2025年中考数学二轮复习《压轴题》专项练习05（含答案）

这是一份2025年中考数学二轮复习《压轴题》专项练习05（含答案），共17页。

(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，平行四边形BCPQ顶点P在抛物线上，如果平行四边形BCPQ面积为某值时，符合条件的点P有且只有三个，求点P的坐标．
(3)如图2，点M在第二象限的抛物线上，点N在MO延长线上，OM＝2ON，连接BN并延长到点D，使ND＝NB．MD交x轴于点E，∠DEB与∠DBE均为锐角，tan∠DEB＝2tan∠DBE，求点M的坐标．
如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t秒(t＞0)，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点O和点P，已知矩形ABCD的三个顶点为A(1，0)，B(1，﹣5)，D(4，0)．
(1)求c，b(含t的代数式表示)；
(2)当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N．
①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；
②求△MPN的面积S与t的函数关系式．并求t为何值时，△MPN的面积为．
如图，在平面直角坐标系中，直线y=x＋3分別交x轴、y轴于A、C两点，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)，经过A，C两点，与x轴交于点B(1，0)
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D为直线AC上一点，点E为拋物线上一点，且D，E两点的横坐标都为2，点F为x轴上的点，若四边形ADFE是平行四边形，请直接写出点F的坐标；
(3)若点P是线段AC上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交拋物线于点Q，连接AQ，CQ，求△ACQ的面积的最大值．
如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C．
(1)写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；
(2)若直线y＝﹣x＋b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；
(3)P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c(b，c为常数)的图象经过点A(3，1)，点C(0，4)，顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．
(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标；
(2)若将该二次函数图象向下平移m(m＞0)个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部(不包括△ABC的边界)，求m的取值范围；
(3)点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标(直接写出结果，不必写解答过程)．
如图，抛物线y1＝x2﹣1交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B，将此抛物线向右平移4个单位得抛物线y2，两条抛物线相交于点C.
(1)请直接写出抛物线y2的解析式；
(2)若点P是x轴上一动点，且满足∠CPA＝∠OBA，求出所有满足条件的P点坐标；
(3)在第四象限内抛物线y2上，是否存在点Q，使得△QOC中OC边上的高h有最大值？若存在，请求出点Q的坐标及h的最大值；若不存在，请说明理由.
如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交y轴于点A(0，﹣4)，并经过点C(6，0)，过点A作AB⊥y轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线x＝2，D点的坐标为(4，0)，连接AD，BC，BD．点E从A点出发，以每秒eq \r(2)个单位长度的速度沿着射线AD运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作EF⊥AB于F，以EF为对角线作正方形EGFH．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点G随着E点运动到达BC上时，求此时m的值和点G的坐标；
(3)在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由．
如图，抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A(4，0)、B(﹣2，0)两点，与y轴交于点C，点P是线段AB上一动点(端点除外)，过点P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当动点P运动到何处时，BP2=BD•BC；
(3)当△PCD的面积最大时，求点P的坐标．

已知抛物线y＝﹣eq \f(1,4)x2＋bx＋c经过点A(4，2)，顶点为B，对称轴是直线x＝2.
(1)求抛物线的解析式和顶点B的坐标.
(2)如图1，抛物线与y轴交于点C，连接AC，过A作AD⊥x轴于点D，E是线段AC上的动点(点E不与A，C两点重合).
①若直线BE将四边形ACOD分成面积比为1：3的两部分，求点E的坐标.
②如图2，将点D向下平移1个单位长度到点D′，连接D′E，作矩形D′EFG，在点E的运动过程中，是否存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上？若存在，直接写出AE的长；若不存在，请说明理由.
如图1，二次函数y1=(x﹣2)(x﹣4)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，其对称轴l与x轴交于点C，它的顶点为点D．
(1)写出点D的坐标 ．
(2)点P在对称轴l上，位于点C上方，且CP=2CD，以P为顶点的二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点A．
①试说明二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点B；
②点R在二次函数y1=(x﹣2)(x﹣4)的图象上，到x轴的距离为d，
当点R的坐标为 时，二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于2d；
③如图2，已知0＜m＜2，过点M(0，m)作x轴的平行线，分别交二次函数y1=(x﹣2)(x﹣4)y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象于点E、F、G、H(点E、G在对称轴l左侧)，过点H作x轴的垂线，垂足为点N，交二次函数y1=(x﹣2)(x﹣4)的图象于点Q，若△GHN∽△EHQ，求实数m的值．
\s 0 答案
解：(1)由题意得，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
(2)如图1，
作直线 SKIPIF 1 < 0 且与抛物线相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 ，作直线 SKIPIF 1 < 0 且直线 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离等于直线 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离，
SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 △ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述：点 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
(3)如图2，
作 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 点的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 点的横坐标为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
解：(1)将(0，0)代入y＝x2＋bx＋c，
∴c＝0，
由题可知P(t，0)，
∴t2＋bt＝0，
∴b＝﹣t；
(2)①∠AMP的大小不会变化，理由如下：
由(1)知y＝x2﹣tx，
∵四边形ABCD是矩形，
∴M(1，1﹣t)，
∴AM＝t﹣1，
∵P(t，0)，A(1，0)，
∴AP＝t﹣1，
∴AM＝AP，
∵AM⊥AP，
∴∠AMP＝45°；
②∵A(1，0)，D(4，0)，
∴M(1，1﹣t)，N(4，16﹣4t)，
∴AM＝t﹣1，DN＝4t﹣16，
∴S△MNP＝S△DPN＋S梯形NDAM﹣S△PAM
＝eq \f(1,2)×(t﹣4)×(4t﹣16)＋eq \f(1,2)×(4t﹣16＋t﹣1)×3﹣eq \f(1,2)×(t﹣1)2＝eq \f(3,2)t2﹣eq \f(15,2)t＋6，
∵△MPN的面积为，
∴eq \f(3,2)t2﹣eq \f(15,2)t＋6＝，解得t＝eq \f(1,2)或t＝eq \f(9,2)，
∵4＜t＜5，
∴t＝eq \f(9,2)．
解：(1)当y=0时，x＋3=0，解得x=﹣3，则A(﹣3，0)，
当y=0时，y=x＋3=3，则C(0，3)，
设抛物线解析式为y=a(x＋3)(x＋1)，
把C(0，3)代入得a•3•(﹣1)=3，解得a=﹣1，
所以抛物线解析式为y=﹣(x＋3)(x﹣1)，
即y=﹣x2﹣2x＋3；
(2)连结DE交x轴于H，如图1，
∵D，E两点的横坐标都为2，
∴DE⊥x轴，且DE被x轴平分，H(2，0)
∵四边形ADFE为平行四边形，
∴AH=FH=2﹣(﹣3)=5，
∴OF=OH＋HF=7，
∴F点的坐标为(7，0)；
(3)如图2，设P(t，t＋3)(﹣3＜t＜0)，则Q(t，﹣t2﹣2t＋3)，
则PQ=﹣t2﹣2t＋3﹣(t＋3)=﹣t2﹣3t，
∵S△ACQ=S△AQP＋S△CQP，∴S△ACQ=eq \f(1,2)•3•PQ=﹣eq \f(3,2)t2﹣eq \f(9,2)t=﹣eq \f(3,2)(t＋eq \f(3,2))2＋3eq \f(3,8)，
当t=﹣eq \f(3,2)时，△ACQ的面积有最大值，最大值为3eq \f(3,8)．
解：(1)当x＝0时，y＝﹣2，
∴C(0，2)，
当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，
(x﹣2)(x＋1)＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣1，
∴A(﹣1，0)，B(2，0)，
设图象W的解析式为：y＝a(x＋1)(x﹣2)，
把C(0，2)代入得：﹣2a＝2，
∴a＝﹣1，
∴y＝﹣(x＋1)(x﹣2)＝﹣x2＋x＋2，
∴图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式为：y＝﹣x2＋x＋2(﹣1＜x＜2)；
(2)由图象得直线y＝﹣x＋b与图象W有三个交点时，存在两种情况：
①当直线y＝﹣x＋b过点C时，与图象W有三个交点，此时b＝2；
②当直线y＝﹣x＋b与图象W位于线段AB上方部分对应的函数图象相切时，如图1，
﹣x＋b＝﹣x2＋x＋2，
x2﹣2x＋b﹣2＝0，
Δ＝(﹣2)2﹣4×1×(b﹣2)＝0，∴b＝3，
综上，b的值是2或3；
(3)∵OB＝OC＝2，∠BOC＝90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
如图2，CN∥OB，△CNM∽△BOC，
∵PN∥y轴，
∴P(1，0)；
如图3，CN∥OB，△CNM∽△BOC，
当y＝2时，x2﹣x﹣2＝2，
x2﹣x﹣4＝0，
∴x1＝，x2＝，∴P(，0)；
如图4，当∠MCN＝90°时，△OBC∽△CMN，
∴CN的解析式为：y＝x＋2，
∴x＋2＝x2﹣x﹣2，∴x1＝1＋eq \r(5)，x2＝1﹣eq \r(5)(舍)，
∴P(1＋eq \r(5)，0)，
综上，点P的坐标为(1，0)或(，0)或(1＋eq \r(5)，0)．
解：(1)把点A(3，1)，点C(0，4)代入二次函数y=﹣x2+bx+c得，
解得
∴二次函数解析式为y=﹣x2+2x+4，
配方得y=﹣(x﹣1)2+5，∴点M的坐标为(1，5)；
(2)设直线AC解析式为y=kx+b，
把点A(3，1)，C(0，4)代入得，
解得
∴直线AC的解析式为y=﹣x+4，如图所示，
对称轴直线x=1与△ABC两边分别交于点E、点F

把x=1代入直线AC解析式y=﹣x+4解得y=3，则点E坐标为(1，3)，点F坐标为(1，1)
∴1＜5﹣m＜3，解得2＜m＜4；
(3)连接MC，作MG⊥y轴并延长交AC于点N，则点G坐标为(0，5)
∵MG=1，GC=5﹣4=1∴MC=eq \r(2)，
把y=5代入y=﹣x+4解得x=﹣1，则点N坐标为(﹣1，5)，
∵NG=GC，GM=GC，∴∠NCG=∠GCM=45°，∴∠NCM=90°，
由此可知，若点P在AC上，则∠MCP=90°，则点D与点C必为相似三角形对应点
①若有△PCM∽△BDC，则有
∵BD=1，CD=3，∴CP===，
∵CD=DA=3，∴∠DCA=45°，
若点P在y轴右侧，作PH⊥y轴，
∵∠PCH=45°，CP=∴PH==
把x=eq \f(1,3)代入y=﹣x+4，解得y=eq \f(11,3)，∴P1(eq \f(1,3),eq \f(11,3))；
同理可得，若点P在y轴左侧，则把x=﹣eq \f(1,3)代入y=﹣x+4，解得y=eq \f(13,3)
∴P2(﹣eq \f(1,3),eq \f(13,3))；
②若有△PCM∽△CDB，则有∴CP==3eq \r(2)
∴PH=3eq \r(2)÷eq \r(2)=3，
若点P在y轴右侧，把x=3代入y=﹣x+4，解得y=1；
若点P在y轴左侧，把x=﹣3代入y=﹣x+4，解得y=7
∴P3(3，1)；P4(﹣3，7)．
∴所有符合题意得点P坐标有4个，
分别为P1(eq \f(1,3),eq \f(11,3))，P2(﹣eq \f(1,3),eq \f(13,3))，P3(3，1)，P4(﹣3，7)．
解：(1)抛物线y1＝x2﹣1向右平移4个单位的顶点坐标为(4，﹣1)，
所以，抛物线y2的解析式为y2＝(x﹣4)2﹣1；
(2)x＝0时，y＝﹣1，
y＝0时，x2﹣1＝0，解得x1＝1，x2＝﹣1，
所以，点A(1，0)，B(0，﹣1)，
∴∠OBA＝45°，
联立，解得，
∴点C的坐标为(2，3)，
∵∠CPA＝∠OBA，
∴点P在点A的左边时，坐标为(﹣1，0)，
在点A的右边时，坐标为(5，0)，
所以，点P的坐标为(﹣1，0)或(5，0)；
(3)存在.∵点C(2，3)，
∴直线OC的解析式为y＝eq \f(3,2)x，
设与OC平行的直线y＝eq \f(3,2)x＋b，
联立，消掉y得，2x2﹣19x＋30﹣2b＝0，
当△＝0，方程有两个相等的实数根时，△QOC中OC边上的高h有最大值，
此时x1＝x2＝×(﹣)＝，此时y＝(﹣4)2﹣1＝﹣，
∴存在第四象限的点Q(，﹣)，使得△QOC中OC边上的高h有最大值，
此时△＝192﹣4×2×(30﹣2b)＝0，解得b＝﹣，
∴过点Q与OC平行的直线解析式为y＝x﹣，
令y＝0，则x﹣＝0，解得x＝，
设直线与x轴的交点为E，则E(，0)，
过点C作CD⊥x轴于D，根据勾股定理，OC＝eq \r(5)，
则sin∠COD＝，
解得h最大＝.
解：(1)∵抛物线的对称轴为直线x＝2，D点的坐标为(4，0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(﹣2，0)，
∴抛物线的解析式为：y＝a(x＋2)(x﹣6)，
将点A(0，﹣4)解析式可得，﹣12a＝﹣4，
∴a＝eq \f(1,3)．
∴抛物线的解析式为：y＝eq \f(1,3)(x＋2)(x﹣6)＝eq \f(1,3)x2﹣eq \f(4,3)x﹣4．
(2)∵AB⊥y轴，A(0，﹣4)，
∴点B的坐标为(4，﹣4)．
∵D(4，0)，
∴AB＝BD＝4，且∠ABD＝90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，∠BAD＝45°．
∵EF⊥AB，
∴∠AFE＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形．
∵AE＝eq \r(2)m，
∴AF＝EF＝m，
∴E(m，﹣4＋m)，F(m，﹣4)．
∵四边形EGFH是正方形，
∴△EHF是等腰直角三角形，
∴∠HEF＝∠HFE＝45°，
∴FH是∠AFE的角平分线，点H是AE的中点．
∴H(eq \f(1,2)m，﹣4＋eq \f(1,2)m)，G(eq \f(3,2)m，﹣4＋eq \f(1,2)m)．
∵B(4，﹣4)，C(6，0)，
∴直线BC的解析式为：y＝2x﹣12．
当点G随着E点运动到达BC上时，有2×eq \f(3,2)m﹣12＝﹣4＋eq \f(1,2)m．解得m＝3.2．
∴G(4.8，﹣2.4)．
(3)存在，理由如下：
∵B(4，﹣4)，C(6，0)，G(eq \f(3,2)m，﹣4＋eq \f(1,2)m)．
∴BG2＝(4﹣eq \f(3,2)m)2＋(eq \f(1,2)m)2，BC2＝(4﹣6)2＋(﹣4)2＝20，CG2＝(6﹣eq \f(3,2)m)2＋(﹣4＋eq \f(1,2)m)2．
若以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，则△BGC是直角三角形，
∴分以下三种情况：
①当点B为直角顶点时，BG2＋BC2＝CG2，
∴(4﹣eq \f(3,2)m)2＋(eq \f(1,2)m)2＋20＝(6﹣eq \f(3,2)m)2＋(﹣4＋eq \f(1,2)m)2，解得m＝1.6，
∴G(2.4，﹣3.2)；
②当点C为直角顶点时，BC2＋CG2＝BG2，
∴20＋(6﹣eq \f(3,2)m)2＋(﹣4＋eq \f(1,2)m)2＝(4﹣eq \f(3,2)m)2＋(eq \f(1,2)m)2，解得m＝5.6，
∴G(8.4，﹣1.2)；
③当点G为直角顶点时，BG2＋CG2＝BC2，
∴(4﹣eq \f(3,2)m)2＋(eq \f(1,2)m)2＋(6﹣eq \f(3,2)m)2＋(﹣4＋eq \f(1,2)m)2＝20，解得m＝4.8或2，
∴G(3，﹣3)或(7.2，﹣1.6)；
综上，存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，点G的坐标为(2.4，﹣3.2)或(8.4，﹣1.2)或(3，﹣3)或(7.2，﹣1.6)．
解：(1)由题意，得，解得，
∴抛物线的解析式为y=eq \f(1,2)x2﹣x﹣4；
(2)设点P运动到点(x，0)时，有BP2=BD•BC，令x=0时，则y=﹣4，
∴点C的坐标为(0，﹣4)．
∵PD∥AC，∴△BPD∽△BAC，∴．
∵BC=，AB=6，BP=x﹣(﹣2)=x+2．
∴BD===．
∵BP2=BD•BC，∴(x+2)2=，解得x1=eq \f(4,3)，x2=﹣2(﹣2不合题意，舍去)，
∴点P的坐标是(eq \f(4,3)，0)，即当点P运动到(eq \f(4,3)，0)时，BP2=BD•BC；
(3)∵△BPD∽△BAC，∴，
∴×
S△BPC=eq \f(1,2)×(x+2)×4﹣
∵-eq \f(1,3)<0，∴当x=1时，S△BPC有最大值为3．
即点P的坐标为(1，0)时，△PDC的面积最大．
解：(1)∵抛物线y＝﹣eq \f(1,4)x2＋bx＋c经过点A(4，2)，对称轴是直线x＝2，
∴，解得，
∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣eq \f(1,4)x2＋x＋2，
∵y＝﹣eq \f(1,4)x2＋x＋2＝﹣eq \f(1,4)(x﹣2)2＋3，
∴顶点B的坐标为(2，3)；
(2)①∵y＝﹣eq \f(1,4)x2＋x＋2，
当x＝0时，y＝2，
∴C点的坐标为(0，2)，
∵A(4，2)，C(0，2)，
∴AC∥OD，
∵AD⊥x轴，
∴四边形ACOD是矩形，
设点E为(m，2)，直线BE的函数表达式为：y＝kx＋n，直线BE交x轴于点M，
则，解得，
∴直线BE的函数表达式为：y＝x＋，
令y＝x＋＝0，则x＝3m﹣4，
∴点M的坐标为(3m﹣4，0)，
∵直线BE将四边形ACOD分成面积比为1：3的两部分，
∴点M在线段OD上，点M不与点O重合，
∵C(0，2)，A(4，2)，M(3m﹣4，0)，E(m，2)，
∴OC＝2，AC＝4，OM＝3m﹣4，CE＝m，
∴S矩形ACOD＝OC•AC＝2×4＝8，
S梯形ECOM＝(OM＋EC)•OC＝(3m﹣4＋m)×2＝4m﹣4，
分两种情况：
Ⅰ、＝，即＝，解得：m＝eq \f(3,2)，
∴点E的坐标为(eq \f(3,2)，2)；
Ⅱ、＝，即＝，解得：m＝eq \f(5,2)，
∴点E的坐标为(eq \f(5,2)，2)；
综上所述，点E的坐标为(eq \f(3,2)，2)或(eq \f(5,2)，2)；
②存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上；理由如下：
由题意得：满足条件的矩形D′EFG在直线AC的下方，
过点F作FN⊥AC于N，则NF∥CG，
设点F的坐标为：(a，﹣eq \f(1,4)a2＋a＋2)，
则NF＝2﹣(﹣eq \f(1,4)a2＋a＋2)＝eq \f(1,4)a2﹣a，NC＝﹣a，
∵点D向下平移1个单位长度到点∵点D向下平移1个单位长度到点D′，
∴D′(4，﹣1)，
再作D′Q⊥y轴，交y轴于点Q，
∵四边形D′EFG与四边形ACOD都是矩形，
∴∠D′AE＝∠D′EF＝∠N＝90°，EF＝D′G，EF∥D′G，AC∥QD′，
∴∠NEF＝∠QD′G，∠EMC＝∠D′GQ，
∵NF∥CG，
∴∠EMC＝∠EFN，
∴∠EFN＝∠D′GQ，
在△EFN和△D′GQ中，
，
∴△EFN≌△D′GQ(ASA)，
∴NE＝QD′＝AC＝4，
∴AC﹣CE＝NE﹣CE，即AE＝NC＝﹣a，
∵∠D′AE＝∠D′EF＝∠N＝90°，
∴∠NEF＋∠EFN＝90°，∠NEF＋∠D′EA＝90°，
∴∠EFN＝∠D′EA，
∴△ENF∽△D′AE，
∴，即＝，
整理得：eq \f(3,4)a2＋a＝0，解得：a＝﹣eq \f(4,3)或0，
当a＝0时，点E与点A重合，∴a＝0舍去，
∴a＝﹣eq \f(4,3)，∴AE＝NC＝﹣a＝eq \f(4,3)，
∴当点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上，此时AE的长为eq \f(4,3).
解：(1)∵y1=(x﹣2)(x﹣4)=x2﹣6x+8=(x﹣3)2﹣1，
∴顶点D的坐标为(3，﹣1)．
(2)①∵点P在对称轴l上，位于点C上方，且CP=2CD，
∴点P的坐标为(3，2)，
∴二次函数y1=(x﹣2)(x﹣4)与y2=ax2+bx+c的图象的对称轴均为x=3，
∵点A、B关于直线x=3对称，
∴二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点B．
②∵二次函数yy2=ax2+bx+c的顶点坐标P(3，2)，
且图象上有且只有三个点到x轴的距离等于2d，
∴2d=2，解得：d=1．
令y1=(x﹣2)(x﹣4)= x2﹣6x+8中y1=±1，
即x2﹣6x+8=±1，解得：x1=3﹣eq \r(2)，x2=3+eq \r(2)，x3=3，
∴点R的坐标为(3﹣eq \r(2)，1)、(3+eq \r(2)，1)或(3，﹣1)．
故答案为：(3﹣eq \r(2)，1)、(3+eq \r(2)，1)或(3，﹣1)．
③设过点M平行x轴的直线交对称轴l于点K，
直线l也是二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴．
∵二次函数y2=ax2+bx+c过点A、B，且顶点坐标为P(3，2)，
∴二次函数y2=﹣2(x﹣2)(x﹣4)．
设N(n，0)，则H(n，﹣2(n﹣2)(n﹣4))，Q(n，(n﹣2)(n﹣4))，
∴HN=2(n﹣2)(n﹣4)，QN=(n﹣2)(n﹣4)，∴=2，即=．
∵△GHN∽△EHQ，∴．
∵G、H关于直线l对称，
∴KG=KH=eq \f(1,2)HG，∴．
设KG=t(t＞0)，则G的坐标为(3﹣t，m)，E的坐标为(3﹣2t，m)，
由题意得：，解得：或(舍去)．
故当△GHN∽△EHQ，实数m的值为1．