2025年中考数学专项复习讲义专题10 中考压轴题（原卷版）

这是一份2025年中考数学专项复习讲义专题10 中考压轴题（原卷版），共24页。试卷主要包含了综合与实践等内容，欢迎下载使用。
题型01 几何压轴——平移
题型02 几何压轴——对称
题型03 几何压轴——旋转
题型04 二次函数综合——线段问题
题型05 二次函数综合——面积问题
题型06 二次函数综合——角度问题
题型07 二次函数综合——三角形问题
题型08 二次函数综合——四边形问题
题型09 二次函数综合——其他问题
题型01
几何压轴——平移
1．（2025·天津西青·一模）将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，，，点是边的中点．
(1)填空：如图①，点的坐标为 ，点的坐标为 ；
(2)连接，将直角三角形纸片沿剪开，把水平向右平移得到，点，，的对应点分别是，，，设．
①如图②，当与重叠部分为五边形时，分别与，相交于点，，与相交于点，试用含有的式子表示的长，并直接写出的取值范围；
②当时，求与重叠部分的面积的取值范围．（直接写出结果即可）
2．（2025·山东日照·一模）综合与实践
[问题背景]：
如图1，在四边形中，，，，连接，，过点作于点，且．
（1）求证：．
[操作探究]：
如图2，将沿直线方向向右平移一定距离，点，，的对应点分别为点，，，且点与点重合．
（2）①连接，试判断四边形的形状，并说明理由；
②求出平移的距离．
[拓展创新]：
如图3，在（2）的条件下，将绕点按顺时针方向旋转一定角度，在旋转的过程中，记直线分别与边，交于点，．
（3）当时，请求出的长．
3．（2025·河南周口·一模）综合与实践
学完图形的平移后，小慧为了加深理解，对其进行了进一步探究．
【模型感知】
（1）她把边长为3的正方形纸片沿着对角线剪开，如图1．然后固定纸片，把纸片沿剪痕的方向平移得到，如图2．连接，，，在平移过程中：
①四边形的形状始终是________（点与点重合时除外）；
②求的最小值．
【拓展探究】
（2）如图3，她把正方形改为边长为1的菱形，，将沿射线的方向平移得到，连接，，，请直接写出的最小值．
题型02
几何压轴——对称
1．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在中，，，点是边上的一动点，，垂足为点，将沿翻折得到，连接．

(1)如图1，①求证：；
②求证：；
(2)如图2，若，当点是中点时，求的面积．
2．（2025·江苏泰州·一模）在“纸片中的数学”主题综合实践活动中，某数学小组利用纸片裁剪或者折叠操作后，发现了很多有趣的数学问题．
【观察证明】
问题1：一张长方形纸片最多可以剪出多少个大小一样的等腰直角三角形？
如图1，长方形纸片中，，，小组成员小明在长方形纸片中，已经剪出8个腰长为2的等腰直角三角形（如图1所示）．小组成员小刚探究发现，在剪剩下的长方形中还能再剪出1个腰长为2的等腰直角三角形．请你在图1长方形中画出该三角形的示意图，并通过计算说明小刚的说法是正确的．
【操作实践】
问题2：一张正方形纸片是否可以折出正六边形？
如图2，小组成员小东按图2步骤折叠正方形．最后从线段 处剪开，并展开纸片，得到了正六边形．若原正方形边长为6，则折出的正六边形的边长为 ．
3．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，中，．将沿翻折，点落到点处，过点作，交的延长线于点H，，垂足为点，点在线段上，，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，若．
①求证：；
②求的长度．
4．（2025·广东东莞·一模）综合与实践课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动．
【动手操作】
如图1．将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点，打开铺平，连接、、．
【探究提炼】
（1）如图1，点是上任意一点；线段和线段存在什么关系？并说明理由；
（2）如图2，连接，当恰好垂直于时，求线段的长度；
【类比迁移】
（3）如图3，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．
①求的度数；
②请问步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值：若不存在，说明理由．
5．（2025·福建泉州·一模）综合与实践：
题型03
几何压轴——旋转
1．（2025·四川成都·一模）如图，四边形和均为正方形，将绕点旋转；
(1)如图①，连接，判断直线的位置关系并说明理由；
(2)如图②，连接，若，探索并证明线段的数量关系；
(3)如图③，若正方形、边长分别为，绕点旋转一周，直线与相交于点，直接写线段的最小值及点运动轨迹的长度．
2．（2025·陕西咸阳·一模）【问题探究】
（1）如图①，在中，，，点是上的一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，当的值最小时，求的度数；
【问题解决】
（2）如图②，四边形是一个工厂的平面示意图，，，，连接，，平分，点是的中点，点是上一动点，在处修建一个员工休息处，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，按规划在处修建一个废品处理站，是一条产品加工线，其中点在上，点是四边形内一动点，，为方便回收废品，现要沿安装一条自动运输带．为节约成本，要使自动运输带的长尽可能的小，自动运输带的长是否存在最小值，若存在，请求出的最小值，若不存在，请说明理由．
3．（2024·山东泰安·一模）综合实践
问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在“中，，，分别取，的中点D，E，作．如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，．
(1)探究发现：旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．
(2)性质应用：如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长．
(3)延伸思考：如图4，在中，，，，分别取，的中点D，E．作，将绕点B逆时针旋转，连接，．当边平分线段时，求的值．
题型04
二次函数综合——线段问题
1．（2025·湖南岳阳·一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点是直线下方抛物线上一动点，过点作交于点，求线段的最大值及此时点的坐标；
(3)如图2，过平面上一点作任意一条直线交抛物线于两点，过点作直线，分别交轴于两点，试探究与的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
2．（2025·山东临沂·一模）在平面直角坐标系中，直线经过抛物线的顶点．如图，当抛物线经过原点时，其顶点记为．
(1)求抛物线的解析式并直接写出点的坐标；
(2)时，的最小值为，求的值；
(3)当时．动点在直线下方的抛物线上，过点作轴交直线于点，令，求的最大值．
3．（2025·内蒙古赤峰·一模）如图，已知抛物线与轴相交于，两点，交轴于点，
(1)求抛物线解析式，并求出该抛物线对称轴及顶点坐标．
(2)如图，点是抛物线对称轴上的一点，求周长的最小值．
(3)如图，是线段上一动点（端点除外），过作，交于点，连接．求面积的最大值，并判断当的面积取最大值时，以、为邻边的平行四边形是否为菱形．
4．（2025·河北承德·一模）如图1，抛物线交x轴于O，两点，顶点为B．
(1)直接写出点B的坐标________；
(2)求抛物线的表达式；
(3)点C为的中点，
①过点C作，垂足为H，交抛物线于点E．求线段的长．
②点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形．如图2，当点F落在抛物线上时，直接写出点D的坐标；
题型05
二次函数综合——面积问题
1．（2025·江西吉安·一模）已知，如图，在平面直角坐标系中，的斜边在x轴上，直角顶点A在y轴的正半轴上，．
(1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
(2)设点是抛物线在第一象限部分上的点，的面积为S，求S关于的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标；
(3)在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M，使得为等腰三角形（P为上述（2）问中使S最大时的点）？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
2．（2025·辽宁抚顺·一模）一般地，在实数范围内的两个变量x，y，以及对应关系f，对于每一个实数x，y都有唯一确定的实数与之对应，则称f为定义在实数范围内的一个函数，即（x为使对应关系成立的全体实数）．例如：若，则；若，则．如图，函数的图象与x轴交于点A，且，与y轴交于点C，且．函数的图象经过点A和点C．
(1)求的表达式．
(2)如图，若为函数图象上的一点，作垂直x轴，垂足为E，延长交的图象于点F，此时称点D与点F互为“垂直点”，两垂直点函数值的差，即称为“垂直差”．当时，求的最大值以及此时的值．
(3)若是函数图象上不与点B重合的一点，当的面积与的面积相等时，求出的值．
3．（2025·海南三亚·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且二次函数的图象经过点．
(1)求二次函数解析式；
(2)动直线（为常数，且）与抛物线交于点，与直线交于点，连接，构成，当面积最大时，求的值及点坐标；
(3)在（2）的条件下，当时，函数值的取值范围是_______．
4．（2025·江苏苏州·一模）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为，点是直线下方抛物线上的一个动点，连接，与交于点．连接，，过点作交于点，连接．设点的横坐标为，面积为，面积为，面积为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若，求的值；
(3)若，则点的坐标为 ．
题型06
二次函数综合——角度问题
1．（2025·辽宁营口·一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与直线l交于B，C两点，其中点A的坐标为，点C的坐标为．
(1)求二次函数的表达式和点B的坐标．
(2)如图2，若抛物线与y轴交于点D，连接，抛物线上是否存在点M，使？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线：经过，两点，与轴交于点，连接，且．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图2，点为抛物线上一点，且位于第三象限，于点，若，求点的坐标；
(3)抛物线与抛物线：关于原点对称，抛物线与轴正半轴交于点，作交直线于点，在抛物线上是否存在点，使得∠，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
3．（2025·广东中山·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)点P是x轴上一点，若是等腰三角形，直接写出点P的坐标；
(3)如图（2），点D是直线下方抛物线上的一个动点．过点D作于点E，问：是否存在点D，使得?若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
题型07
二次函数综合——三角形问题
1．（2025·广东惠州·一模）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线与直线交于、两点，与轴交于两点，且线段．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)动点在轴上移动，当是直角三角形时，求点的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上找一点，使的值最大，求点的坐标．
2．（2025·河南焦作·一模）新定义：若一个点的横坐标与纵坐标之和为6，那么称这个点为“和六点”．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过该反比例函数图象上的所有“和六点”．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若，请直接写出的解集；
(3)已知二次函数与反比例函数的图象交于（点的横坐标小于点的横坐标）两点，为抛物线对称轴上一动点．若是以为顶点的等腰三角形，求点的坐标．
3．（2025·天津红桥·一模）已知抛物线（b，c为常数）与x轴相交于，两点，与y轴相交于点C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若P是该抛物线的对称轴上一点．
①当点P在第一象限，且是等腰三角形时，求点P的坐标；
②当时，求点P的坐标．
4．（2025·江苏宿迁·一模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求线段的最大值；
(3)是否存在以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接、，求四边形的面积的最大值，并写出此时点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，点N是x轴上一动点，求当N点坐标为 时，的值最小，最小值为 ．
(4)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点A、C、M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2025·陕西商洛·一模）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)抛物线关于轴对称得到抛物线，点的对应点为为抛物线上一点且在轴上方，过点作轴于点，连接．当和相似时，求符合条件的点的坐标．
7．（2025·青海西宁·一模）【阅读理解】在平面直角坐标系中，我们把横，纵坐标相等的点叫做“不动点”，例如，都是“不动点”．
【迁移应用】在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线表达式及抛物线上“不动点”的坐标；
(2)如图，将抛物线沿直线折叠得到新的图象，若恰好有个“不动点”，求的值；
(3)如图，点为“不动点”，点是抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点，，使？若存在，求出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
题型08
二次函数综合——四边形问题
1．（2025·四川雅安·一模）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B．
(1)求k的值和点B的坐标；
(2)求抛物线的表达式；
(3)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线及抛物线分别交于点P，N．若以O，B，N，P为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值．
2．（2025·山东烟台·一模）如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线于点A，C，抛物线的顶点为D．

(1)求抛物线的表达式；
(2)M是线段上一点，N是抛物线上一点，平行于y轴且交x轴于点E，当时，求点M的坐标；
(3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2025·四川达州·一模）如图．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴：直线与轴交于点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点是直线上方的抛物线上的动点，连接交于点，如图1，当的值最大时，求点的坐标及的最大值；
(3)若点为对称轴右侧抛物线上一点，且在轴上方，为平面内一动点，是否存在点，使得以为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点F为抛物线上一点，点E为直线上一点，当以A，B，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形时，求点F的坐标．
5．（2025·湖南衡阳·一模）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一动点，设点的横坐标为．
(1)求抛物线的表达式．
(2)如图1，连接，并延长交轴于点，连接，交轴于点．点在运动过程中，的值是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
(3)将该抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位，得到如图2所示的抛物线刚好经过点，点为抛物线对称轴上一点．在平面内确定一点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形．
6．（2025·江苏扬州·一模）已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，若点是抛物线 在第四象限上的任意一点，
①连接，点D为y轴上一个动点，是否存在这样的点P和点D，使得以A、C、P、D为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
②将点P按竖直方向向下平移m个单位到点Q，求点Q到x轴距离的最大值．
7．（2025·江苏徐州·一模）已知二次函数的图象经过点，与轴交于点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)若点都在这个二次函数的图象上，且，求的最大值；
(3)若点是直线上的点，二次函数图象上是否存在点（点在点的左侧），使得四边形是面积为2的正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（2025·湖南·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，设的对称轴为直线．
(1)求的值；
(2)设与轴的交点为，，曲线是与关于轴对称的抛物线，若，求的解析式及顶点坐标；
(3)在（2）的条件下，设在的对称轴左侧有直线轴，且与和分别交于点，另有一条直线轴，且与和分别交于点，当四边形是正方形时，求点的坐标及正方形的边长．
题型09
二次函数综合——其他问题
1．（2025·广东江门·一模）如图，二次函数（常数）与x轴从左到右的交点为A、B，过线段的中点D作轴，交反比例函数于点C，且．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)当时，求的长，并求直线与抛物线的对称轴之间的距离．
(3)把抛物线在直线右侧部分的图象（含与直线的交点）记为E，用t表示图象E最低点的坐标．
2．（2025·辽宁抚顺·一模）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标绝对值相等，则称该点为“绝值点”．例如，，，…都是“绝值点”．若某函数图象上只存在两个“绝值点”，则称该函数为“绝值函数”．例如的图象上存在，两个“绝值点”，则称函数为“绝值函数”．
(1)求反比例函数图象上的“绝值点”的坐标；
(2)判断二次函数是不是“绝值函数”，请说明理由；
(3)“绝值函数”的“绝值点”分别是点A，（点A在点的左侧），与轴交于点，当的面积为1时，求的值．
3．（2025·山东日照·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点作轴，与抛物线交于点．
(1)若抛物线经过点；
①求点的坐标；
②当时，抛物线取得最大值为，求的值；
(2)已知点，，若抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点、），求的取值范围．
4．（2025·江苏淮安·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）的顶点的横坐标是1，并经过点，与轴交点坐标为．
(1)求此抛物线的函数表达式：
(2)点、点均在这个抛物线上（点在点的左侧），点的横坐标为，点的横坐标为，将此抛物线上、两点之间的部分（含、两点）记为图象．
①当点在轴上方，图象的最高与最低点的纵坐标差为5时，求的值；
②设点，点，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连结，（当不含内部）和二次函数在范围上的图象有且有一个公共点时，求的取值范围．
5．（2025·四川成都·一模）如图1，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为第一象限抛物线上的一动点，作于点，当最大时，求点的坐标；
(3)如图2，将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线，点，都在抛物线上，且分别在第一象限和第三象限，连接，分别交轴、轴于点，若，求证：直线经过一定点．
6．（2025·山东日照·一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线过B、C两点．
(1)分别求b、t的值；
(2)如图2，将直线向左平移若干单位，使之恰好过点A，分别取点A左侧直线部分和点A右侧抛物线部分（实线所示），记为图象G，点，均在图象G上．
①若平面内一点P，满足线段轴，（P在D的右侧），当线段与图象G有两个交点时，求a取值范围；
②D，E之间（含D，E两点）的图象所对应函数的最大值与最小值均不随a的变化而变化，直接写出a的取值范围．
7．（2025·山东临沂·一模）二次函数（，，为实数）．
(1)当，时，探究发现二次函数的顶点恰好在直线上．
直接写出的值为________________；
若二次函数与直线有两个交点，设两个交点分别为，，请证明；若二次函数与直线没有两个交点，请说明理由．
(2)若，直线与二次函数相交于和两点，其中．
求的值；
当时，求二次函数的最大值．
8．（2025·吉林·一模）已知抛物线经过点．点在这个抛物线上，当点不在轴上时，过点作轴于点，作线段关于坐标原点成中心对称的线段，设点的横坐标为．
(1)求此抛物线对应的函数解析式；
(2)当线段与线段在同一条直线上时，求线段的长度；
(3)当点在轴左侧时，若线段与此抛物线有且只有一个公共点，求的取值范围；
(4)作平行四边形．当边与此抛物线有两个公共点时，若以这两个公共点和点为顶点构造三角形的面积是面积的一半，直接写出的值．准备
在复习探究《几何图形变化》的时候，老师让同学们准备了两张全等的直角三角形纸片，并且把它们的一条直角边重合在一起（如图1），已知，，．
实践探究
平移
如图2，小明同学把沿直线平移，当点B与点A重合时，点C与点D重合，点A的对应点为点．
结论1：四边形是矩形；
旋转
如图3，小红同学把绕点A顺时针旋转，当点C的对应点恰好落在边上时，点B的对应点为点，与边交于点E．
结论2：可求出图中任意一条线段的长，如；
对折
如图4，若点M，N分别是，的中点，小军同学将沿着直线对折，点B的对应点为．
结论3：①点C，，N在同一条直线上；
②可求出线段的长．
验证计算
根据以上同学对三种图形变化的探究，请你完成三个结论的证明或计算．结论3中①②可任选一个，②比①多得2分．