2025年中考数学二轮复习《压轴题》专项练习3（含答案）

这是一份2025年中考数学二轮复习《压轴题》专项练习3（含答案），共16页。

(1)点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；
(2)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋eq \f(5,3)x＋c的图象经过点C(0，2)和点D(4，－2)．点E是直线y＝－eq \f(1,3)x＋2与二次函数图象在第一象限内的交点．
(1)求二次函数的表达式及点E的坐标；
(2)如图1，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME.求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标；
(3)如图2，经过A，B，C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．
如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA＝1，tan∠BAO＝3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A、B、C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求以C、E、F为顶点三角形与△COD相似时点P的坐标.
已知抛物线l1：y=﹣x2＋bx＋3交x轴于点A，B，(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，其对称轴为x=1，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E(5，0)，交y轴于点D(0，﹣eq \f(5,2))．
(1)求抛物线l2的函数表达式；
(2)P为直线x=1上一动点，连接PA，PC，当PA=PC时，求点P的坐标；
(3)M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l1于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．
如图，在平面直角坐标系中，顶点为A(2cs60°，﹣eq \r(2)sin45°)的抛物线经过点B(5,3)，且与x轴交于C，D两点(点C在点D的左侧)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求tan∠AOB的值；
(3)点M在第二象限内的抛物线上，点N在x轴上，且∠MND＝∠OAB，当△DMN与△OAB相似时，求点M的坐标．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝eq \f(1,2)x2﹣bx＋c交x轴于点A，B，点B的坐标为(4，0)，与y轴于交于点C(0，﹣2)．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)在抛物线上取点D，若点D的横坐标为5，求点D的坐标及∠ADB的度数；
(3)在(2)的条件下，设抛物线对称轴l交x轴于点H，△ABD的外接圆圆心为M(如图1)，
①求点M的坐标及⊙M的半径；
②过点B作⊙M的切线交于点P(如图2)，设Q为⊙M上一动点，则在点运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．
如图，抛物线M：y＝ax2＋bx＋b﹣a经过点(1，﹣3)和(﹣4，12)，与两坐标轴的交点分别为A，B，C，顶点为D．
(1)求抛物线M的表达式和顶点D的坐标；
(2)若抛物线N：y＝﹣eq \f(1,2)(x﹣h)2＋与抛物线M有一个公共点为E，则在抛物线N上是否存在一点F，使得以B、C、E、F为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形？若存在，请求出h的值；若不存在，请说明理由．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣2，0)，点B(4，0)，与y轴交于点C(0，8)，连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B(不含O点和B点)，且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接AC，AP，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标；
(3)作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积的最大值．
如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8a(a＞0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝﹣eq \f(\r(3),3)x＋eq \f(4\r(3),3)与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为﹣5．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点P(x，y)在该二次函数的图象上，且S△BCD＝S△ABP，求点P的坐标；
(3)设F为线段BD上的一个动点(异于点B和D)，连接AF．是否存在点F，使得2AF＋DF的值最小？若存在，分别求出2AF＋DF的最小值和点F的坐标，若不存在，请说明理由．
已知抛物线y=ax2+bx+2经过A(﹣1，0)，B(2，0)，C三点．直线y=mx+0.5交抛物线于A，Q两点，点P是抛物线上直线AQ上方的一个动点，作PF⊥x轴，垂足为F，交AQ于点N．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，当点P运动到什么位置时，线段PN=2NF，求出此时点P的坐标；
(3)如图②，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，点M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
\s 0 答案
解：(1)连结AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，
∵A(2，﹣3)，C(0，﹣3)，
∴AF∥x轴，
∴F(﹣1，﹣3)，∴BF=3，AF=3，
∴∠BAC=45°，
设D(0，m)，则OD=|m|，
∵∠BDO=∠BAC，
∴∠BDO=45°，
∴OD=OB=1，
∴|m|=1，∴m=±1，
∴D的坐标为(0，1)或(0，﹣1)
(2)设M(a，a2﹣2a﹣3)，N(1，n)，
①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，
如图2，过M作ME⊥对称轴于E，AF⊥x轴于F，
则△ABF≌△NME，
∴NE=AF=3，ME=BF=3，
∴|a﹣1|=3，
∴a=4或a=﹣2，
∴M(4，5)或(﹣2，5)；
②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，
如图3，则N在x轴上，M与C重合，
∴M(0，﹣3)，
所以存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，
M的坐标为(4，5)或(﹣2，5)或(0，﹣3)
解：(1)把C(0，2)，D(4，－2)代入二次函数表达式得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(16a＋\f(20,3)＋c＝－2，,c＝2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－\f(2,3)，,c＝2，))
∴二次函数的表达式为y＝－eq \f(2,3)x2＋eq \f(5,3)x＋2，
联立一次函数表达式得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝－\f(1,3)x＋2，,y＝－\f(2,3)x2＋\f(5,3)x＋2，))
解得x＝0(舍去)或x＝3，
则E(3，1)．
(2)如图，过M作MH∥y轴，交CE于点H.
设M(m，－eq \f(2,3)m2＋eq \f(5,3)m＋2)，则H(m，－eq \f(1,3)m＋2)，
∴MH＝－eq \f(2,3)m2＋eq \f(5,3)m＋2－(－eq \f(1,3)m＋2)＝－eq \f(2,3)m2＋2m，
S四边形COEM＝S△OCE＋S△CME＝eq \f(1,2)×2×3＋eq \f(1,2)MH·3＝－m2＋3m＋3，
当m＝－eq \f(b,2a)＝eq \f(3,2)时，S最大＝eq \f(21,4)，此时M坐标为(eq \f(3,2)，3)．
(3)如图，连接BF.
当－eq \f(2,3)x2＋eq \f(5,3)x＋2＝0时，x1＝eq \f(5＋\r(73),4)，x2＝eq \f(5－\r(73),4)，
∴OA＝eq \f(\r(73)－5,4)，OB＝eq \f(\r(73)＋5,4).
∵∠ACO＝∠ABF，∠AOC＝∠FOB，
∴△AOC∽△FOB，
∴eq \f(OA,OF)＝eq \f(OC,OB)，即eq \f(\f(\r(73)－5,4),OF)＝eq \f(2,\f(\r(73)＋5,4))，解得OF＝eq \f(3,2)，
则F坐标为(0，－eq \f(3,2))．
解：(1)在Rt△AOB中，OA＝1，tan∠BAO＝3，
∴OB＝3OA＝3
∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，
∴△DOC≌△AOB，
∴OC＝OB＝3，OD＝OA＝1.
∴A，B，C的坐标分别为(1，0)，(0，3)，(﹣3，0)，代入解析式为
，解得a＝-1,b＝-2,c＝3.
抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x＋3；
(2)∵抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x＋3，
∴对称轴为l＝﹣1，
∴E点坐标为(﹣1，0)，如图，
①当∠CEF＝90°时，△CEF∽△COD，
此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，P(﹣1，4)；
②当∠CFE＝90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于M点，△EFC∽△EMP，
∴MP＝3ME，
∵点P的横坐标为t，
∴P(t，﹣t2﹣2t＋3)，
∵P在第二象限，
∴PM＝﹣t2﹣2t＋3，ME＝﹣1﹣t，
∴﹣t2﹣2t＋3＝3(﹣1﹣t)，
解得t1＝﹣2，t2＝3，(与P在二象限，横坐标小于0矛盾，舍去)，
当t＝﹣2时，y＝﹣(﹣2)2﹣2×(﹣2)＋3＝3
∴P(﹣2，3)，
∴当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为(﹣1，4)或(﹣2，3).
解：(1)∵抛物线l1：y=﹣x2＋bx＋3的对称轴为x=1，
∴﹣=1，解得b=2，
∴抛物线l1的解析式为y=﹣x2＋2x＋3，
令y=0，可得﹣x2＋2x＋3=0，解得x=﹣1或x=3，
∴A点坐标为(﹣1，0)，
∵抛物线l2经过点A、E两点，
∴可设抛物线l2解析式为y=a(x＋1)(x﹣5)，
又∵抛物线l2交y轴于点D(0，﹣eq \f(5,2))，
∴﹣eq \f(5,2)=﹣5a，解得a=eq \f(1,2)，
∴y=eq \f(1,2)(x＋1)(x﹣5)=eq \f(1,2)x2﹣2x﹣eq \f(5,2)，
∴抛物线l2的函数表达式为y=eq \f(1,2)x2﹣2x﹣eq \f(5,2)；
(2)设P点坐标为(1，y)，由(1)可得C点坐标为(0，3)，
∴PC2=12＋(y﹣3)2=y2﹣6y＋10，PA2=[1﹣(﹣1)]2＋y2=y2＋4，
∵PC=PA，
∴y2﹣6y＋10=y2＋4，解得y=1，
∴P点坐标为(1，1)；
(3)由题意可设M(x，eq \f(1,2)x2﹣2x﹣eq \f(5,2))，
∵MN∥y轴，
∴N(x，﹣x2＋2x＋3)，eq \f(1,2)x2﹣2x﹣eq \f(5,2)
令﹣x2＋2x＋3=eq \f(1,2)x2﹣2x﹣eq \f(5,2)，可解得x=﹣1或x=eq \f(11,3)，
当﹣1＜x≤eq \f(11,3)时，MN=(﹣x2＋2x＋3)﹣(eq \f(1,2)x2﹣2x﹣eq \f(5,2))=﹣eq \f(3,2)x2＋4x＋eq \f(11,2)=﹣eq \f(3,2)(x﹣eq \f(4,3))2＋8eq \f(1,6)，
显然﹣1＜eq \f(4,3)≤eq \f(11,3)，∴当x=eq \f(4,3)时，MN有最大值8eq \f(1,6)；
当eq \f(11,3)＜x≤5时，MN=(eq \f(1,2)x2﹣2x﹣eq \f(5,2))﹣(﹣x2＋2x＋3)=eq \f(3,2)x2﹣4x﹣eq \f(11,2)=eq \f(3,2)(x﹣eq \f(4,3))2﹣8eq \f(1,6)，
显然当x＞eq \f(4,3)时，MN随x的增大而增大，∴当x=5时，MN有最大值，eq \f(3,2)×(5﹣eq \f(4,3))2﹣8eq \f(1,6)=12；
综上可知在点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值为12．
解：(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 点坐标代入函数解析式，得： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 该抛物线的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)如图1，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 均为等腰直角三角形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
(3)设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
①当 SKIPIF 1 < 0 时，如图2，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
化简，得： SKIPIF 1 < 0 ①，
SKIPIF 1 < 0 在抛物线上， SKIPIF 1 < 0 ②，
联立①②，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 (不符合题意，舍)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，如图3，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，化简，得 SKIPIF 1 < 0 ③，
联立②③，得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 (不符合题意，舍)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
综上所述：当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相似时，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
解：(1)c＝﹣2，将点B的坐标代入抛物线表达式得：解b＝eq \f(3,2)，
∴抛物线的解析式为y＝eq \f(1,2)x2﹣eq \f(3,2)x﹣2；
(2)当x＝5时，y＝eq \f(1,2)x2﹣eq \f(3,2)x﹣2＝3，故D的坐标为(5，3)，
令y＝0，则x＝4(舍去)或﹣1，故点A(﹣1，0)，如图①，连接BD，作BN⊥AD于N，
∵A(﹣1，0)，B(4，0)，C(0，﹣2)，
∴AD＝3eq \r(5)，BD＝eq \r(10)，AB＝5，
∵S△ABD＝＝，
∴BN＝eq \r(5)，
∴sin∠BDN＝eq \f(\r(2),2)，
∴∠BDN＝45°；
∴∠ADB＝∠BDN＝45°；
(3)①如图②，连接MA，MB，
∵∠ADB＝45°，
∴∠AMB＝2∠ADB＝90°，
∵MA＝MB，MH⊥AB，
∴AH＝BH＝HM＝eq \f(5,2)，
∴点M的坐标为(eq \f(3,2)，eq \f(5,2))⊙M的半径为eq \f(5,2)eq \r(2)；
②如图③，连接MQ，MB，
∵过点B作⊙M的切线交1于点P，
∴∠MBP＝90°，
∵∠MBO＝45°，
∴∠PBH＝45°，
∴PH＝HB＝2.5，
∵＝，＝，
∵∠HMQ＝∠QMP，
∴△HMQ∽△QMP，
∴＝，
∴在点Q运动过程中的值不变，其值为．
解：(1)将(1，﹣3)，(﹣4，12)代入y＝ax2＋bx＋b﹣a，
得，解得，
∴，
∴抛物线M的表达式为，顶点D的坐标为．
(2)存在．∵，
当x＝0时，y＝﹣2，
当y＝0时，，解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴C(0，﹣2)，B(4，0)，
设，，
当四边形BCFE是平行四边形时，
可看出是E，F可看成分别是B，C平移相同的单位得到，
则
②﹣③得m＋n＝2h﹣1④，
(①＋④)÷2得⑤，
(④﹣①)÷2得⑥，
将⑤，⑥代入③得h＝±，
当四边形BCEF是平行四边形时，
可看出是E，F可看成分别是C，B平移相同的单位得到，
则
②﹣③得m＋n＝2h﹣1④，
(①＋④)÷2得⑤，
(④﹣①)÷2得⑥，
将⑤，⑥代入③得h＝或，
当h＝eq \f(13,2)时，m＝h＋eq \f(3,2)＝eq \f(13,2)＋eq \f(3,2)＝8，n＝h﹣eq \f(5,2)＝eq \f(13,2)﹣eq \f(5,2)＝4，
∴E(4，0)，F(8，2)，此时点E与点B重合，不符合题意，舍去；
综上，h的值为eq \f(5,2)或±eq \f(1,2)eq \r(41)．
解：(1)将点A、B、C的坐标代入二次函数表达式得：
，解得：，
故抛物线的表达式为：y=﹣x2+2x+8；
(2)∵点A(﹣2，0)、C(0，8)，∴OA=2，OC=8，
∵l⊥x轴，∴∠PEA=∠AOC=90°，
∵∠PAE≠∠CAO，
∴只有当∠PEA=∠AOC时，PEA△∽AOC，
此时，即：，∴AE=4PE，
设点P的纵坐标为k，则PE=k，AE=4k，∴OE=4k﹣2，
将点P坐标(4k﹣2，k)代入二次函数表达式并解得：
k=0或 (舍去0)，则点P(，)；
(3)在Rt△PFD中，∠PFD=∠COB=90°，
∵l∥y轴，∴∠PDF=∠COB，∴Rt△PFD∽Rt△BOC，
∴，∴S△PDF=×S△BOC，
而S△BOC=eq \f(1,2)OB×OC16，BC==4，
∴S△PDF=×S△BOC=eq \f(1,5)PD2，即当PD取得最大值时，S△PDF最大，
将B、C坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y=﹣2x+8，
设点P(m，﹣m2+2m+8)，则点D(m，﹣2m+8)，
则PD=﹣m2+2m+8+2m﹣8=﹣(m﹣2)2+4，
当m=2时，PD的最大值为4，
故当PD=4时，∴S△PDF=eq \f(1,5)PD2=3.2．
解：把x＝﹣5代入y＝﹣eq \f(\r(3),3)x＋eq \f(4\r(3),3)，解得y＝3eq \r(3)，
∴D(﹣5，3eq \r(3))，
把D(﹣5，3eq \r(3))代入y＝ax2﹣2ax﹣8a，解得a＝，
∴抛物线的解析式为；
(2)设直线BD与y轴交于点E，∴E(0，eq \f(4\r(3),3))，
由可得A(﹣2，0)，B(4，0)，C(0，)，
由S△BCD＝S△ABP，
∴eq \f(1,2)CE|xB﹣xD|＝eq \f(1,2)AB|yP|，
∴(﹣)×(4＋5)＝(4＋2)×|yP|，
∴|yP|＝eq \f(10,3)eq \r(3)，∴yP＝±eq \f(10,3)eq \r(3)，
∵抛物线的顶点为(1，﹣eq \r(3))，∴yP＝eq \f(10,3)eq \r(3)，
∴P点坐标为或；
(3)存在点F，使得2AF＋DF的值最小，理由如下：
过点D作DM平行于x轴，故∠BDM＝30°，过F作FH⊥DM于H，
∴sin30°＝eq \f(1,2)，∴HF＝eq \f(1,2)DF，
∴2AF＋DF＝2(AF＋eq \f(1,2)DF)＝2(AF＋HF)＝2AH，
当A、F、H三点共线时，即AH⊥DM时，2AF＋DF取最小值，
∵A(﹣2，0)，
∴F(﹣2，2eq \r(3))，
∵D(﹣5，3eq \r(3))，
∴AH＝3eq \r(3)，
∴2AF＋DF的最小值为6eq \r(3)．
解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+2经过A(﹣1，0)，B(2，0)，
∴将点A和点B的坐标代入得：
，解得a=﹣1，b=1，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2．
(2)直线y=mx+eq \f(1,2)交抛物线与A、Q两点，把A(﹣1，0)代入解析式得：m=eq \f(1,2)，
∴直线AQ的解析式为y=eq \f(1,2)x+0.5．
设点P的横坐标为n，
则P(n，﹣n2+n+2)，N(n，eq \f(1,2)n+0.5)，F(n，0)，
∴PN=﹣n2+n+2﹣(eq \f(1,2)n+0.5)=﹣n2+eq \f(1,2)n+1.5，NF=eq \f(1,2)n+0.5．
∵PN=2NF，即﹣n2+eq \f(1,2)n+1.5=2×(eq \f(1,2)n+eq \f(1,2))，
解得：n=﹣1或eq \f(1,2)．
当n=﹣1时，点P与点A重合，不符合题意舍去．
∴点P的坐标为(eq \f(1,2)，eq \f(9,4))．
(3)∵y=﹣x2+x+2，=﹣(x﹣eq \f(1,2))2+eq \f(9,4)，∴M(eq \f(1,2)，eq \f(9,4))．
如图所示，连结AM交直线DE与点G，连结CG、CM此时，△CMG的周长最小．
设直线AM的函数解析式为y=kx+b，
且过A(﹣1，0)，M(eq \f(1,2)，eq \f(9,4))．
根据题意得：﹣k+b=0,eq \f(1,2)k+b=eq \f(9,4)，解得k=eq \f(3,2),b=eq \f(3,2)．
∴直线AM的函数解析式为y=eq \f(3,2)+eq \f(3,2)．
∵D为AC的中点，∴D(﹣eq \f(1,2)，1)．
设直线AC的解析式为y=kx+2，将点A的坐标代入得：﹣k+2=0，解得k=2，
∴AC的解析式为y=2x+2．
设直线DE的解析式为y=﹣eq \f(1,2)x+c，
将点D的坐标代入得：eq \f(1,4)+c=1，解得c=eq \f(3,4)，
∴直线DE的解析式为y=﹣eq \f(1,2)x+eq \f(3,4)．
将y=﹣eq \f(1,2)x+eq \f(3,4)与y=eq \f(3,2)+eq \f(3,2)联立，解得：x=﹣eq \f(3,8)，y=eq \f(15,16)．
∴在直线DE上存在一点G，使△CMG的周长最小，
此时G(﹣eq \f(3,8)，eq \f(15,16))．