O直径AB垂直于弦CD，垂足E是OB的中点，CD＝6cm，则直径AB＝ cm.
【答案】答案为：4eq \r(3).
7.如图，AB为⊙O的弦，⊙O半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝1，则弦AB长是 .
【答案】答案为：6.
8.如图，OD是⊙O的半径，弦AB⊥OD于E，若∠O＝70°，则∠A＋∠C＝ 度.
【答案】答案为：55.
9.如图，将半径为2cm圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB长为
【答案】答案为：2eq \r(3).
10.如图，⊙O的半径是5，△ABC是⊙O的内接三角形，过圆心O，分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为E、F、G，连接EF，若OG＝3，则EF为 .
【答案】答案为：4.
11.如图，已知点P是⊙O外的一点，PB与⊙O相交于点A、B，PD与⊙O相交于C、D，AB＝CD.
求证：(1)PO平分∠BPD；
(2)PA＝PC.
【答案】证明：(1)过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F，
∵AB＝CD，
∴OE＝OF，
∴PO平分∠BPD；
(2)在Rt△POE与Rt△POF中，
∵OP＝OP，OE＝OF，
∴Rt△POE≌Rt△POF，
∴PE＝PF，
∵AB＝CD，OE⊥AB，OF⊥CD，E、F分别为垂足，
∴AE＝eq \f(1,2)AB，CF＝eq \f(1,2)CD，
∴AE＝CF，
∴PE﹣AE＝PF﹣CF，即PA＝PC.
12.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝BC.延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE.
(1)求证：∠B＝∠D；
(2)若AB＝13，BC﹣AC＝7，求CE的长.
【答案】证明：(1)∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
又∵DC＝CB，
∴AD＝AB，
∴∠B＝∠D
(2)解：设BC＝x，则AC＝x﹣7，
在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2， 即(x﹣7)2＋x2＝132，
解得：x1＝12，x2＝﹣5(舍去)，
∵∠B＝∠E，∠B＝∠D，
∴∠D＝∠E，
∴CD＝CE，
∵CD＝CB，
∴CE＝CB＝12