2025年中考数学专项复习讲义专题08 锐角三角函数（解析版）

这是一份2025年中考数学专项复习讲义专题08 锐角三角函数（解析版），共75页。学案主要包含了知识再现，联系拓展，延伸应用，问题解决，阅读理解，理解应用等内容，欢迎下载使用。
题型01 锐角三角函数的定义
题型02 解三角形
题型03 解直角三角形的实际应用——俯仰角问题
题型04 解直角三角形的实际应用——方向角问题
题型05 解直角三角形的实际应用——坡度坡角问题
题型06 解直角三角形的实际应用——其他问题
题型01
锐角三角函数的定义
1．（2025·江苏常州·一模）如图所示为一张矩形纸片，为的中点，点在边上，把该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，与交于点，的延长线过点．若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由矩形和折叠的性质可证明，通过等腰三角形的性质得到为中点，则由平行线分线段成比例定理可得，那么设，则，再由正弦的定义即可求解．
【详解】解：连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，，
∴，，
∴,
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设，则，
∵折叠，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质，锐角三角函数，全等三角形的判定与性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
2．（2025·广东深圳·一模）在中，已知，，，则长为（ ）
A．12B．26C．24D．13
【答案】B
【分析】本题考查了解直角三角形，利用正弦的定义即可求出．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
故选：B．
3．（2025·天津红桥·一模）如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，准确识图，根据锐角三角函数的定义对题目中给出的四个选项逐一进行分析判断即可得出答案．熟练掌握锐角三角函数的定义是解决问题的关键．
【详解】解：，，
，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确，
故选：D．
4．（2025·山东·一模）如图，在由边长为1的小正方形构成的网格中，点都在格点上，经过点的圆与小正方形一边相交于点D，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了圆周角定理的推论，勾股定理，锐角三角函数的定义，解答本题的关键是利用圆周角定理的推论把求的余弦值转化成求的余弦值，本题是一道比较不错的习题．
首先根据圆周角定理的推论可知，，然后在中，根据锐角三角函数的定义求出．
【详解】解：如图，连接、．
和所对的弧长都是，
根据圆周角定理的推论知，．
∵
∴为直径，
在中，根据锐角三角函数的定义知，
，
，，
，
．
故选：D．
5．（2025·湖南长沙·一模）如图，的半径与弦互相垂直平分，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，锐角三角函数，圆周角定理，连接，可得，即得，进而由圆周角定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵的半径与弦互相垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：．
6．（2025·山东济宁·一模）如图，在中，是斜边上的中线．已知，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线可得，，进而得，然后利用锐角三角函数进行计算即可解答．
【详解】解：在，是斜边上的中线，，
∴，，
∴，
∴，
故选：C．
7．（2025·天津西青·一模）的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．首先计算特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后计算加法，求出算式的值即可．
【详解】解：
；
故选：D．
8．（2025·广东江门·一模）若锐角，则的值是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，根据即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
故选：B
9．（2025·天津·一模）的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了特殊角三角函数值，二次根式的乘法，熟练掌握特殊角三角函数值是解题的关键．
先计算特殊角三角函数值，再根据二次根式乘法法则求解，最后合并即可．
【详解】解：
，
故选：．
10．（2025·云南楚雄·一模）如图，这是一块三角尺，其中，，则的结果为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】本题主要考查特殊角的函数值，熟练掌握特殊角的函数值即可得到答案．根据三角形内角和定理求出，即可得到答案．
【详解】解：，，，
，
故，
故选A．
11．（2025·天津和平·一模）的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了特殊角三角函数值，根据特殊角三角函数值，可得答案．
【详解】解：，
故选：A．
12．（2025·四川泸州·一模）因为，，所以．由此猜想，推理可知：当为锐角时，有，由此可知（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，本题是信息题，按照“一般地当为锐角时有”去答题．同时熟记特殊角的三角函数值也是解题的关键．
当为锐角时有．把代入计算即可．
【详解】解：∵，
，
故选：B．
二、填空题
13．（2025·江苏淮安·一模）如图，在中，，且点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，求角的正切值，相似三角形的性质与判定．过A、B作轴，轴，根据条件得到：，根据反比例函数比例系数k的几何意义得出，利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：如图所示，过A、B作轴，轴，垂足分别为C、D，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∵A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题
14．（2025·陕西咸阳·一模）如图，已知直线l和直线l上的两点A，B，请用尺规作图法，在直线l上方求作Rt，使得，点B为直角顶点．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了尺规作图，以点B为圆心，以为半径画弧与直线l交于点D，E，再分别以点D，E，为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点F，作射线，在射线上截取，连接，可知，则即为所求作．
【详解】解：如图所示，为所作．
题型02
解三角形
1．（2025·内蒙古·一模）如图，在矩形中，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质，扇形的面积，三角函数，连接，由矩形的性质及余弦的定义可得，即得，再根据计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
故选：．
2．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在矩形中，，，点是的中点，连接，于点，连接交于点，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】如图所示，延长交于点G，勾股定理求出，得到，求出，，然后证明出，得到，代数求出，，然后证明出，得出即可．
【详解】解：如图所示，延长交于点G，

∵四边形是矩形，
∴，，
∵点E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
3．（2025·贵州毕节·一模）已知如图，在平行四边形中，，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由平行四边形得，，又，则，过点作，过点作，过点作，设，解直角三角形分别求出，，，的长，等积法求出的长，勾股定理求出的长，平行线分线段成比例，求出的长，进而求出的长即可．
【详解】解：由题意可得：，，
∵，
∴，
过点作，过点作，过点作，
设，
则，
∴，， ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴ ，
∴，
由题意可得：，
∴，即，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，平行线分线段成比例，三线合一，等积法求线段，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线是解题的关键．
4．（2025·山东青岛·一模）如图，已知，，，，则的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了利用三角函数比解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数比．
利用等腰直角三角形求出，再利用求出长度即可得出答案．
【详解】解：在中，，
∴，
，
，
，
故选：A．
5．（2025·广东惠州·一模）如图，菱形的边长为2，点C在y轴的负半轴上，抛物线过点B．若，则为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和菱形的性质及解直角三角形，过点作轴交轴于点，求出点的坐标，代入即可求解，求出点的坐标是解题的关键．
【详解】解：过点作轴交轴于点，
∵菱形的边长为，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
把代入，
∴，
∴，
故选：A．
二、填空题
6．（2025·浙江湖州·一模）如图，是的弦，半径于点D，连结．若的半径长为，的长为，则扇形的面积是 （结果保留）．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理、解直角三角形、扇形的面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．先根据垂径定理可得，再解直角三角形可得，然后利用扇形的面积公式计算即可得．
【详解】解：∵半径于点，的长为，
∴，
∵的半径长为，
∴，
在中，，
∴，
∴扇形的面积是，
故答案为：．
7．（2025·广东深圳·一模）如图，中，，顶点分别在反比例函数与的图象上，则 °．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，特殊角的三角函数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
过点作轴于点，过点作轴于点，得到，，证明，得到，得出，得到，即可得到答案．
【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
点分别在反比例函数与的图象上，
，，
，
，，
，
，
∴，
∴，
，
故答案为：．
8．（2025·江西宜春·一模）如图，等边的边长为2，若点绕点O旋转后，恰好与的某边上的点P重合，则点P的坐标是 ．
【答案】或或
【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，旋转的性质，等边三角形的性质，分点P与边上的点重合，点P与边上的点重合，点与边上的点重合三种情况讨论求解即可，
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，．
当点P与边上的点重合时，则，
过点作轴于点D，
∴，
，
∴点；
当点P与边上的点重合时，连接，则，过点作轴于点E．
设，则，，
由勾股定理得，
即，
解得，
∴，，
∴点；
当点与边上的点重合时，则，
∴点．
综上所述，点的坐标是或或，
故答案为：或或．
9．（2025·山东济宁·一模）如图，已知是线段上的动点（不与点A，重合），，分别以，为边在线段的同侧作等边和等边，连接，设的中点为；连接，当动点从点A运动到点时，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】分别延长、交于点H，易证四边形为平行四边形，得出G为中点，则G的运行轨迹的中位线，得出，从而求得且大于等于与间垂线段的长
【详解】解：如图，分别延长、交于点H，
∵，分别是等边三角形，
∴，
∴，是等边三角形，
∴四边形为平行四边形，
∴与互相平分．
∵G为的中点，
∴G正好为中点，即在P的运动过程中，G始终为的中点，所以G的运行轨迹为的中位线，
∴，，
当P在中点时，，的值最小，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴
∴的最小值时，
故答案为．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，找到点G移动的规律，判断出其运动路径，综合性较强．
10．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在菱形中，，，在直线上取一点，使，连接，在的右侧作，使，射线交直线于点，则的长为 ．
【答案】6或12
【分析】本题考查了菱形的性质、解直角三角形，结合图形作垂线构造直角三角形是解题的关键．根据题意，分①点在线段上；②点在延长线上2种情况讨论，作于点，根据菱形的性质和解直角三角形的相关知识即可求解．
【详解】解：①若点在线段上，如图，作于点，则，
菱形，
，，
，
在中，，
设，则，
，
，
解得：或（舍去），
，，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
；
②若点在延长线上，如图，作于点，则，
同理①中的方法可得，，，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
，
，
点与点重合，
；
综上所述，的长为6或12．
故答案为：6或12．
11．（2025·福建泉州·一模）一根钢管放在“V”形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是，若，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了求不规则图形的面积、解直角三角形、切线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，由题意得都是的切线，得到，利用四边形的内角和定理得出，再证出，得到，利用正切的定义求出的长，最后利用阴影部分的面积即可求解．
【详解】解：如图，连接，
由题意得，都是的切线，
，，
，
，
，
，，，
，
，，
在中，，
，
，
阴影部分的面积
．
故答案为：．
三、解答题
12．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，已知是的直径，点在上，，连接，点是线段延长线上一点，且，连接并延长交射线于点．
(1)求证：是的切线：
(2)若，，求阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（）连接，可证，又由垂径定理可得，即得，即可求证；
（）由切线的性质得，设半径长为，则，，利用勾股定理可得，，进而由锐角三角函数得，即可得，再根据解答即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵是的切线，
∴，
∴，
设半径长为，则，，
∵，
∴，
解得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
过点作于，则，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，垂径定理，切线的判定和性质，圆周角定理，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积，正确作出辅助线是解题的关键．
13．（2025·湖南湘西·一模）如图，以为直径的经过点C，过点C作的切线交的延长线于点P，D是上的点，且，弦的延长线交切线于点E，连接．
(1)求的度数；
(2)若的半径为3，，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
（1）连接，证明，，推出，根据平行线的性质得到．根据切线的性质即可得到结论；
（2）运用三角函数值在中求得，然后在中求得即可．
【详解】（1）解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的切线，C为切点，
∴．
∴；
（2）解：在中，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴．
14．（2025·四川雅安·一模）如图．在中，是的中点，连接是的中点，过点作交的延长线于点，连接．
(1)求证：；
(2)如果，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由题得，，得到，得出；
（2）由，得到，由，是的中点，得到，得出，得到四边形是矩形，求出，，可证明，得到，求出．
【详解】（1）证明：，
，
是的中点，
，
，
，
；
（2）解：由（1）知，
，，
是的中点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，矩形的判定性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
15．（2025·浙江绍兴·一模）如图，在中，点在边上，，，．
(1)求的值；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了三角函数和勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）设，则，根据可得，，进而可求出．
（2）在中，根据勾股定理列方程求出x的值为，进而可求得的周长．
【详解】（1）解：设，因为，则，
因为，所以，所以，
因为，
所以，，
所以．
（2）解：在中，，即，所以，
所以，的周长为．
16．（2025·河南郑州·一模）（1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列三个条件中，不能解直角三角形的是________．
①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角．
（2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知中，，，，解这个三角形；
（3）【延伸应用】如图2，中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是________．
【答案】（1）③；（2），，；（3）
【分析】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识．
（1）根据解直角三角形的定义可得结论；
（2）过点作于点，由中，，，可得，，，设，则，，根据列方程求出，即可求解；
（3）过点作，交的延长线于点，由，，可得，当或时，有唯一解，当，即时，有两个解，可得结论．
【详解】解：（1）不能解直角三角形的是已知两个角，
故答案为：③；
（2）如图1，过点作于点，
中，，，
，，，
设，则，，
在中，，即，
解得：，
，，
，
，，；
（3）过点作，交的延长线于点，
，，
，
，
当或时，有唯一解，
当，即时，有两个解，
故答案为：．
题型03
解直角三角形的实际应用——俯仰角问题
1．（2025·山东聊城·一模）光岳楼位于聊城古城中央，始建于明洪武七年（公元1374年），是中国十大名楼之一，光岳楼为中国既古老又雄伟的木构楼阁，是宋元建筑向明清建筑过渡的代表作，在中国古代建筑史上有着重要地位，1988年光岳楼被列为全国重点文物保护单位，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉．某校数学实践小组利用所学数学知识测量光岳楼的高度，他们制订了两个测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．在测量仰角的度数以及有关长度时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果．下面是两个方案及测量数据（不完整）：
【问题解决】
(1)求“方案一”两次测量塔影长的平均值；
(2)根据“方案一”的测量数据，求出光岳楼的高度；
(3)根据“方案二”的测量数据，求出光岳楼的高度．（参考数据：．结果保留1位小数）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查相似三角形的性质，仰俯角解直角三角形，理解题意，掌握相似三角形的性质，解直角三角形的计算是关键．
（1）根据平均值的计算即可求解；
（2）根据题意得，则，代入求值即可；
（3）设，则，，解得，所以，由此即可求解．
【详解】（1）解：“方案”两次测量塔影长的平均值是；
（2）解：根据题意得，
∴，
∵，，，
∴；
（3）解：设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
答：光岳楼的高度约为．
2．（2025·广东江门·一模）如图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头P的仰角、俯角都调整为，摄像头高度，识别的最远水平距离．
(1)小张站在离摄像头水平距离点M处，恰好能被识别（头的顶部恰好在仰角线处），请问小张的身高约为多少厘米？
(2)身高的小军，头部高度为，当他直立站在离摄像头最远处时，请通过计算说明这时的小军能被摄像头识别吗？（参考数据：，，）
【答案】(1)184.3厘米
(2)小军能被摄像头识别
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，理解题意，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．
（1）过作的垂线分别交仰角线，俯角线于点，，交水平线于点，在中，根据三角函数求出即可求出，进而可求出小张的身高；
（2）过作的垂线分别交仰角线，俯角线于点，，交水平线于点，同上，
在中，根据三角函数求出，，即可求出，进而可确定小军头部以下的高度．
【详解】（1）解：过作的垂线分别交仰角线，俯角线于点，，交水平线于点，
由题意知，
∴四边形是矩形，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴小张的身高约是184.3厘米；
（2）过作的垂线分别交仰角线，俯角线于点，，交水平线于点，
同上，可知四边形是矩形，
∴，，
在中，，
∴，同理，
∴，，
小军头部以下的高度为，且小军身高，
∴小军能被摄像头识别．
3．（2025·山东临沂·一模）兰陵阁是兰陵兰溪湿地公园地标性建筑，某数学兴趣小组为了测量兰陵阁的高度，制定了两种方案：
方案一：利用测角仪在地面进行测量．如图1，先在点C处测得兰陵阔的顶端A的仰角为，又向前走了5米到点D处，此时测得顶端A的仰角为；
方案二：利用无人机在空中进行测量．如图2，无人机在离地面30米高的点E处测得兰陵阁顶端A的俯角为，测得底部B的俯角为；
请你选择一种测量方案，结合测得的数据，计算兰陵阁的高度约为多少米？（参考数据，，，，，）．
【答案】兰陵阁的高度约为米；
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用；
选择方案一：设，可得，结合，再建立方程求解即可；
选择方案二：如图，延长交水平线与，结合题意可得：，，，，设，求解，结合，再建立方程并进一步求解即可.
【详解】解：选择方案一：
由题意可得：，，，，
在中，，
设，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴兰陵阁的高度约为米；
选择方案二：
如图，延长交水平线与，结合题意可得：，，，，
在中，，
∴设，
在中，，
∴，
∴，
解得：，
∴；
∴兰陵阁的高度约为米；
4．（2025·山东临沂·一模）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：
(1)求线段和的长度：
(2)求底座的底面的面积．
【答案】(1)米；米
(2)72平方米
【分析】本题主要考查解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键．
（1）根据题意得，即可确定长度，再由得出米，即可求解；
（2）过点A作于点M，继续利用正切函数确定米，即可求解面积．
【详解】（1）解：∵，的长为8米，，
∴，
∴米；
∵，
∴米，
∴米；
（2）解：过点A作于点M，如图所示：
∵，
∴，
∵米，
∴米，
∴米，
∴底座的底面的面积为：平方米．
5．（2025·山东济宁·一模）综合与实践
一天，某校九年级数学兴趣小组开展了项目式主题学习，具体如下：
【答案】米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用直角三角形中边和角的关系求出雕像的高度．过点作于点，可知四边形是矩形，根据矩形的性质可得:米，米，在中利用的正切求出的长度，即可得到雕像的高度．
【详解】解：，，
，
点在的垂直平分线上．
点是正方形的中心，
点在的垂直平分线上，
点，，在同一条直线上，
米，
（米），

过点作于点，
，，
，
四边形是矩形，
米，米，
在中，，
（米），
（米）．
题型04
解直角三角形的实际应用——方向角问题
1．（2025·广西河池·一模）【阅读理解】在学习《解直角三角形》这一节时，喜欢探索的小明同学在课外学习活动中，探究发现，锐角三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系．下面是小明同学的学习笔记，请仔细阅读下列材料并完成相应的任务．
学习笔记：如图1，在锐角中，，，的对边分别记为a，b，c，锐角的面积记为，过点C作于点D，则，
∴，
∴．
同理可得，，
即．
由以上推理得结论①：锐角三角形的面积等于两边与其夹角正弦积的一半．
又∵，根据等式的基本性质，将，整理，得．
由以上推理得结论②：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等．
【理解应用】请学习上述阅读材料，并用上述材料的结论解答以下问题．
如图2，甲船以54海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于A处时，乙船位于甲船的南偏西方向的B处，且乙船从B处沿北偏东方向匀速直线航行．当甲船航行20分钟到达D处时，乙船航行到达甲船的南偏西方向的C处，此时两船相距18海里．
(1)求的面积；
(2)求乙船由B处到达C处航行的路程是多少海里．（结果保留根号）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解直角三角形—方向角问题、等边三角形的判定与性质等知识点，掌握方向角的概念以及正确使用材料中的结论是解题的关键．
（1）根据题意知：，，然后利用材料中锐角三角形的面积公式并代入数据计算即可；
（2）先证明是等边三角形，分别求出，在中，由材料中结论②得并代入数据计算即可．
【详解】（1）解：由题意知：海里，海里，
由结论①知：
．
∴的面积为平方海里．
（2）解：如图：
由（1）知，
∴是等边三角形，
∴海里，
又∵，
∴，
由题意知，
∴，
由题意可得：，
∴海里．
2．（2025·山东烟台·一模）晒甲河项目是我区画河文化旅游综合改造项目的重要组成部分，在建设过程中十分重视便民利民．其中，规划的晒甲河湿地公园一个休闲区域是一个四边形，其中四周是人行步道，对角线、为两条自行车道，点B为入口，经测量，点A在点B的正东方向，同时点A在点D的南偏东方向，点C在点D的南偏西方向，点C在点A的北偏西方向，，若米．（参考数据：，，）
(1)求自行车道的长．（结果保留小数点后一位）
(2)小明从A地步行前往B地，小明出发2分钟后，小刚骑自行车从D出发赶往B地给小明送东西，请分别求出、的长度．
【答案】(1)1738.4米
(2)、的长度分别为米和米
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用-方位角、等腰三角形的判定与性质，理解题意，正确画出示意图是解答的关键．
（1）如图，过作，先根据方位角关系得到，利用锐角三角函数求得求得米，米，再根据角度间的计算得到，进而求得即可解答；
（2）过点D作交的延长线于点F，先根据等腰三角形的判定得到，根据锐角三角函数求得米，再求得，再利用正切定义求得米，米即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得：如图：过作，
∵，
∴，
米，
，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点D作交的延长线于点F，
由题意可得：，
∴，
∵米，
∴（米），
∵，
∴，
∴（米），（米），
∴米，
答：、的长度分别为米和米．
3．（2025·新疆喀什·一模）如图，某海岸线的方向为北偏东，甲、乙两船同时出发向处海岛运送物资．甲船从港口处沿北偏东方向航行．乙船从港口处沿北偏东方向航行，其中乙船的平均速度为25公里/小时．若两船同时到达处海岛，求甲船的平均速度．（参考数据：，）
【答案】甲船的平均速度约为35公里/小时
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，过点作，垂足为，构造直角三角形，可得是含有角的直角三角形，是含有角的直角三角形，设公里，解直角三角形求出，再根据时间相等即可求出甲船的速度．
【详解】解：如图，过点作，垂足为，
由题意，得，，
设公里，
在中，公里，
在中，公里，
∵两船同时到达处海岛，
∴，
∴，
∴公里/小时，
答：甲船的平均速度约为35公里/小时．
4．（2025·重庆·一模）“梨花风起正清明，游子寻春半出城”．如图，某校在公园开展了寻春活动，小巴和小蜀同时从公园大门（A地）步行出发，约定在停车场（D地）汇合．小巴先沿北偏东的方向走到达和善亭（B地），然后继续向东北方向走到达和雅亭（C地），到达C地后停留了3分钟整理沿途采集的植物，整理完毕后再到停车场（D地），D地在C地的南偏东方向．小蜀从A地出发后，先沿正东方向到达和志亭（E地），再沿北偏东方向到达D地，E地恰在C地的正南方向．
(1)请求出的长度；（结果保留根号）
(2)若小巴步行的速度为，小蜀步行的速度为，请问小巴和小蜀谁先到达停车场（D地）？通过计算说明．（计算结果保留到小数点后1位，参考数据：，，）
【答案】(1)
(2)小巴先到停车场，理由见解析
【分析】本题考查了解直角三角形，正确做出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）过点作于点，过点作于点，可得四边形为矩形，解直角三角形求得即可解答；
（2）延长交于点，过点作于点，解直角三角形求得小巴和小蜀走过的路程，再计算时间即可．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，过点作于点，
则四边形为矩形，
，
由题意可得,，，，
在直角三角形中，，，
，
在直角三角形中，，
；
（2）解：如图，延长交于点，过点作于点H，
在直角三角形中，，，
，
，
，
，
在直角三角形中，，，
，，
，
则小巴走过的路程为，
时间约为；
则小蜀走过的路程为，
时间约为，
，
小巴先到停车场．
5．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，乡镇点在乡镇点的正北方向，桥最北端的桥墩点在乡镇点的西南方向，最南端桥墩点在乡镇点的北偏西方向处．原来从乡镇到乡镇需要经过桥，沿折线到达，现在新建了桥，可直接从乡镇到达乡镇，已知桥和平行，．（参考数据：，，．）
(1)求点到直线的距离；
(2)求现在从乡镇A到乡镇比原来少走的路程．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）过点C作，垂足为M，过点D作，垂足为N，根据已知易得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答；
（2）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，然后进行计算即可解答．
【详解】（1）解：如图：作于，于，
，
则，
，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
在中，，，,
∴ ，
∴，
∴点到直线的距离为；
（2）解：在中，，，，
∴，
由（1）得：，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴现在从乡镇到乡镇比原来少走的路程为：
．
题型05
解直角三角形的实际应用——坡度坡角问题
1．（2025·江西宜春·一模）八一广场，南昌这座英雄城市的重要地标！为了纪念1927年8月1日发生的南昌起义，广场中央矗立着八一起义纪念塔，如图，纪念塔前有一斜坡，坡度，在点B处看塔尖的仰角为，．
(1)求点B到地面的垂直高度；
(2)求纪念塔的高度（结果保留整数）．（参考数据：，，）
【答案】(1)点B到地面的垂直高度为3
(2)纪念塔的高度为
【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，
（1）如图，过点B作交于点F．由得到，求出即可得到答案；
（2）首先求出，然后利用，求出，进而求解即可．
【详解】（1）如图，过点B作交于点F．
∵，坡度，
∴，，
∴，．
答：点B到地面的垂直高度为．
（2）由（1）可知．
∵，
∴．
∵在点B处看塔尖的仰角为，
∴．
∵，
∴，
∴．
答：纪念塔的高度为．
2．（2025·陕西宝鸡·一模）在校园科技节活动中，主办方布置了一项挑战任务：精准测量学校主教学楼的高度．任务一发布，来自各个班级的数学学习小组纷纷踊跃参与，以下是某小组给出的测量方案．请你根据小组的测量方案，计算教学楼的高度．（结果精确到米）（参考数据：，，，）
【答案】教学楼的高度为米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-俯角仰角问题，正确添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
延长交于点，得到，得到，求出米，米，得到（米）继而得到，求出米．
【详解】解：如图，延长交于点，
的坡度，
，
，
米
米，
米，
（米），
，
即，
，
米．
答：教学楼的高度为米．
3．（2025·北京·一模）某市一处十字路口立交桥的横断面如图所示，桥拱的部分为一段抛物线，顶点的高度为8米，它两侧和是高为米的支柱，和为两个方向的机动车通行区，宽都为15米，线段和为两段对称的上桥斜坡，其坡度（即垂直高度与水平宽度的比）为．以所在直线为轴，横断面的对称轴为轴建立平面直角坐标系．
(1)求桥拱所在抛物线的解析式及的长；
(2)和为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的和为两个方向的行人及非机动车通行区，直接写出宽的长度；
(3)按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于米．今有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为7米．它能否从桥下区域安全通过？请说明理由．
【答案】(1)，37米
(2)6米
(3)该大型货车可以从桥下区域安全通过，理由见详解
【分析】本题主要考查了抛物线的解析式，坡度的定义，通过解析式求点的坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握抛物线图象的性质．
（1）抛物线的对称轴是轴，因而解析式一定是的形式，根据条件可以求得抛物线上，的坐标分别是和，利用待定系数法即可求解；
（2）根据坡度的定义，即垂直高度与水平宽度的比，即可求解；
（3）在抛物线解析式中，令，得到的函数值与米，进行比较即可判断．
【详解】（1）解：设所在的抛物线的解析式，
由题意得，，代入抛物线解析式得，
，
解得 ，
所在的抛物线的解析式为，
，且，
（米），
（米）；
（2）解：，，
，
（米），
所以，AB的宽是6米；
（3）解：该大型货车可以从桥下区域安全通过，理由如下：
在中，当时， ，

∴该大型货车可以从桥下区域安全通过．
4．（2025·湖南衡阳·一模）如图，红红家后面的山坡上有座信号发射塔，塔尖点到地面的距离为．红红站在离房子的底端前方30米的点处，眼睛距离地面的高度米，抬头发现恰好可以观察到发射塔的塔尖，并且在此观测位置测得塔尖的仰角为．红红家到山脚的水平距离米，山坡的坡度为（），山脚到塔尖的仰角为．
(1)若米，则__________米，__________米（用含的代数式表示）；
(2)求房子和塔的高度．（结果保留一位小数）（参考数据：，，）
【答案】(1)，
(2)房子的高度为米；塔的高度为米．
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角、坡度坡角问题，掌握仰角俯角、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
（1）利用，可求得米，在中，利用正切函数的定义求得，进一步计算即可求解；
（2）作于点，交于点，在中，利用正切函数的定义列式得到，求得，在中，利用正切函数的定义列式计算即可求解．
【详解】（1）解：∵米，，
∴，
∴米，
在中，，
∴，
∴，
∴米，
故答案为：，；
（2）解：作于点，交于点，
则四边形和四边形是矩形，
设米，
在中，，
∴，
在矩形中，，，
∴，
在中，，，即，
∴，
解得，
由（1）得米，米，
∵四边形是矩形，，，
在中，，，，∴，
∴米．
答：房子的高度约为米；塔的高度约为米．
5．（2025·天津红桥·一模）综合与实践活动中，要利用测角仪测量一座建筑物的高度．
如图，在建筑物前有一座高为的山坡，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．
某学习小组在山坡底部C处测得建筑物顶部B的仰角为，在山坡顶部D处测得建筑物顶部B的仰角为．
(1)求山坡的高度；
(2)求建筑物的高度（结果保留整数）．
参考数据：，，，．
【答案】(1)山坡的高度的长为；
(2)建筑物的高度约为．
【分析】本题考查解直角三角形的应用．
（1）在中，解直角三角形即可求解；
（2）设，分别在和中，利用锐角三角函数定义求得，过点作，垂足为．得到，．在中，利用锐角三角函数定义得到，然后求解即可．
【详解】（1）解：在中，，，，，
∴，．
即山坡的高度的长为；
（2）解：设，
在中，由，，，
则，
由（1）得，
∴，
如图，过点作，垂足为．

根据题意，，
∴四边形是矩形．
∴，．
可得．
在中，，，
∴．即．
∴．
答：建筑物的高度约为．
6．（2025·四川资阳·一模）风筝起源于中国，已有2000多年的历史，它象征着希望和祝福，而放风筝则可强身健体、愉悦身心．阳春三月，小明和好友到郊外去放风筝，由于天公作美，风筝快速飞至点P处（如图）．爱动脑的小明准备测量此时风筝的高度，他立即从坡底处沿坡度的山坡走了到达坡顶处，测得处的仰角为；他又沿坡面BC走到达坡底处，测得处的仰角为．（点，，，在同一平面内）
(1)求坡顶处的高度；
(2)求风筝的飞行高度（即的长）．
【答案】(1)
(2)风筝的飞行高度为．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，30度所对的直角边等于斜边的一半，等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是根据坡度和仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识解直角三角形．
（1）过点作于，作于，利用坡度得到，不妨设，，利用勾股定理，，求得，最后得到；
（2）先通过勾股定理求得，不妨设，那么，，是等腰直角三角形，那么，最后利用算得，最后得到的长度．
【详解】（1）解：过点作于，作于，如图所示：
从坡底处沿坡度的山坡走了到达坡顶处，
，，
不妨设，，
，
，
（舍去负值），
，
答：坡顶处的高度为．
（2）解：他又沿坡面BC走到达坡底处，
不妨设
，，
四边形是矩形
，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
答：风筝的飞行高度为．
题型06
解直角三角形的实际应用——其他问题
1．（2025·宁夏银川·一模）如图，图1为《天工开物》记载的用于春（）捣谷物的工具——“碓（）“的结构简图，图2为其平面示意图，已知于点，与水平线相交于点，.若，，，则点到水平线的距离为 .（，，，结果精确到）
【答案】
【分析】题本题考查了解三角形，延长交l于点H，连接，根据题意及解三角形的得出，解即可求解．
【详解】解：延长交于点，连接，如图所示：
在中，，
，
∴
在中，
故答案为：．
二、解答题
2．（2025·辽宁抚顺·一模）按照中央、省市关于城市燃气管网专项治理工作的部署和安排，我市正在进行城镇燃气管网老化更新改造工程．图1是改造现场一辆伸缩臂高空作业车的实物图，图2是其工作示意图（点A，，，，，，，都在同一平面内）．如图2，伸缩臂高空作业车固定不动，转轴固定不动，转动点离地面的高度为，起重臂长为，，楼高为，操作平台A在上．
(1)求此时操作平台离地面的高度；
(2)若起重臂可以绕点上下转动，且长度可伸缩，最长可伸长为，则操作平台A能到达楼顶吗？为什么？（结果精确到，参考数据：，，）
【答案】(1)操作平台离地面的高度约为
(2)能，理由见解析
【分析】本题主要考查了解直角三角形、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键．
（1）如图：过点作，垂足为点，则四边形为矩形，，，，进而得到，再解直角三角形可得，然后根据线段的和差即可解答；
（2）如图：连接，由题意可知，，最长为，再解直角三角形可得，即，再根据勾股定理可得，则即可判断．
【详解】（1）解：如图：过点作，垂足为点，则四边形为矩形，，，，
，，，
，
在中，，
，
．
答：操作平台A离地面的高度约为．
（2）解：能，理由如下：
如图：连接，由题意可知，，最长为，
在中，，
，
，
在中，根据勾股定理得：，
，
，
操作平台能到达楼顶．
3．（2025·山东青岛·一模）某小区活动中心想在房前高的墙上安装一个遮阳篷，使正午时刻房前能有宽的阴影处以供纳凉．假设此地某日正午时刻太阳光线与水平地面的夹角为，遮阳篷与水平面的夹角为，如图为侧面示意图，请求出此遮阳篷端到墙的距离是多长？（结果精确到）．
（参考数据，，；，）
【答案】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题关键是通过作辅助线构建直角三角形，利用矩形性质和三角函数关系建立方程求解．
过点作，利用三个直角证明四边形是矩形，得 ．在中，设，根据求出（即）关于的表达式． 在中，根据得出关于的表达式． 依据， 建立方程，求解后得出的长度．
【详解】解：过点作
∴，
∵，
∴
∴四边形是矩形
设
在中，
在中，
，
，
答：的长是．
4．（2025·江苏泰州·一模）图1是一种阳台户外伸缩晾衣架，侧面示意图如图2所示，是由支架、、、、、组成，其中、两点是墙面固定点，点可以在线段上自由移动，活动角随着点的移动而变化，晾衣架也随着整体前后移动．图2中、、和中间两个全等的菱形边长都相等（宽度忽略不计）．
(1)若，．求此时最远端点到墙壁的距离；
(2)若点从移动到，活动角变化范围为，最远端点到墙壁的最大距离可达．求的长（结果保留整数）．（参考数据：，，，）．
【答案】(1)最远端点到墙壁的距离为
(2)的长为
【分析】（1）如图，连接，根据、、和中间两个全等的菱形边长都相等，证明，，都是等边三角形，推出，，进一步说明点、、、共线，，最后计算即可；
（2）由（1）可知：点、、、共线，，且点与点的距离、点与点、点与点的距离相等，当点在点处时，最远端离墙壁最远，此时，，连接，过点作于点，求出，，然后在中，；当在点处时，此时，过点作于点，求出，，在中，，再代入可得结论．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵，．、、和中间两个全等的菱形边长都相等，
∴，
，
，
∴，
∴，
∵，
∴，，都是等边三角形，
∴，
，
∴，
，
即点、、、共线，
∵，
∴，
∴，
答：最远端点到墙壁的距离为；
（2）由（1）可知：点、、、共线，，且点与点的距离、点与点、点与点的距离相等，
当点在点处时，最远端离墙壁最远，即此时点到墙壁的距离为，
此时，，
∵，
∴，
连接，过点作于点，
∵
∴，，
在中，，
当在点处时，此时，
过点作于点，
∵，
∴，，
在中，，
∴，
∴．
答：的长为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识点．掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
5．（2025·山东临沂·一模）如图1，明代科学家徐光启所著的《农政全书》中记载了中国古代的一种采桑工具—桑梯，其简单示意图如图2，已知，，与的夹角为．为保证安全，农夫将桑梯放置在水平地面上，将夹角调整为，并用铁链锁定、两点．
(1)求出点到的距离（结果精确到）；
(2)农夫站在离顶端处的处时可以高效且安全地采桑．求此时农夫所在的处到地面的高度．（结果精确到）．（参考数据：，，，，）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，掌握锐角三角函数的计算是关键．
（1）如解图，过点作于点，在中，，即可求解；
（2）过点作于点，可得，根据等腰三角形的内角和定理得到，在中，，由此即可求解．
【详解】（1）解：如解图，过点作于点，
∵，，且，
∴在中，，
∴点到的距离约等于；
（2）解：过点作于点，
由题意可知，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
答：此时农夫所在的处到地面的高度约为．
6．（2025·安徽合肥·一模）图是一款可调节椅背的办公室沙发椅，它可以减轻使用者的脊椎压力，图是它的侧面示意图已知椅背，现将椅背角度从调节到（即， ），过点，作，，分别交直线于点，．
(1)求水平方向增加的距离长．（结果精确到；参考数据：，， ）
(2)求调节过程中椅背扫过的面积结果保留
【答案】(1)水平方向增加的距离长约为
(2)调节过程中椅背扫过的面积为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用及扇形的面积．
（1）由题意得，求出，，解直角三角形求出，，即可求解；
（2）先求出，再根据扇形的面积公式计算即可．
【详解】（1）解：由题意得，
，，
，，
，，
，
，，
，
答：水平方向增加的距离长约为；
（2）解：由题意得，
；
答：调节过程中椅背扫过的面积为．
7．（2025·辽宁葫芦岛·一模）爷爷有一把躺椅，如图1所示，其侧面结构的几何示意图如图2所示，躺椅主要由座面，靠背以及支架和组成，其中座面与地面平行，，，，．（图中所示线段均在同一平面内）．
(1)求座面与地面的距离；
(2)求靠背最高点E与地面的距离．（结果保留根号）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形，矩形的判定与性质，解题的关键在于作辅助线构造直角三角形．
（1）过点作于点，根据求解，即可解题；
（2）过点作于点，延长交延长线于点，证明四边形为矩形，求出，再根据求出，最后根据求解，即可解题．
【详解】（1）解：过点作于点，
，，
，
座面与地面的距离为；
（2）解：过点作于点，延长交延长线于点，
座面与地面平行，
于点，
，
四边形为矩形，
，
，，
，
，
．
8．（2025·江苏宿迁·一模）如图①，舂碓是我国上世纪乡村农用工具，形状呈型，将其抽象成如图②的平面图形，呈型的可绕点旋转，其中，，三点在同一条直线上，点在直线上，，，， ，初始时．
(1)如图②，求初始时点到的距离；
(2)如图③，当点第一次落在上时，求点在竖直方向上上升了多少厘米．（结果保留1位小数；参考数据：）
【答案】(1)点到的距离约为
(2)点在竖直方向上升了
【分析】本题考查旋转的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质；
（1）过作于，在根据代入计算即可；
（2）过作于，由旋转可得，，，先求出再根据，得到，解得，最后根据点在竖直方向上上升了代入计算即可．
【详解】（1）解：过作于，
中，，，
∴，
∴，
即点到的距离约为；
（2）解：过作于，
由旋转可得，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴点在竖直方向上上升了．
9．（2025·江苏宿迁·一模）阅读与思考
下面是项目学习小组学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
完成下列任务：
(1)连接，求证：．
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接并延长，交于点G，连接，根据切线的性质得出，证明，根据圆周角定理得出，从而说明，证明，得出，即可得出答案；
（2）根据已知得出，根据，设，则，根据，得出，从而证明，得出，即，即可求解．
【详解】（1）证明：连接并延长，交于点G，连接，如图所示：
为的切线，
，
，
为的直径，
，
，
，
又，
，
，
，
，
．
（2）解：设，
，
，
，
，
∵，
∴，
由（1），得，
，
，即，
，
解得：，
的长为．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形的相关计算，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
10．（2025·江西景德镇·一模）如图①，是液体过滤的实验装置，图②是其侧面示意图，已知底座高度，烧杯高度，漏斗的一端紧贴烧杯内壁，漏斗的锥形部分，且，漏斗管位于烧杯的上方部分，玻璃棒斜靠在三层滤纸的点处，，玻璃棒长度为．
（结果精确到）
(1)求漏斗口处点到底座的高度；
(2)某次过滤时，玻璃棒与水平方向的夹角为，求此时玻璃棒顶端点到桌面的距离．
（参考数据：，，，）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）由题意可知，，延长交，则，在中， ，根据题意可知点到底座的高度等于，即可求解；
（2）过点作，交于，过点作，由题意可知，，在中，，由题意可知，在中，，此时玻璃棒顶端点到桌面的距离为，由此即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知，，
延长交，则，
在中，，则，
∴，
∴点到底座的高度；
（2）过点作，交于，过点作，
由题意可知，，
在中，，
∵，，
∴，
在中，，
此时玻璃棒顶端点到桌面的距离为，
即玻璃棒顶端点到桌面的距离为．项目
测量光岳楼的高度
方案
方案一：标杆垂直立于地面，借助平行的太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长，影长及同一时刻塔影长
方案二：利用锐角三角函数．测量：距离，仰角，仰角
说明
三点在同一条直线上
三点在同一条直线上
测量
示意图
测量数据
测量项目
第一次
第二次
平均值
测量项目
第一次
第二次
平均值
活动主题
测算某水池中雕塑底座的底面积
测量工具
皮尺、测角仪、计算器等
活动过程
模型抽象
某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其示意图如下：
测绘过程与数据信息
①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上；
②过点E作，并沿方向前进到点F，用皮尺测得的长为8米；
③在点F处用测角仪测得，，；
④用计算器计算得：，，，，，．
项目名称
测量底部无法到达的物体高度
问题情境
某校园内有一座孔子雕像（如图1所示），雕像底座的底面是一个正方形．
九年级数学兴趣小组利用所学知识，测量这座雕像的高度（含底座的高度）．

数学建模
如图2，设雕像底座的底面是正方形，它的中心为，雕像的顶端为点，过点作底座底面（正方形）的垂线恰好经过它的中心，则线段的长即为这座雕像的高度．

测量工具
足够长的卷尺 测角仪
测量步骤
该校九年级数学兴趣小组提供了下面的测量方法，并绘制了如图3所示的测量示意图．
第一步，数学兴趣小组用卷尺测得雕像底座底面（正方形）的边长为米；
第二步，数学兴趣小组用卷尺在雕像底座底面所在平面上取一适当的点，使，此时用卷尺得点到雕像底座底面（正方形）边的距离（的长）为米；
第三步，某同学继续站在E处（表示测角仪到底座底面所在平面的距离）用测角仪测得此时雕像顶端的仰角为；
第四步，用卷尺测得米．
计算结果
根据上面的测量方法，若，，，，求的长（精确到）．
参考数据：，，．
任务
测量主教学楼的高度
测量工具
测角仪，皮尺
测量方案示意图
测量步骤
①测量出教学楼前斜坡的长为米，坡度
②在离点米的点处，测得教学楼顶端的仰角为．
测量数据说明
点在同一平面内
实验室使用量筒量取液体时，读数要平视，如图，量筒内的液面近似地看成，读数时，视线垂直于量筒壁，与相切于点，点为所在圆的圆心．小东同学读数时，从点处俯视点（点在上），记录量筒上点处的高度为．小华同学记录量筒上点处的高度为．