2025年中考数学专项复习讲义专题08 锐角三角函数（原卷版）

这是一份2025年中考数学专项复习讲义专题08 锐角三角函数（原卷版），共23页。
题型02 解三角形
题型03 解直角三角形的实际应用——俯仰角问题
题型04 解直角三角形的实际应用——方向角问题
题型05 解直角三角形的实际应用——坡度坡角问题
题型06 解直角三角形的实际应用——其他问题
题型01
锐角三角函数的定义
1．（2025·江苏常州·一模）如图所示为一张矩形纸片，为的中点，点在边上，把该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，与交于点，的延长线过点．若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·广东深圳·一模）在中，已知，，，则长为（ ）
A．12B．26C．24D．13
3．（2025·天津红桥·一模）如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·山东·一模）如图，在由边长为1的小正方形构成的网格中，点都在格点上，经过点的圆与小正方形一边相交于点D，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·湖南长沙·一模）如图，的半径与弦互相垂直平分，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·山东济宁·一模）如图，在中，是斜边上的中线．已知，则的值是（ ）
A．B．C．D．
7．（2025·天津西青·一模）的值等于（ ）
A．B．C．D．
8．（2025·广东江门·一模）若锐角，则的值是（ ）
A．B．C．D．1
9．（2025·天津·一模）的值等于（ ）
A．B．C．D．
10．（2025·云南楚雄·一模）如图，这是一块三角尺，其中，，则的结果为（ ）
A．B．C．D．1
11．（2025·天津和平·一模）的值等于（ ）
A．B．C．D．
12．（2025·四川泸州·一模）因为，，所以．由此猜想，推理可知：当为锐角时，有，由此可知（ ）
A．B．C．D．
13．（2025·江苏淮安·一模）如图，在中，，且点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，则 ．
14．（2025·陕西咸阳·一模）如图，已知直线l和直线l上的两点A，B，请用尺规作图法，在直线l上方求作Rt，使得，点B为直角顶点．（不写作法，保留作图痕迹）
题型02
解三角形
1．（2025·内蒙古·一模）如图，在矩形中，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在矩形中，，，点是的中点，连接，于点，连接交于点，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
3．（2025·贵州毕节·一模）已知如图，在平行四边形中，，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·山东青岛·一模）如图，已知，，，，则的长是（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·广东惠州·一模）如图，菱形的边长为2，点C在y轴的负半轴上，抛物线过点B．若，则为（ ）
A．B．C．D．1
∵菱形的边长为，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
把代入，
∴，
∴，
6．（2025·浙江湖州·一模）如图，是的弦，半径于点D，连结．若的半径长为，的长为，则扇形的面积是 （结果保留）．
7．（2025·广东深圳·一模）如图，中，，顶点分别在反比例函数与的图象上，则 °．
8．（2025·江西宜春·一模）如图，等边的边长为2，若点绕点O旋转后，恰好与的某边上的点P重合，则点P的坐标是 ．
9．（2025·山东济宁·一模）如图，已知是线段上的动点（不与点A，重合），，分别以，为边在线段的同侧作等边和等边，连接，设的中点为；连接，当动点从点A运动到点时，则的最小值是 ．
10．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在菱形中，，，在直线上取一点，使，连接，在的右侧作，使，射线交直线于点，则的长为 ．
11．（2025·福建泉州·一模）一根钢管放在“V”形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是，若，则图中阴影部分的面积是 ．
12．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，已知是的直径，点在上，，连接，点是线段延长线上一点，且，连接并延长交射线于点．
(1)求证：是的切线：
(2)若，，求阴影部分的面积．
13．（2025·湖南湘西·一模）如图，以为直径的经过点C，过点C作的切线交的延长线于点P，D是上的点，且，弦的延长线交切线于点E，连接．
(1)求的度数；
(2)若的半径为3，，求的长．
14．（2025·四川雅安·一模）如图．在中，是的中点，连接是的中点，过点作交的延长线于点，连接．
(1)求证：；
(2)如果，，求的长．
15．（2025·浙江绍兴·一模）如图，在中，点在边上，，，．
(1)求的值；
(2)若，求的周长．
16．（2025·河南郑州·一模）（1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列三个条件中，不能解直角三角形的是________．
①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角．
（2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知中，，，，解这个三角形；
（3）【延伸应用】如图2，中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是________．
题型03
解直角三角形的实际应用——俯仰角问题
1．（2025·山东聊城·一模）光岳楼位于聊城古城中央，始建于明洪武七年（公元1374年），是中国十大名楼之一，光岳楼为中国既古老又雄伟的木构楼阁，是宋元建筑向明清建筑过渡的代表作，在中国古代建筑史上有着重要地位，1988年光岳楼被列为全国重点文物保护单位，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉．某校数学实践小组利用所学数学知识测量光岳楼的高度，他们制订了两个测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．在测量仰角的度数以及有关长度时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果．下面是两个方案及测量数据（不完整）：
【问题解决】
(1)求“方案一”两次测量塔影长的平均值；
(2)根据“方案一”的测量数据，求出光岳楼的高度；
(3)根据“方案二”的测量数据，求出光岳楼的高度．（参考数据：．结果保留1位小数）．
2．（2025·广东江门·一模）如图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头P的仰角、俯角都调整为，摄像头高度，识别的最远水平距离．
(1)小张站在离摄像头水平距离点M处，恰好能被识别（头的顶部恰好在仰角线处），请问小张的身高约为多少厘米？
(2)身高的小军，头部高度为，当他直立站在离摄像头最远处时，请通过计算说明这时的小军能被摄像头识别吗？（参考数据：，，）
3．（2025·山东临沂·一模）兰陵阁是兰陵兰溪湿地公园地标性建筑，某数学兴趣小组为了测量兰陵阁的高度，制定了两种方案：
方案一：利用测角仪在地面进行测量．如图1，先在点C处测得兰陵阔的顶端A的仰角为，又向前走了5米到点D处，此时测得顶端A的仰角为；
方案二：利用无人机在空中进行测量．如图2，无人机在离地面30米高的点E处测得兰陵阁顶端A的俯角为，测得底部B的俯角为；
请你选择一种测量方案，结合测得的数据，计算兰陵阁的高度约为多少米？（参考数据，，，，，）．
4．（2025·山东临沂·一模）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：
(1)求线段和的长度：
(2)求底座的底面的面积．
5．（2025·山东济宁·一模）综合与实践
一天，某校九年级数学兴趣小组开展了项目式主题学习，具体如下：
题型04
解直角三角形的实际应用——方向角问题
1．（2025·广西河池·一模）【阅读理解】在学习《解直角三角形》这一节时，喜欢探索的小明同学在课外学习活动中，探究发现，锐角三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系．下面是小明同学的学习笔记，请仔细阅读下列材料并完成相应的任务．
学习笔记：如图1，在锐角中，，，的对边分别记为a，b，c，锐角的面积记为，过点C作于点D，则，
∴，
∴．
同理可得，，
即．
由以上推理得结论①：锐角三角形的面积等于两边与其夹角正弦积的一半．
又∵，根据等式的基本性质，将，整理，得．
由以上推理得结论②：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等．
【理解应用】请学习上述阅读材料，并用上述材料的结论解答以下问题．
如图2，甲船以54海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于A处时，乙船位于甲船的南偏西方向的B处，且乙船从B处沿北偏东方向匀速直线航行．当甲船航行20分钟到达D处时，乙船航行到达甲船的南偏西方向的C处，此时两船相距18海里．
(1)求的面积；
(2)求乙船由B处到达C处航行的路程是多少海里．（结果保留根号）
2．（2025·山东烟台·一模）晒甲河项目是我区画河文化旅游综合改造项目的重要组成部分，在建设过程中十分重视便民利民．其中，规划的晒甲河湿地公园一个休闲区域是一个四边形，其中四周是人行步道，对角线、为两条自行车道，点B为入口，经测量，点A在点B的正东方向，同时点A在点D的南偏东方向，点C在点D的南偏西方向，点C在点A的北偏西方向，，若米．（参考数据：，，）
(1)求自行车道的长．（结果保留小数点后一位）
(2)小明从A地步行前往B地，小明出发2分钟后，小刚骑自行车从D出发赶往B地给小明送东西，请分别求出、的长度．
3．（2025·新疆喀什·一模）如图，某海岸线的方向为北偏东，甲、乙两船同时出发向处海岛运送物资．甲船从港口处沿北偏东方向航行．乙船从港口处沿北偏东方向航行，其中乙船的平均速度为25公里/小时．若两船同时到达处海岛，求甲船的平均速度．（参考数据：，）
4．（2025·重庆·一模）“梨花风起正清明，游子寻春半出城”．如图，某校在公园开展了寻春活动，小巴和小蜀同时从公园大门（A地）步行出发，约定在停车场（D地）汇合．小巴先沿北偏东的方向走到达和善亭（B地），然后继续向东北方向走到达和雅亭（C地），到达C地后停留了3分钟整理沿途采集的植物，整理完毕后再到停车场（D地），D地在C地的南偏东方向．小蜀从A地出发后，先沿正东方向到达和志亭（E地），再沿北偏东方向到达D地，E地恰在C地的正南方向．
(1)请求出的长度；（结果保留根号）
(2)若小巴步行的速度为，小蜀步行的速度为，请问小巴和小蜀谁先到达停车场（D地）？通过计算说明．（计算结果保留到小数点后1位，参考数据：，，）
5．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，乡镇点在乡镇点的正北方向，桥最北端的桥墩点在乡镇点的西南方向，最南端桥墩点在乡镇点的北偏西方向处．原来从乡镇到乡镇需要经过桥，沿折线到达，现在新建了桥，可直接从乡镇到达乡镇，已知桥和平行，．（参考数据：，，．）
(1)求点到直线的距离；
(2)求现在从乡镇A到乡镇比原来少走的路程．
题型05
解直角三角形的实际应用——坡度坡角问题
1．（2025·江西宜春·一模）八一广场，南昌这座英雄城市的重要地标！为了纪念1927年8月1日发生的南昌起义，广场中央矗立着八一起义纪念塔，如图，纪念塔前有一斜坡，坡度，在点B处看塔尖的仰角为，．
(1)求点B到地面的垂直高度；
(2)求纪念塔的高度（结果保留整数）．（参考数据：，，）
2．（2025·陕西宝鸡·一模）在校园科技节活动中，主办方布置了一项挑战任务：精准测量学校主教学楼的高度．任务一发布，来自各个班级的数学学习小组纷纷踊跃参与，以下是某小组给出的测量方案．请你根据小组的测量方案，计算教学楼的高度．（结果精确到米）（参考数据：，，，）
3．（2025·北京·一模）某市一处十字路口立交桥的横断面如图所示，桥拱的部分为一段抛物线，顶点的高度为8米，它两侧和是高为米的支柱，和为两个方向的机动车通行区，宽都为15米，线段和为两段对称的上桥斜坡，其坡度（即垂直高度与水平宽度的比）为．以所在直线为轴，横断面的对称轴为轴建立平面直角坐标系．
(1)求桥拱所在抛物线的解析式及的长；
(2)和为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的和为两个方向的行人及非机动车通行区，直接写出宽的长度；
(3)按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于米．今有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为7米．它能否从桥下区域安全通过？请说明理由．
4．（2025·湖南衡阳·一模）如图，红红家后面的山坡上有座信号发射塔，塔尖点到地面的距离为．红红站在离房子的底端前方30米的点处，眼睛距离地面的高度米，抬头发现恰好可以观察到发射塔的塔尖，并且在此观测位置测得塔尖的仰角为．红红家到山脚的水平距离米，山坡的坡度为（），山脚到塔尖的仰角为．
(1)若米，则__________米，__________米（用含的代数式表示）；
(2)求房子和塔的高度．（结果保留一位小数）（参考数据：，，）
5．（2025·天津红桥·一模）综合与实践活动中，要利用测角仪测量一座建筑物的高度．
如图，在建筑物前有一座高为的山坡，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．
某学习小组在山坡底部C处测得建筑物顶部B的仰角为，在山坡顶部D处测得建筑物顶部B的仰角为．
(1)求山坡的高度；
(2)求建筑物的高度（结果保留整数）．
参考数据：，，，．
6．（2025·四川资阳·一模）风筝起源于中国，已有2000多年的历史，它象征着希望和祝福，而放风筝则可强身健体、愉悦身心．阳春三月，小明和好友到郊外去放风筝，由于天公作美，风筝快速飞至点P处（如图）．爱动脑的小明准备测量此时风筝的高度，他立即从坡底处沿坡度的山坡走了到达坡顶处，测得处的仰角为；他又沿坡面BC走到达坡底处，测得处的仰角为．（点，，，在同一平面内）
(1)求坡顶处的高度；
(2)求风筝的飞行高度（即的长）．
题型06
解直角三角形的实际应用——其他问题
1．（2025·宁夏银川·一模）如图，图1为《天工开物》记载的用于春（）捣谷物的工具——“碓（）“的结构简图，图2为其平面示意图，已知于点，与水平线相交于点，.若，，，则点到水平线的距离为 .（，，，结果精确到）
2．（2025·辽宁抚顺·一模）按照中央、省市关于城市燃气管网专项治理工作的部署和安排，我市正在进行城镇燃气管网老化更新改造工程．图1是改造现场一辆伸缩臂高空作业车的实物图，图2是其工作示意图（点A，，，，，，，都在同一平面内）．如图2，伸缩臂高空作业车固定不动，转轴固定不动，转动点离地面的高度为，起重臂长为，，楼高为，操作平台A在上．
(1)求此时操作平台离地面的高度；
(2)若起重臂可以绕点上下转动，且长度可伸缩，最长可伸长为，则操作平台A能到达楼顶吗？为什么？（结果精确到，参考数据：，，）
3．（2025·山东青岛·一模）某小区活动中心想在房前高的墙上安装一个遮阳篷，使正午时刻房前能有宽的阴影处以供纳凉．假设此地某日正午时刻太阳光线与水平地面的夹角为，遮阳篷与水平面的夹角为，如图为侧面示意图，请求出此遮阳篷端到墙的距离是多长？（结果精确到）．
（参考数据，，；，）
4．（2025·江苏泰州·一模）图1是一种阳台户外伸缩晾衣架，侧面示意图如图2所示，是由支架、、、、、组成，其中、两点是墙面固定点，点可以在线段上自由移动，活动角随着点的移动而变化，晾衣架也随着整体前后移动．图2中、、和中间两个全等的菱形边长都相等（宽度忽略不计）．
(1)若，．求此时最远端点到墙壁的距离；
(2)若点从移动到，活动角变化范围为，最远端点到墙壁的最大距离可达．求的长（结果保留整数）．（参考数据：，，，）．
5．（2025·山东临沂·一模）如图1，明代科学家徐光启所著的《农政全书》中记载了中国古代的一种采桑工具—桑梯，其简单示意图如图2，已知，，与的夹角为．为保证安全，农夫将桑梯放置在水平地面上，将夹角调整为，并用铁链锁定、两点．
(1)求出点到的距离（结果精确到）；
(2)农夫站在离顶端处的处时可以高效且安全地采桑．求此时农夫所在的处到地面的高度．（结果精确到）．（参考数据：，，，，）
6．（2025·安徽合肥·一模）图是一款可调节椅背的办公室沙发椅，它可以减轻使用者的脊椎压力，图是它的侧面示意图已知椅背，现将椅背角度从调节到（即， ），过点，作，，分别交直线于点，．
(1)求水平方向增加的距离长．（结果精确到；参考数据：，， ）
(2)求调节过程中椅背扫过的面积结果保留
7．（2025·辽宁葫芦岛·一模）爷爷有一把躺椅，如图1所示，其侧面结构的几何示意图如图2所示，躺椅主要由座面，靠背以及支架和组成，其中座面与地面平行，，，，．（图中所示线段均在同一平面内）．
(1)求座面与地面的距离；
(2)求靠背最高点E与地面的距离．（结果保留根号）
8．（2025·江苏宿迁·一模）如图①，舂碓是我国上世纪乡村农用工具，形状呈型，将其抽象成如图②的平面图形，呈型的可绕点旋转，其中，，三点在同一条直线上，点在直线上，，，， ，初始时．
(1)如图②，求初始时点到的距离；
(2)如图③，当点第一次落在上时，求点在竖直方向上上升了多少厘米．（结果保留1位小数；参考数据：）
9．（2025·江苏宿迁·一模）阅读与思考
下面是项目学习小组学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
完成下列任务：
(1)连接，求证：．
(2)若，求的长．
10．（2025·江西景德镇·一模）如图①，是液体过滤的实验装置，图②是其侧面示意图，已知底座高度，烧杯高度，漏斗的一端紧贴烧杯内壁，漏斗的锥形部分，且，漏斗管位于烧杯的上方部分，玻璃棒斜靠在三层滤纸的点处，，玻璃棒长度为．
（结果精确到）
(1)求漏斗口处点到底座的高度；
(2)某次过滤时，玻璃棒与水平方向的夹角为，求此时玻璃棒顶端点到桌面的距离．
（参考数据：，，，）项目
测量光岳楼的高度
方案
方案一：标杆垂直立于地面，借助平行的太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长，影长及同一时刻塔影长
方案二：利用锐角三角函数．测量：距离，仰角，仰角
说明
三点在同一条直线上
三点在同一条直线上
测量
示意图
测量数据
测量项目
第一次
第二次
平均值
测量项目
第一次
第二次
平均值
活动主题
测算某水池中雕塑底座的底面积
测量工具
皮尺、测角仪、计算器等
活动过程
模型抽象
某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其示意图如下：
测绘过程与数据信息
①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上；
②过点E作，并沿方向前进到点F，用皮尺测得的长为8米；
③在点F处用测角仪测得，，；
④用计算器计算得：，，，，，．
项目名称
测量底部无法到达的物体高度
问题情境
某校园内有一座孔子雕像（如图1所示），雕像底座的底面是一个正方形．
九年级数学兴趣小组利用所学知识，测量这座雕像的高度（含底座的高度）．

数学建模
如图2，设雕像底座的底面是正方形，它的中心为，雕像的顶端为点，过点作底座底面（正方形）的垂线恰好经过它的中心，则线段的长即为这座雕像的高度．

测量工具
足够长的卷尺 测角仪
测量步骤
该校九年级数学兴趣小组提供了下面的测量方法，并绘制了如图3所示的测量示意图．
第一步，数学兴趣小组用卷尺测得雕像底座底面（正方形）的边长为米；
第二步，数学兴趣小组用卷尺在雕像底座底面所在平面上取一适当的点，使，此时用卷尺得点到雕像底座底面（正方形）边的距离（的长）为米；
第三步，某同学继续站在E处（表示测角仪到底座底面所在平面的距离）用测角仪测得此时雕像顶端的仰角为；
第四步，用卷尺测得米．
计算结果
根据上面的测量方法，若，，，，求的长（精确到）．
参考数据：，，．
任务
测量主教学楼的高度
测量工具
测角仪，皮尺
测量方案示意图
测量步骤
①测量出教学楼前斜坡的长为米，坡度
②在离点米的点处，测得教学楼顶端的仰角为．
测量数据说明
点在同一平面内
实验室使用量筒量取液体时，读数要平视，如图，量筒内的液面近似地看成，读数时，视线垂直于量筒壁，与相切于点，点为所在圆的圆心．小东同学读数时，从点处俯视点（点在上），记录量筒上点处的高度为．小华同学记录量筒上点处的高度为．