2025年中考数学专项复习讲义专题02 整式、分式、根式（原卷版）

这是一份2025年中考数学专项复习讲义专题02 整式、分式、根式（原卷版），共13页。试卷主要包含了计算的结果等于 ，计算，如图，已知整式，规定等内容，欢迎下载使用。
题型01 整式的运算
题型02 因式分解
题型03 分式的概念
题型04 分式的计算
题型05 根式概念与性质
题型06 根式的运算
题型07 规律探究
题型01
整式的运算
1．（2025·宁夏银川·一模）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·广东湛江·一模）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·湖南娄底·一模）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2025·辽宁·一模）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2025·甘肃白银·一模）赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．图是北京国际数学家大会的会标，它取材于“弦图”，．若图中大正方形的面积为，小正方形的面积为，现将这四个直角三角形拼成图，则图中大正方形的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·广东深圳·模拟预测）计算的结果等于 ．
7．（2025·福建泉州·一模）计算： ．
8．（2025·河北邯郸·一模）如图
(1)求整式；
(2)若，求当时整式的值．
9．（2025·河北石家庄·一模）已知整式．
(1)若，求整式；
(2)对任意实数，判断整式的值能为负数吗？说明理由．
10．（2025·河北石家庄·一模）规定：若两个数的平方差能被8整除，则称这个算式是“如意式”．例如：．
验证：是“如意式”；
证明：任意两个连续奇数的平方差都能被8整除，这些算式都是“如意式”．
11．（2025·安徽芜湖·一模）问题提出：请观察下列关于正整数的平方拆分等式：
①；
②；
③；
④．
(1)请用上面的拆分方法拆分；
(2)用含有字母n（n是正整数）的等式表示这一规律，并借助运算证明这个结论是正确的；
(3)数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式．
证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图：这个图形的面积可以表示成：或，∴，这就验证了两数和的完全平方公式．
类比解决：请你用图形的几何意义证明（2）中等式结论的正确性．（画出图形并标出相关数据）
12．（2025·江苏连云港·一模）先化简，再求值：，其中， ．
13．（2025·河南开封·一模）（1）计算：
（2）化简；．
14．（2025·广西南宁·一模）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
15．（2025·广东深圳·一模）【阅读理解】已知，求的值．
解：由已知可得，则，
．①
，②
．
（1）第②步运用了______公式；（A．平方差 B．完全平方）
【类比探究】
（2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知，求的值．
16．（2025·甘肃兰州·一模）先化简，再求值：，其中．
17．（2025·河北·一模）如图，大正方形A的边长为a，小正方形B的边长为b，两个正方形重叠部分（阴影部分）的面积为m．
(1)用含b，m的代数式表示正方形B中空白部分的面积：______．
(2)若，，设正方形A中空白部分的面积为，正方形B中空白部分的面积为，求的值．
18．（2025·浙江·一模）《几何原本》是数学发展史中的不朽著作，该书记载了很多利用几何图形来论证代数结论的方法，凸显了数形结合的思想.如图①，借助四边形的面积说明了等式成立．
(1)观察图②，③，找出可以推出的等式：
等式A：；
等式B：；
可知，图②对应等式_____；图③对应等式_____．
(2)如图④，中，，，于点，是边上一点，作于点于点，过作的平行线交直线于点．分别记，，，的面积为．求的值．
19．（2025·湖北·一模）教材内容一
七年级下《不等式与不等式组》中的“阅读与思考”——用求差法比较大小．
两个数量的大小可以通过它们的差来判断，如果两个数a，b比较大小，那么
当时，一定有；
当时，一定有；
当时，一定有；
反过来也对，即
当时，一定有；
当时，一定有；
当时，一定有．
教材内容二
八年级上《整式的乘法与因式分解》中的“完全平方式”节选
你能根据图2和图3中图形的面积说明完全平方公式吗？
阅读以上材料完成下列任务：
问题探究
对于图2我们进一步的探讨．
（1）______；______；
（2）比较与的大小，并说明理由：
拓展运用
（3）应用以上结果，求的最小值．
题型02
因式分解
1．（2025·湖南衡阳·一模）下列各式在实数范围内因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025·重庆·一模）对多项式因式分解的结果是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2025·吉林长春·一模）分解因式： ．
4．（2025·甘肃·一模）因式分解： ．
5．（2025·四川成都·一模）分解因式： ．
6．（2025·广东汕头·一模）因式分解： ．
7．（2025·四川南充·一模）若，，则的值为 ．
8．（2025·山东潍坊·一模）因式分解： ．
9．（2025·广东梅州·一模）因式分解： ．
10．（2023·山东淄博·一模）分解因式： ．
11．（2025·河北邯郸·一模）如下是佳佳作业中的两个问题的解答过程，老师的批改结果是“两个问题都有错误”：
(1)指出两个问题的解题过程中的所有错误；（写步骤序号）
(2)任选一个题目，写出正确的解题过程．
题型03
分式的概念
1．（2025·山东泰安·一模）根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·安徽宣城·一模）下列化简运算不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）若函数有意义，则x的取值范围是 ．
4．（2025·江苏南京·一模）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
5．（2025·江苏盐城·一模）在函数中，自变量x的取值范围是 ；在函数中，自变量x的取值范围是 ．
6．（2025·安徽滁州·一模）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
7．（2025·安徽宣城·一模）若分式的值为0，则的值为 ．
8．（2025·广西贵港·一模）若分式的值为，则的值为 ．
题型04
分式的计算
1．（2025·天津西青·一模）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·河北邯郸·一模）若为负整数，且，则的值都在图中数轴上的部分可能为（ ）
A．②B．③C．①加上②D．④加上⑤
3．（2025·宁夏银川·一模）先化简，再求值：，其中是满足的整数.
4．（2025·河南许昌·一模）（1）计算：．
（2）化简：．
5．（2025·辽宁·一模）（1）计算：．
（2）化简：．
6．（2025·重庆·一模）计算：
(1)；
(2)．
7．（2025·陕西咸阳·一模）先化简，再求值：，其中．
8．（2025·江苏淮安·一模）先化简，再求值：，其中x满足方程．
9．（2025·福建泉州·一模）先化简，再求值：，其中．
10．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）先化简，再求代数的值，其中：．
11．（2025·山东临沂·一模）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，请在，，1，2，3这五个数中选择一下你认为最合适的数代入求值．
12．（2025·甘肃·一模）先化简，再求值：，其中，．
13．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）先化简，再求代数式的值，其中．
题型05
根式概念与性质
1．（2025·广东江门·一模）函数中自变量x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·广东珠海·一模）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·山东临沂·一模）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
4．（2025·湖北黄冈·一模）要使二次根式在实数范围内有意义，则符合条件的正整数的值可以是 ．（写出一个即可）
5．（2025·宁夏吴忠·一模）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简 ．
6．（2025·广东江门·一模）化简： ．
题型06
根式的运算
1．（2025·辽宁·一模）矩形相邻两边的长分别为，，设其面积为，则的值（ ）
A．在1和2之间B．在2和3之间
C．在3和4之间D．在4和5之间
2．（2025·天津·一模）的值等于（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·甘肃定西·一模）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·浙江嘉兴·一模）下列计算正确的为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·天津河北·一模）的值等于（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·重庆·一模）估计的值应在（ ）
A．1和2之间B．2和3之间
C．3和4之间D．4和5之间
7．（2025·河南焦作·一模）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2025·江苏扬州·一模）若 ，则下列各式正确的是（ ）
A．B．C．D．
9．（2025·云南楚雄·一模）若，则的值是（ ）
A．1B．2C．D．
10．（2025·天津·一模）计算结果等于 ．
11．（2025·宁夏吴忠·一模）计算 ．
12．（2025·江苏南京·一模）计算： ．
13．（2025·河北保定·一模）如图，数轴上的点表示实数、且与的积为有理数，则整数的值为 ．
14．（2025·河北唐山·一模）计算： ．
15．（2025·天津西青·一模）计算的结果等于 ．
16．（2025·黑龙江大庆·一模）若与最简二次根式能合并，则m的值为 ．
题型07
规律探究
1．（2025·重庆·一模）有依次排列的2个整式：，，将第1个整式乘以2再与第2个整式相加，得到第3个整式，称为第一次操作；将第2个整式乘以2再与第3个整式相加，得到第4个整式，称为第二次操作；将第3个整式乘以2再与第4个整式相加，得到第5个整式，称为第三次操作，……，以此类推，下列说法：
①第六次操作得到的整式为；
②第20个整式中含项的系数的2倍与第21个整式中含项的系数之差为1；
③第2024个整式和第2025个整式中含项的系数之和等于．
其中正确的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
2．（2025·山东潍坊·一模）已知为实数，规定运算：，，，，…，．按上述规定，当时，的值等于（ ）
A．B．C．D．0
3．（2025·福建泉州·一模）烷烃是由碳、氢元素组成的有机化合物质，碳原子个数为~，依次用甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸表示．如甲烷、乙烷、丙烷的化学式分别为、、，分子结构如图所示，则癸烷的分子结构中氢原子的个数是（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·重庆·一模）观察图形的规律，第①个图形中共有3个小黑点，第②个图形中共有9个小黑点，第③个图形中共有18个小黑点，按照此规律第⑥个图形中共有（ ）个小黑点
A．54B．63C．84D．90
5．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）美术课上，老师请同学们用黑色棋子设计有规律的图案，小华这组出色地完成了这个设计，摆出的图案不仅具有艺术美感，还存在数学规律，如图，观察他们的设计，按此规律，则第⑥个图案需要棋子的个数是（ ）
A．28B．29C．30D．31
6．（2025·广西桂林·一模）按一定规律排列的数列：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…．对于这列数，存在这样一个规律：，，，，，，…．由此规律，可得第12个数和第13个数的和为 ．
7．（2025·四川成都·一模）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，…，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2025个数中，奇数的个数为 ．
8．（2025·河南驻马店·一模）如图，图1是一个边长为2，有一个内角为的菱形，我们称之为原始菱形，将图1中的菱形沿水平方向向右平移个单位，得到图2，将图2中的原始菱形沿水平方向平移个单位，得到图3，依此类推…
若经过若干次平移后，图的面积为，则 ．
9．（2025·安徽宿州·一模）观察下列等式：
第个等式：．
第个等式：．
第个等式：．
第个等式：．
……
按照以上规律，解决下列问题．
(1)写出第个等式：______．
(2)写出你猜想的第（为正整数）个等式（用含的式子表示），并证明．
10．（2025·广东韶关·一模）如图1，这是一种海螺，图2是由这种海螺抽象出的螺旋图形，它是由一系列直角三角形组成的，其中，，且每个三角形都以点为顶点．
(1)求的值．
(2)如图3，若有一个海螺图形恰好由9个直角三角形拼成，其中每一个直角三角形都有一条直角边为1，且这个图形的周长（实线部分）为，则最接近哪个整数？第一题：解不等式．
解：去分母，得，……①
去括号，得，……②
移项，得，……③
合并同类项，得，……④
系数化为1，得．……⑤
第二题：分解因式：．
解：原式……①
……②
……③
．……④
…
0
1
2
…
…
0
无意义
*
*
*
…